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Der Prozentsatz

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Holi Festivals of Colours gibt es mittlerweile weltweit. DJs sorgen für Musik und beim Ablauf der sogenannten Farbcountdowns werfen die Besucher buntes Farbpulver in die Menge. Das Holi Pulver gibt es in $6$ verschiedenen Farben: grün, pink, blau, lila, orange und gelb.
a)
Die Farben liegen nicht immer im gleichen Verhältnis vor. Die Veranstalter kaufen $60.000$ Farbpäckchen. $12.000$ Pakete sind grün, wie viel Prozent entspricht das?
b)
Auch die anderen Farbpakete sind abgezählt. Berechne je den prozentualen Anteil.
  • Blau: $12.600$
  • Gelb: $11.400$
  • Lila: $7.200$
  • Pink: $10.200$
  • Orange: $6.600$
#prozent

Aufgabe 1

Bei der Veranstaltung werden $15.000$ Besucher erwartet. Um für das nächste Jahr besser planen zu können, werden unterschiedliche Daten erhoben.
a)
$3.240$ Besucher kaufen am gesamten Festtag keine Farbpakete. Wie viel Prozent entspricht das?
b)
Die meisten Besucher, nämlich $12.000$, sind volljährig. Gib diesen Anteil in Prozent an.
c)
Wenn man minderjährig ist, darf man ab dem 16. Lebensjahr mit einer volljährigen Begleitung auf das Festivalgelände. Wie viele Besucher haben das gemacht? Wie viel Prozent entspricht das?
#prozent

Aufgabe 2

Berechne jeweils den Prozentsatz im Kopf.
GrundwertProzentwertProzentsatz
$12$$6$
$5.200$$1.352$
$200$$170$
$950$$427,50$
$20$$13$
$650$$780$
#prozentsatz

Aufgabe 3

Schaue dir die drei Abbidlungen an. Gib zu jeder Aufgabe die Anteile der einzelnen Farben an als:
  1. Bruch
  2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$
  3. Dezimalzahl
  4. Prozentsatz
Beispiel: $4$ von $20$ Feldern sind lila.
  1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{4}{20}$
  2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{20}{100}$
  3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,2$
  4. Prozentsatz $\rightarrow$ $20 \%$
#anteil

Aufgabe 4

Für eine Festivalveranstaltung im Mai werden die Tickets im Vorverkauf vergünstigt angeboten.
a)
Normalerweise kosten die Tickets für einen Tag $50 \; €$. Kauft man das Ticket noch vor Weihnachten, dann kostet es nur $42,50 \; €$. Um wie viel Prozent ist das Ticket günstiger?
b)
Kauft man das Ticket im Januar, kostet es $47,50 \; €$. Um wie viel Prozent ist dieses Ticket günstiger?
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

In der Prozentrechnung wird …
…das „Ganze“ als Grundwert $\text{G}$
…der „Anteil“ als Prozentsatz $\text{p} \;\%$
…der „Teil des Ganzen“ als Prozentwert $\text{W}$ bezeichnet.

Der Prozentsatz lässt sich durch eine Formel berechnen.
Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\%, \end{array}$
wobei der Prozentsatz hier immer in $\%$ angegeben ist.
a)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Bei der Aufgabe ist der Grundwert $\text{G}=60.000$ und der Prozentwert $\text{W}=12.000$ gegeben. Gesucht ist der Prozentsatz. Diesen kannst du mit der Formel berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{12.000}{60.000} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,2 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 20 \;\% \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Bei der Aufgabe ist der Grundwert $\text{G}=60.000$ immer gleich und auch der Prozentwert $\text{W}$ ist gegeben. Gesucht ist der Prozentsatz.
  • Blau: $12.600$
    $\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{12.600}{60.000} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,21 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 21 \;\% \end{array}$
  • Gelb: $11.400$
    $\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{11.400}{60.000} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,19 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 19 \;\% \end{array}$
  • Lila: $7.200$
    $\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{7.200}{60.000} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,12 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 12 \;\% \end{array}$
  • Pink: $10.200$
    $\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{10.200}{60.000} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,17 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 17 \;\% \end{array}$
  • Orange: $6.600$
    $\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{6.600}{60.000} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,11 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 11 \;\% \end{array}$
#prozentwert#grundwert#prozentsatz

Aufgabe 1

Bei der Veranstaltung werden $15.000$ Besucher erwartet. Um für das nächste Jahr besser planen zu können, werden unterschiedliche Daten erhoben.
a)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Bei der Aufgabe ist der Grundwert, die Gesamtzahl der Besucher, $\text{G}=15.000$ und der Prozentwert $\text{W}=3.240$ gegeben. Gesucht ist der Prozentsatz. Diesen kannst du mit der Formel berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{3.240}{15.000} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,216 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 21,60 \;\% \end{array}$
Es ist also so, dass $21,60 \; \%$ der Besucher keine Farbpakete kaufen.
b)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Bei der Aufgabe ist der Grundwert, die Gesamtzahl der Besucher, $\text{G}=15.000$ und der Prozentwert $\text{W}=12.000$ gegeben. Gesucht ist der Prozentsatz. Diesen kannst du mit der Formel berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{12.000}{15.000} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,8 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 80 \;\% \end{array}$
$80 \; \%$ der Besucher sind also volljährig.
c)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Bei der Aufgabe ist der Grundwert erneut die Gesamtzahl der Besucher, $\text{G}=15.000$. Der Prozentwert ergibt sich aus der Aufgabe b), indem du von der Gesamtanzahl der Beushcer, die Anzahl der volljährigen Besucher abziehst $\text{W}=15.000 -12.000 =3.000 $. Gesucht ist der Prozentsatz. Diesen kannst du erneut mit der Formel berechnen. Du kannst die Lösung aber auch mit Hilfe der Ergebnisse zu Aufgabe b) ermitteln. Wenn $80 \;%$ der Besucher volljährig sind, dann sind $100 \; \% - 80 \; \% = 20 \; \%$ nicht volljährig, also mit Begleitung beim Festival.
#prozentsatz

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Bei der Aufgabe ist der Grundwert und der Prozentwert in der Tabelle angegeben. Gesucht ist der Prozentsatz.
Diesen kannst du mit der Formel $\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% \end{array}$, berechnen.
GrundwertProzentwertProzentsatz
$12$$6$$50 \; \%$
$5.200$$1.352$$26 \; \%$
$200$$170$$85 \; \%$
$950$$427,50$$45 \; \%$
$20$$13$$65 \; \%$
$650$$780$$120 \; \%$

Aufgabe 3

Das Beispiel in der Aufgabe erklärt bereits das Vorgehen. Zunächst zählst du die Felder insgesamt und die in der entsprechenden Farbe. Dann stellst du den Anteil als Bruch dar. Diesen bringst du auf den Nenner $100$, wodurch du die Dezimalzahl und dadurch den Prozentsatz ablesen kannst.
a)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Insgesamt sind es $10$ Felder, was dem Grundwert entspricht.
  • grün:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{5}{20}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{25}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,25$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $25 \;\%$
  • orange:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{1}{20}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{5}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,05$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $5 \;\%$
  • $\color{#dc1400}{rot}$:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{4}{20}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{20}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,2$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $20 \;\%$
b)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Der Grundwert ist $32$, da es insgesamt $32$ Felder gibt.
  • grün:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{14}{32}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{43,75}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,4375$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $43,75 \;\%$
  • orange:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{8}{32}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{25}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,25$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $25 \;\%$
  • $\color{#dc1400}{rot}$:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{2}{32}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{6,25}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,0625$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $6,25 \;\%$
  • blau:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{4}{32}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{12,5}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,125$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $12,5 \;\%$
  • türkis:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{4}{32}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{12,5}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,125$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $12,5 \;\%$
c)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Der Grundwert ist $48$, da es insgesamt $48$ Felder gibt.
  • grün:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{15}{48}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{31,25}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,3125$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $31,25 \;\%$
  • orange:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{3}{48}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{6,25}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,0625$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $6,25 \;\%$
  • $\color{#dc1400}{rot}$:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{6}{48}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{12,5}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,125$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $12,25 \;\%$
  • blau:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{19}{48}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{39,58}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,3958$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $39,58 \;\%$
  • türkis:
    1. Bruch $\rightarrow$ $\frac{5}{48}$
    2. Dezimalbruch mit dem Nenner $100$ $\rightarrow$ $\frac{10,42}{100}$
    3. Dezimalzahl $\rightarrow$ $0,1042$
    4. Prozentsatz $\rightarrow$ $10,42 \;\%$
#prozentsatz

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Bei der Aufgabe sind die Gesamtkosten von $\text{G}=50 \; €$ der Grundwert. Der reduzierte Preis ist der Prozentwert $\text{W}=42,50 \; €$. Gesucht ist der Prozentsatz. Diesen kannst du mit der Formel berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{42,50 \; €}{50 \; €} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,85 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 85 \;\% \end{array}$
Die $85 \; \%$ entsprechen dem Kaufpreis. Im Gegensatz zum Normalpreis ist das reduzierte Ticket also um $100 \; \% - 85 \; \% = 15 \; \%$ reduziert.
b)
$\blacktriangleright$ Prozentsatz berechnen
Bei der Aufgabe sind die Gesamtkosten von $\text{G}=50 \; €$ der Grundwert, den du aus Aufgabe a) entnehmen kannst. Der reduzierte Preis ist der Prozentwert $\text{W}=47,50 \; €$. Gesucht ist der Prozentsatz. Diesen kannst du mit der Formel berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} \text{p} \;\% &=& \frac{\text{W}}{\text{G}} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& \frac{47,50 \; €}{50 \; €} \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 0,95 \cdot \; 100 \;\% &\quad \scriptsize \\[5pt] \text{p} \;\% &=& 95 \;\% \end{array}$
Die $95 \; \%$ entsprechen dem Kaufpreis. Im Gegensatz zum Normalpreis ist das reduzierte Ticket also um $100 \; \% - 95 \; \% = 5 \; \%$ reduziert.
#prozentsatz
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