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Allgemeine Parabelformen

Spickzettel
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Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet:
$f(x)=ax^2+bx+c$
Der Graph einer solchen Funktion wird Parabel genannt. Das $a$ bestimmt die Breite und die Öffnung einer Parabel:
  • $a>0$: nach oben geöffnete Parabel
  • $a<0$: nach unten geöffnete Parabel
  • $a>1$ und $a<-1$: schmaler als Normalparabel
  • $0<a<1$ und $-1<a<0$: breiter als Normalparabel
Außer der allgemeinen Form gibt es außerdem einige Spezialformen:
Ist $a=1$, so nennt man dies Normalform. Statt dem $b$ und $c$ werden hier $p$ und $q$ als Parameter verwendet:
$f(x)=x^2+px+q$
Haben die Parabeln den Scheitelpunkt $(0\mid0)$ und sind diese symmetrisch zur $y$-Achse, so hat die quadratische Funktion die Funktionsgleichung:
$f(x)=ax^2$
Die einfachste quadratische Gleichung hat die Funktionsgleichung $\boldsymbol{f(x)=x^2}$, deren Graph Normalparabel genannt wird.
Ist eine Parabel in $\boldsymbol{y}$-Richtung verschoben, so hat ihr Graph den Scheitelpunkt $(0\mid c)$. Die Funktionsgleichung lautet in diesem Fall:
$f(x)=ax^2+c$
Ihr Graph ist ebenfalls symmetrisch zur $y$-Achse. Für $c$ gilt:
  • $c>0$: Verschiebung in positive $y$-Richtung
  • $c<0$: Verschiebung in negative $y$-Richtung

Beispiel

Hier hast du die Graphen verschiedener Parabeln gegeben.
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
  • $f(x)=x^2$: Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(0\mid0)$
  • $f(x)=x^2+3$: in positive $y$-Richtung verschobene Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(0\mid3)$
  • $f(x)=-x^2$: nach unten geöffnete Normalparabel mit dem Scheitelpunkt $S(0\mid0)$
  • $f(x)=-\dfrac{1}{2}x^2$: nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0\mid0)$
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Aufgaben
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1.  Parabel zeichnen
Zeichne den Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3$ für $-5\leq x\leq5$ in ein Koordinatensystem.
2.  Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den Graphen zu und begründe.
  1. $f(x)= x^2+2$
  2. $f(x)= -3x^2$
  3. $f(x)= -\frac{1}{4}x^2-1$
  4. $f(x)= 2x^2-4$
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
3.  Tunnel
Die Öffnung eines Tunnels wird durch eine Parabel beschrieben. Der Tunnel ist $40\,\text{m}$ hoch und $100\,\text{m}$ breit. Bestimme eine Parabelgleichung.
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
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Lösungen
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1.  Parabel zeichnen
Um den Graphen der Funktion $f(x)=\dfrac{1}{2}x^2-3$ für $-5\leq x\leq5$ in ein Koordinatensystem zeichnen zu können, legst du dir eine Wertetabelle an. Setze dazu Werte für $-5\leq x\leq5$ in die Funktionsgleichung ein.
Hier setzen wir als Beispiel den Wert $x=-5$ in die Funktionsgleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& \dfrac{1}{2}x^2-3 \\[5pt] f(-5)&=&\dfrac{1}{2}\cdot(-5)^2-3\\[5pt] f(-5)&=&\dfrac{1}{2}\cdot25-3\\[5pt] f(-5)&=& 12,5-3\\[5pt] f(-5)&=& 9,5\\[5pt] \end{array}$
$x$$-5$$-4$$-3$$-2$$-1$$0$$1$$2$$3$$4$$5$
$y$$9,5$$5$$1,5$$-1$$-2,5$$-3$$-2,5$$-1$$1,5$$5$$9,5$
$x$$-5$$-4$$-3$$-2$$-1$$0$
$y$$9,5$$5$$1,5$$-1$$-2,5$$-3$
$x$$1$$2$$3$$4$$5$
$y$$-2,5$$-1$$1,5$$5$$9,5$
Nun kannst du die Parabel in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
2.  Ordne die folgenden Funktionsgleichungen den Graphen zu und begründe.
Die Graphen kannst du folgenden Funktionsgleichungen zuordnen, indem du aus den Gleichungen den Scheitelpunkt der Parabeln abliest. Zusätzlich hilft es dir zu bestimmen, ob die Parabeln nach oben oder nach unten geöffnet sind.
  1. $f(x)= 2x^2-4$
  2. $f(x)= x^2+2$
  3. $f(x)= -\frac{1}{4}x^2-1$
  4. $f(x)= -3x^2$
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
Der Graph von $f(x)=2x^2-4$ ist um $-4$ in negative $y$-Richtung verschoben. Die Parabel hat also den Scheitelpunkt $S(0\mid-4)$. Außerdem ist die Parabel nach oben geöffnet. Hier handelt es sich um den Graphen $D$.
Der Graph der Funktion $f(x)=x^2+2$ gehört zu einer nach oben geöffneten Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0\mid2)$. Somit gehört diese Funktionsgleichung zu dem Graphen $A$.
Die Funktion $f(x)=-\frac{1}{4}x^2-1$ beschreibt eine nach unten geöffnete Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(0\mid-1)$. Dies entspricht dem Graphen $C$.
Der Graph von $f(x)=3x^2$ hat den Ursprung $O(0\mid0)$ als Scheitelpunkt und ist nach unten geöffnet. Demnach beschreibt diese Funktion den Graphen $B$.
3.  Tunnel
Um die Parabelgleichung zu bestimmen, die die Tunnelöffnung beschreibt, legst du ein Koordinatensystem in die Skizze. Wähle dabei den Scheitelpunkt der Parabel so, dass dieser dem Ursprung entspricht.
Du weißt außerdem, dass der Tunnel eine Höhe $h$ von $40\,\text{m}$ und eine Breite $b=100\,\text{m}$ hat. Aus dem Koordinatensystem kannst du die Koordinaten bestimmen, an denen der Tunnel auf dem Boden trifft. Mit Hilfe dieser Koordinaten kannst du die Funktionsgleichung der Parabel bestimmen.
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
Quadratische Funktionen: Allgemeine Parabelformen
Da der Scheitelpunkt dem Ursprung entspricht und die Parabel symmetrisch zur $y$-Achse ist, wird die Parabelgleichung durch die allgemeine Gleichung $f(x)=ax^2$ beschrieben. Setze nun die Koordinaten des Punktes $A$ oder $B$ in die Funktionsgleichung ein und löse nach $a$ auf, um eine Parabelgleichung zu bestimmen, die die Tunnelöffnung beschreibt.
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=& ax^2 \\[5pt] -40&=& a\cdot(-50^2)\\[5pt] -40&=& a\cdot2.500&\quad \scriptsize \mid\; :2.500\\[5pt] \dfrac{-40}{2.500}&=& a\\[5pt] a&=& -\dfrac{2}{125}\\[5pt] a&=& -0,016 \end{array}$
Die Tunnelöffnung wird durch eine Parabel mit der Funktionsgleichung $f(x)=-0,016x^2$ beschrieben.
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