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Einführung

Spickzettel
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Eine Parabel lässt sich mit der Funktionsgleichung $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ beschreiben. Die Normalparabel ist eine spezielle Art der Parabeln, bei der $a$ den Wert $a=1$ annimmt und $b$ und $c$ den Wert $0$ annehmen. Vereinfacht lautet die Funktionsgleichung der Normalparabel also $y=x^2$. Die Normalparabel hat folgende Eigenschaften:
  • Der Graph geht durch den Ursprung und besitzt dort den Scheitelpunkt
  • Der Graph ist symmetrisch zur $y$-Achse
  • Der Graph ist nach oben geöffnet
Die Normalparabel kann gestreckt oder gestaucht werden, dabei ändert sich der Faktor $a$. Außerdem kann eine Verschiebung in $x$- oder $y$-Richung stattfinden.
#parabel#quadratischefunktion
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Lege eine Wertetabelle für $f: y=x^2$ im Bereich $x\in[-4;4]$ an.
b)
Übertrage die Punkte in ein Koordinatensystem und verbinde sie zu einem Graphen.
c)
Der tiefste Punkt der Funktion $f$ wird als Scheitelpunkt $S$ bezeichnet. Finde ihn und notiere seine Koordinaten.
d)
Um den Graphen $g : y=-x^2$ zu zeichnen kannst du den Graphen $f$ an der $x$-Achse spiegeln.
e)
Der höchste Punkt von $g$ wird als Scheitelpunkt $S$ bezeichnet. Finde ihn und notiere seine Koordinaten.

Aufgabe 1

Die Punkte $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, liegen auf einer Normalparabel. Berechne die fehlenden $y$-Koordinaten.
$A(1\mid y_1)$
$B(3 \mid y_2)$
$C(-2 \mid y_3)$
$D(5 \mid y_4)$
$E(0 \mid y_5)$

Aufgabe 2

Die Punkte $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, liegen auf einer Normalparabel. Berechne die fehlenden $x$-Koordinaten.
$A(x_1\mid 2)$
$B(x_2 \mid 4)$
$C(x_3 \mid 0)$
$D(x_4 \mid 6,25)$
$E(x_5 \mid 16)$

Aufgabe 3

Überprüfe, ob die Punkte auf der Normalparabel liegen.
b)
$P_2(-4 \mid -16)$
d)
$P_4(0\mid 1)$
f)
$P_6(0\mid 0)$

Aufgabe 4

Gegeben ist der Graph $g: y=-x^2$.
Die Eckpunkte eines Dreiecks sind gegeben durch $A(0 \mid 0)$, $B(x_n \mid 0)$ und $C(x_n \mid f(x_n))$.
a)
Zeichne den Graphen von $f$ in ein Koordinatensystem.
b)
Bestimme die Punkte $A$, $B$, und $C$ für $x_1=1$ und $x_2=3$.
c)
Zeichne die Dreiecke $ABC$ in das Koordinatensystem ein.
d)
Berechne den Flächeninhalt der beiden Dreiecke.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Wertetabelle anlegen
$x$$y$
$-4 $16
$ -3$ 9
$-2 $ 4
$-1 $ 1
$ 0$ 0
$ 1$ 1
$2 $ 4
$3 $ 9
$ 4$ 16
b)
$\blacktriangleright$  Graph der Funktion $f$ zeichnen
Abb. 1 Graph der Funktion $f$
Abb. 1 Graph der Funktion $f$
c)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
Der Scheitelpunkt $S$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0)$.
d)
$\blacktriangleright$  Graph $g$ zeichnen
Spiegle den Graphen $f$ an der $x$-Achse.
Abb. 2 Graphen $g$ und $f$
Abb. 2 Graphen $g$ und $f$
d)
$\blacktriangleright$  Scheitelpunkt bestimmen
Der Scheitelpunkt $S$ hat die Koordinaten $(0 \mid 0)$.

Aufgabe 1

Die fehlenden $y$-Koordinaten kannst du bestimmen, indem du den $x$-Wert in die Gleichung der Normalparabel einsetzt und dann den $y$-Wert ausrechnest.
Die Gleichung der Normalparabel lautet: $f: y=x^2$
Um die $y$-Koordinate von Punkt $A$ zu bestimmen setzt du $x=1$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 1^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 1&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $A$ hat die Koordinaten$(2 \mid 1)$
Um die $y$-Koordinate von Punkt $B$ zu bestimmen setzt du $x=3$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 3^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 9&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $B$ hat die Koordinaten$(3 \mid 9)$
Um die $y$-Koordinate von Punkt $C$ zu bestimmen setzt du $x=-2$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& (-2)^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $C$ hat die Koordinaten$(-2 \mid 4)$
Um die $y$-Koordinate von Punkt $D$ zu bestimmen setzt du $x=5$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 5^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 25&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten$(5 \mid 25)$
Um die $y$-Koordinate von Punkt $E$ zu bestimmen setzt du $x=0$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 0^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $E$ hat die Koordinaten$(0 \mid 0)$

Aufgabe 2

Die fehlenden $x$-Koordinaten kannst du bestimmen, indem du die Gleichung der Normalparabel nach $x$ umstellst und den $y$-Wert in die Gleichung einsetzt.
Die Gleichung der Normalparabel lautet: $f: y=x^2$
Wenn du sie nach $x$ umstellst erhältst du $x = \sqrt{y}$
Um die $x$-Koordinate von Punkt $A$ zu bestimmen setzt du $y=2$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{y}&\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& \sqrt{2} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 1,41 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $A$ hat die Koordinaten$(1,41 \mid 2)$
Um die $x$-Koordinate von Punkt $B$ zu bestimmen setzt du $y=4$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{y}&\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& \sqrt{4} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 2&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $B$ hat die Koordinaten$(2 \mid 4)$
Um die $x$-Koordinate von Punkt $C$ zu bestimmen setzt du $y=0$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{y}&\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& \sqrt{0} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $C$ hat die Koordinaten$(0 \mid 0)$
Um die $x$-Koordinate von Punkt $D$ zu bestimmen setzt du $y=6,25$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{y}&\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& \sqrt{6,25} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 2,5&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $D$ hat die Koordinaten$(2,5 \mid 6,25)$
Um die $x$-Koordinate von Punkt $E$ zu bestimmen setzt du $y=16$ in die Gleichung ein.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{y}&\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& \sqrt{16} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Punkt $E$ hat die Koordinaten$(4 \mid 16)$

Aufgabe 3

Um herauszufinden, ob die Punkte auf der Normalparabel liegen, setzt du die $x$-Koordinate in die Gleichung der Normalparabel ein und berechnest den zugehörigen $y$-Wert. Stimmt dieser mit der $y$-Koordinate des Punktes überein, so liegt der Punkt auf der Normalparabel.
Die Gleichung der Normalparabel lautet: $f: y= x^2$
$\blacktriangleright$  Liegt $P_1(3 \mid 8)$ auf der Normalparabel?
Setzte $x=3$ in die Gleichung der Normalparabel ein und bestimme $y$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 3^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 9&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst den Punkt $(3 \mid 9)$ auf der Normalparabel.
Der Punkt $P_1(3 \mid 8)$ liegt nicht auf der Normalparabel , da er eine andere $y$-Koordinate hat.
$\blacktriangleright$  Liegt $P_2(-4 \mid -16)$ auf der Normalparabel?
Setzte $x=-4$ in die Gleichung der Normalparabel ein und bestimme $y$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& -4^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 16&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst den Punkt $(-4 \mid 16)$ auf der Normalparabel.
Der Punkt $P_2(-4 \mid -16)$ liegt nicht auf der Normalparabel , da er eine andere $y$-Koordinate hat.
$\blacktriangleright$  Liegt $P_3(6 \mid 36)$ auf der Normalparabel?
Setzte $x=6$ in die Gleichung der Normalparabel ein und bestimme $y$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 6^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 36&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst den Punkt $(6 \mid 36)$ auf der Normalparabel.
Der Punkt $P_3(6 \mid 36)$ liegt auf der Normalparabel.
$\blacktriangleright$  Liegt $P_4(0 \mid 1)$ auf der Normalparabel?
Setzte $x=0$ in die Gleichung der Normalparabel ein und bestimme $y$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 0^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst den Punkt $(0 \mid 0)$ auf der Normalparabel.
Der Punkt $P_4(0 \mid 1)$ liegt nicht auf der Normalparabel , da er eine andere $y$-Koordinate hat.
$\blacktriangleright$  Liegt $P_5(1 \mid 2)$ auf der Normalparabel?
Setzte $x=1$ in die Gleichung der Normalparabel ein und bestimme $y$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 1^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 1&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst den Punkt $(1 \mid 1)$ auf der Normalparabel.
Der Punkt $P_5(1 \mid 2)$ liegt nicht auf der Normalparabel , da er eine andere $y$-Koordinate hat.
$\blacktriangleright$  Liegt $P_6(0 \mid 0)$ auf der Normalparabel?
Setzte $x=0$ in die Gleichung der Normalparabel ein und bestimme $y$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 0^2&\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 0&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Du erhältst den Punkt $(0 \mid 0)$ auf der Normalparabel.
Der Punkt $P_6(0 \mid 0)$ liegt auf der Normalparabel.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Graphen von $f$ zeichnen
Um den Graphen von $f$ zu zeichnen, kannst du eine Wertetabelle anlegen und die Punkte in ein Koordinatensystem übertragen.
Abb. 3 Graph der Funktion $f$
Abb. 3 Graph der Funktion $f$
b)
$\blacktriangleright$  $A$, $B$, und $C$ bestimmen
Zuerst bestimmst du die Koordinaten der Punkte $A_1$, $B_1$, und $C_1$ für $x_1=1$
Der Punkt $A_1$ hat die Koordinaten $(0\mid 0)$.
Der Punkt $B_1$ hat die Koordinaten $(x_n \mid 0)$. Du musst $x_1 = 1$ für $x_n$ einsetzen um die Koordinaten zu erhalten.
$B_1(1 \mid 0)$
Der Punkt $C_1$ hat die Koordinaten $(x_n \mid f(x_n))$.
Zuerst bestimmen wir $f(x_n)$, indem wir $x_1=1$ in die Gleichung von $f$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x_n)&=& -x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] f(x_1)&=& -1^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f(x_1)&=& -1 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten von $C_1$ sind damit $C_1(1 \mid -1)$.
Dann bestimmst du die Koordinaten der Punkte $A_2$, $B_2$, und $C_2$ für $x_2=3$
Der Punkt $A_2$ hat die Koordinaten $(0\mid 0)$.
Der Punkt $B_2$ hat die Koordinaten $(x_n \mid 0)$. Du musst $x_2 = 3$ für $x_n$ einsetzen um die Koordinaten zu erhalten.
$B_2(3 \mid 0)$
Der Punkt $C_2$ hat die Koordinaten $(x_n \mid f(x_n))$.
Zuerst bestimmen wir $f(x_n)$, indem wir $x_2=3$ in die Gleichung von $f$ einsetzen.
$\begin{array}[t]{rll} f(x_n)&=& -x^2&\quad \scriptsize \\[5pt] f(x_2)&=& -3^2 &\quad \scriptsize \\[5pt] f(x_2)&=& -9 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Koordinaten von $C_2$ sind damit $C_2(3 \mid -9)$.
c)
$\blacktriangleright$  Dreiecke einzeichnen
Um die Dreiecke in das Koordinatensystem zu zeichnen, überträgst du zuerst die Punkte $A$, $B$, und $C$ in das Koordinatensystem.
Dann verbindest du die Punkte.
Abb. 4 Dreiecke
Abb. 4 Dreiecke
d)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt bestimmen
Um den Flächeninhat der Dreiecke zu bestimmen, verwendest du die Formel.
$A = \frac{a \cdot b}{2}$
$A = \frac{a \cdot b}{2}$
Der Flächeninhat des Dreiecks $A_1B_1C_1$ lautet damit:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{a \cdot b}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&\frac{1 \cdot 1}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&\frac{1}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Der Flächeninhat des Dreiecks $A_2B_2C_2$ lautet damit:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& \frac{a \cdot b}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&\frac{3 \cdot 9}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] A&=&\frac{27}{2}&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Bildnachweise [nach oben]
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