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Herleitung von Funktionsgleichungen

Spickzettel
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Erklärung

Wenn du eine Funktionsgleichung aufstellen möchtest, kannst du drei verschiedene Ansätze verwenden:
$\blacktriangleright$
Ansatz über allgemeine Form, wenn zwei Punkte der Parabel und $a$, $b$ oder $c$ bekannt sind.
$P_1(0\mid2)$, $P_2(-2\mid6)$, $a=2$
Allgemeine Form:
$y_1=ax_1^2+bx_1+c$
$y_2=ax_2^2+bx_2+c$
$x$, $y$ und $a$ einsetzen
2 Gleichungen, 2 Unbekannte:
(1) $\quad$$2=0a+0b+c$
(2) $\quad 6=2\cdot 4-2b+c$
Gleichungssystem lösen, in allg. Form einsetzen:
$\rightarrow y=2x^2+2x+2$
$\blacktriangleright$
Ansatz über Scheitelpunktform, wenn der Scheitel und der Formfaktor $a$ bekannt sind.
$S(3\mid -4)$, $a=1$
Scheitelpunktform:
$y=a(x-x_s)^2+y_s$
$x_s$, $y_s$ und $a$ einsetzen:
$y=1(x-3)^2-4$
in allg. Form bringen:
$\rightarrow y=x^2-6x+5$
$\blacktriangleright$
Ansatz über Scheitelpunktform, wenn der Scheitel und ein Punkt bekannt sind.
$S(2\mid 2)$, $P_1(-1\mid 11)$
Scheitelpunktform:
$y=a(x-x_s)^2+y_s$
$x_s$, $y_s$, $x$ und $y$ einsetzen:
$11=a(-1-2)^2+2$
$9=a$
$a$, $x_s$ und $y_s$ in Scheitelpunktform einsetzen:
$y=1(x-2)^2+2$
in allg. Form bringen:
$\rightarrow y=x^2-4x+6$
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Aufgaben
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1.
Stelle die Funktionsgleichung $y=ax^2+bx+c$ der Normalparabel ($a=1$) auf.
b)
$P_1(-2\mid -2)$
$P_2(5\mid 1)$
d)
$P_1(3\mid -1)$
$P_2(0\mid 2)$
f)
$P_1(-5\mid 4)$
$P_2(-1\mid -2)$
2.
Bestimme die Funktionsgleichung $y=ax^2+bx+c$ mit $a=1$ über die Scheitelpunktform.
b)
$S(1\mid 2)$
d)
$S(2\mid 1)$
f)
$S(-2\mid -3)$
3.
Bestimme die Funktionsgleichung $y=ax^2+bx+c$ über die Scheitelpunktform.
b)
$S(0\mid 0)$
$P_1(1\mid -2)$
d)
$S(1\mid 1)$
$P_1(3\mid 3)$
f)
$S(-2\mid 2)$
$P_1(-3\mid 5)$
4.
Stelle die Funktionsgleichung $y=ax^2+bx+c$ auf.
b)
$P_1(-2\mid 1)$
$P_2(3\mid -3)$
$a=-1$
d)
$P_1(-0,4\mid -0,4)$
$P_2(-2\mid -3)$
$a=-4$
f)
$P_1(0\mid 3)$
$P_2(6\mid 9)$
$a=0,5$
5.
Bestimme die Funktionsgleichung $y=ax^2+bx+c$ über die Scheitelpunktform.
b)
$S(1\mid 2)$
$a=-1$
d)
$S(2\mid 1)$
$a=-0,5$
f)
$S(-2\mid -3)$
$a=3$
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Lösungen
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1.
Funktionsgleichung der Normalparabel $(a=1)$ aufstellen
Du sollst die Funktionsgleichung $y = ax^2 + bx + c$ der Normalparabel aufstellen.
Dazu hast du die Angabe $a=1$.
Wenn du diesen Wert für die Variable $a$ einsetzt, erhältst du die Funktionsgleichung
$y = x^2 + bx + c$.
In den folgenden Aufgabenteilen sind jeweils zwei Punkte, die auf der jeweiligen Parabel liegen, gegeben.
Durch das Einsetzen der Punkte in die Funktionsgleichung erhältst du zwei Gleichungen, die du dann nach den Variablen $a$ und $b$ über ein Gleichungssystemauflösen kannst.
a)
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(0 \mid 0)$ und $\text{P}_2(2 \mid -5)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&0&=&(0)^2&+&b \cdot 0&+&c& \\ (2)&-5&=&(2)^2&+&b \cdot 2&+&c& \\\hline (1)&0&=&&&&&c& \\ (2)&-5&=&4&+&b \cdot 2&+&c&\mid\; -4 \\\hline (1)&-9&=&&&b \cdot 2&+&c& c=0 \text{ in } (2) \text{ einsetzen }\\ &-9&=&&&b \cdot 2&+&0&\mid\; :2 \\ &-\dfrac{9}{2}&=&&&b \\\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} &-\dfrac{9}{2}&=b \\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - \dfrac{9}{2} x$
b)
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(-2 \mid -2)$ und $\text{P}_2(5 \mid 1)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&-2&=&(-2)^2&-&b \cdot 2&+&c&\\ (2)&1&=&(5)^2&+&b \cdot 5&+&c& \\\hline (1)&-2&=&4&-&b \cdot 2&+&c&\\ (2)&1&=&25&+&b \cdot 5&+&c& (2)-(1)\\\hline (1)&-2&=&4&-&b \cdot 2&+&c& \mid\; -4 \\ (2)&3&=&21&+&b \cdot 7&&& \mid\; -21 \\\hline (1)&-6&=&&&-b \cdot 2&+&c&\\ (2)&-18&=&&&b \cdot 7&&& \mid\; :7 \\\hline (1)&-6&=&&&-b \cdot 2&+&c&\\ (2)&-\dfrac{18}{7} &=&&&b&&& \\\hline (1)&-6&=&&&-b \cdot 2&+&c& b=-\dfrac{18}{7} \text{ in } (1) \text{ einsetzen }\\ &-6&=&&&\dfrac{18}{7} \cdot 2&+&c& \\ &-6&=&&&\dfrac{36}{7}&+&c& \mid\; -\dfrac{36}{7}\\ &- \dfrac{78}{7}&=&&&&&c& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} &- \dfrac{78}{7}&=c \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - \dfrac{18}{7} x - \dfrac{78}{7}$
c)
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(1 \mid 3)$ und $\text{P}_2(5 \mid 3)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&3&=&(1)^2&+&b \cdot 1&+&c&\\ (2)&3&=&(5)^2&+&b \cdot 5&+&c& \\\hline (1)&3&=&1&+&b&+&c& \\ (2)&3&=&25&+&b \cdot 5&+&c& (2)-(1)\\\hline (1)&3&=&1&+&b&+&c& \mid\; -1\\ (2)&0&=&24&+&b \cdot 4&&& \mid\; -24\\\hline (1)&2&=&&&b&+&c& \\ (2)&-24&=&&&b \cdot 4&&& \mid\; :4 \\\hline (1)&2&=&&&b&+&c& \\ (2)&-6&=&&&b&&& \\\hline (1)&2&=&&&b&+&c& b=-6 \text{ in } (1) \text{ einsetzen }\\ &2&=&&&-6&+&c& \mid\; +6\\ &8&=&&&&&c& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} &8&=c \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - 6 x + 8$
d)
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(3 \mid -1)$ und $\text{P}_2(0 \mid 2)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&-1&=&(3)^2&+&b \cdot 3&+&c&\\ (2)&2&=&(0)^2&+&b \cdot 0&+&c& \\\hline (1)&-1&=&9&+&b \cdot 3&+&c& \mid\;-9 \\ (2)&2&=&&&&&c& \\\hline (1)&-10&=&&&b \cdot 3&+&c& c=2 \text{ in } (1) \text{ einsetzen } \\ &-10&=&&&b \cdot 3&+&2& \mid\; -2 \\ &-12&=&&&b \cdot 3&&& \mid\; :3 \\ &-4&=&&&b&&& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} &-4&= b \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - 4 x + 2$
e)
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(-1 \mid 4)$ und $\text{P}_2(0 \mid 2)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&4&=&(-1)^2&-&b \cdot 1&+&c&\\ (2)&2&=&(0)^2&+&b \cdot 0&+&c& \\\hline (1)&4&=&1&-&b&+&c& \mid\; -1 \\ (2)&2&=&&&&&c& \\\hline (1)&3&=&&-&b&+&c& c=2 \text{ in } (1) \text{ einsetzen } \\ &3&=&&-&b&+&2& \mid\; -2 \\ &1&=&&-&b&&&\mid\; \cdot\;(-1)\\ &-1&=&&&b&&& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} &-1&=b\\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - x + 2$
f)
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(-5 \mid 4)$ und $\text{P}_2(-1 \mid -2)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&4&=&(-5)^2&-&b \cdot 5&+&c&\\ (2)&-2&=&(-1)^2&-&b \cdot 1&+&c& \\\hline (1)&4&=&25&-&b \cdot 5&+&c&\\ (2)&-2&=&1&-&b&+&c& (2)-(1)\\\hline (1)&4&=&25&-&b \cdot 5&+&c& \mid\; -25\\ (2)&-6&=&-24&+&b \cdot 4&&&\mid\; +24\\\hline (1)&-21&=&&-&b \cdot 5&+&c& \\ (2)&18&=&&&b \cdot 4&&&\mid\; :4 \\ \hline (1)&-21&=&&-&b \cdot 5&+&c& \\ (2)&\dfrac{9}{2}&=&&&b&&& \\ \hline (1)&-21&=&&-&b \cdot 5&+&c& b=\dfrac{9}{2} \text{ in } (1) \text{ einsetzen }\\ &-21&=&&-&\dfrac{9}{2} \cdot 5&+&c& \\ &-21&=&&-&\dfrac{45}{2}&+&c& \mid\; +\dfrac{45}{2} \\ &\dfrac{3}{2}&=&&&&&c& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} &\dfrac{3}{2}&=c \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - \dfrac{9}{2}\,x + \dfrac{3}{2}$
2.
Funktionsgleichung über Scheitelpunktform bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung $y = ax^2 + bx + c$ über die Scheitelpunktform bestimmen.
Die Scheitelpunktform mit $\text{S}(x_s \mid y_s)$ sieht folgendermaßen aus:
$y = a(x-x_s)^2 + y_s$
$y = a(x-x_s)^2 + y_s$
Mit $a = 1$ folgt: $y = (x-x_s)^2 + y_s$.
Jetzt musst du nur noch die gegebenen Koordinaten der jeweiligen Scheitel für $x_s$ und $y_s$ einsetzen und die so erhaltene Gleichung in die allgemeine Form $y = ax^2 + bx + c$ bringen.
a)
Durch das Einsetzen von $\text{S}(0 \mid 0)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}llll} y&=&(x - 0)^2 + 0& \\ &=&x^2& \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2$
b)
Durch das Einsetzen von $\text{S}(1 \mid 2)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&(x - 1)^2 + 2& \\ &=&x^2 - 2\,x + 1 + 2& \\ &=&x^2 -2\,x + 3& \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - 2x + 3$
c)
Durch das Einsetzen von $\text{S}(3 \mid 0)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}llllll} y&=&(x - 3)^2 + 0& \\ &=&x^2 - 6\,x + 9& \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - 6x + 9$
d)
Durch das Einsetzen von $\text{S}(2 \mid 1)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}llllll} y&=&(x - 2)^2 + 1& \\ &=&x^2 - 4\,x + 4 + 1& \\ &=&x^2 - 4\,x + 5 & \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - 4x + 5$
e)
Durch das Einsetzen von $\text{S}(4 \mid 3)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}llllll} y&=&(x - 4)^2 + 3& \\ &=&x^2 - 8\,x + 16 + 3& \\ &=&x^2 - 8\,x + 19 \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - 8x + 19$
f)
Durch das Einsetzen von $\text{S}(-2 \mid -3)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}llllll} y&=&(x + 2)^2 - 3& \\ &=&x^2 + 4\,x + 4 - 3& \\ &=&x^2 + 4\,x + 1 & \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 + 4x + 1$
3.
Funktionsgleichung über Scheitelpunktform bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung $y = ax^2 + bx + c$ über die Scheitelpunktform bestimmen.
Diesmal hast du den Scheitelpunkt $\text{S}(x_s \mid y_s)$ und einen weiteren Punkt deiner Parabel gegeben.
Zunächst setzt du diese beiden Punkte in die Scheitelpunktform ein, um die Variable $a$ zu erhalten. Anschließend kannst du die ermittelte Variable $a$ und den Scheitelpunkt abermals in die Scheitelpunktform einsetzen und diese dann in die allgemeine Form $y = ax^2 + bx + c$ bringen.
a)
Mit dem Einsetzen von $\text{S}(2 \mid -4)$ und $\text{P}_1(0 \mid 0)$ erhältst du $a$ wie folgt:
$\begin{array}{r@{\;=\;}llllll} 0&=&a(0 - 2)^2 - 4& \\ 0&=&4\,a - 4& \mid\; +4 \\ 4&=&4\,a& \mid\; : 4 \\ 1&=&a&\\ \end{array}$
$a=1$ und $\text{S}(2 \mid -4)$ in Scheitelpunktform einsetzen:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&1(x-2)^2 -4& \\ &=&x^2 - 4\,x + 4 - 4 & \\ &=&x^2 -4\,x & \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = x^2 - 4x$
b)
Mit dem Einsetzen von $\text{S}(0 \mid 0)$ und $\text{P}_1(1 \mid -2)$ erhältst du $a$ wie folgt:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} -2&=&a(1 - 0)^2 + 0& \\ -2&=&a& \\ \end{array}$
$a=-2$ und $\text{S}(0 \mid 0)$ in Scheitelpunktform einsetzen:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&-2(x-0)^2 + 0& \\ &=&-2\,x^2 \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = -2x^2$
c)
Mit dem Einsetzen von $\text{S}(3 \mid 2)$ und $\text{P}_1(1 \mid -2)$ erhältst du $a$ wie folgt:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} -2&=&a(1 - 3)^2 + 2& \mid\; -2 \\ -4&=&a(-2)^2& \\ -4&=&4a& \mid\; : 4 \\ -1&=&a&\\ \end{array}$
$a=-1$ und $\text{S}(3 \mid 2)$ in Scheitelpunktform einsetzen:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&-1(x-3)^2 + 2& \\ &=&-1(x^2 - 6\,x + 9) + 2 & \\ &=&-x^2 + 6\,x - 9 + 2 & \\ &=&-x^2 + 6\,x - 7 & \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = -x^2 + 6x - 7$
d)
Mit dem Einsetzen von $\text{S}(1 \mid 1)$ und $\text{P}_1(3 \mid 3)$ erhältst du $a$ wie folgt:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} 3&=&a(3 - 1)^2 + 1& \mid\; -1 \\ 2&=&a(2)^2 & \\ 2&=&4a& \mid\; : 4 \\ \dfrac{1}{2}&=&a&\\ \end{array}$
$a=\dfrac{1}{2}$ und $\text{S}(1 \mid 1)$ in Scheitelpunktform einsetzen:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&\dfrac{1}{2}(x-1)^2 +1& \\ &=&\dfrac{1}{2} (x^2 - 2\,x + 1) + 1\\ &=&\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{1}{2} +1 \\ &=&\dfrac{1}{2}x^2 - x + \dfrac{3}{2} \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = \dfrac{1}{2}\;x^2 - x + \dfrac{3}{2}$
e)
Mit dem Einsetzen von $\text{S}(1 \mid 3)$ und $\text{P}_1(5 \mid 7)$ erhältst du $a$ wie folgt:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} 7&=&a(5 - 1)^2 + 3& \mid\; -3 \\ 4&=&a(4)^2 & \\ 4&=&16a& \mid\; : 16 \\ \dfrac{1}{4}&=&a&\\ \end{array}$
$a=\dfrac{1}{4}$ und $\text{S}(1 \mid 3)$ in Scheitelpunktform einsetzen:
$\begin{array}{llllll} y&=&\dfrac{1}{4}(x-1)^2 +3& \\ &=&\dfrac{1}{4}(x^2 - 2\,x + 1) +3& \\ &=&\dfrac{1}{4}\;x^2 - \dfrac{1}{2}\,x + \dfrac{1}{4} +3 \\ &=&\dfrac{1}{4}\;x^2 - \dfrac{1}{2}\,x + \dfrac{13}{4} \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = \dfrac{1}{4}\;x^2 - \dfrac{1}{2}\;x + \dfrac{13}{4}$
f)
Mit dem Einsetzen von $\text{S}(-2 \mid 2)$ und $\text{P}_1(-3 \mid 5)$ erhältst du $a$ wie folgt:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} 5&=&a(-3 + 2)^2 + 2& \mid\; -2 \\ 3&=&a(-1)^2& \\ 3&=&a& \\ \end{array}$
$a=3$ und $\text{S}(-2 \mid 2)$ in Scheitelpunktform einsetzen:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&3(x+2)^2 + 2& \\ &=&3(x^2 + 4\,x + 4) + 2 \\ &=&3\,x^2 + 12\,x + 12 + 2 \\ &=&3\,x^2 + 12\,x + 14 \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = 3\,x^2+ 12\,x +14$
4.
Funktionsgleichung aufstellen
Du sollst die Funktionsgleichung $y = ax^2 + bx + c$ aufstellen.
Dazu hast du jeweils einen Wert für $a$ gegeben, den du einsetzen kannst.
Durch Einsetzen der beiden gegebenen Punkte erhältst du wiederum zwei Gleichungen, die du nach den gesuchten Variablen auflösen kannst.
a)
Mit $a = 2$ folgt: $y = 2\,x^2 + b\,x + c$
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(0 \mid 4)$ und $\text{P}_2(3 \mid 10)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&4&=&2 \cdot (0)^2&+&b \cdot 0&+&c& \\ (2)&10&=&2 \cdot (3)^2&+&b \cdot 3&+&c& \\ \hline (1)&4&=&&&&&c& \\ (2)&10&=&2 \cdot 9&+&b \cdot 3&+&c& \\ \hline (2)&10&=&18&+&b \cdot 3&+&c& c=4 \text{ in } (2) \text{ einsetzen }\\ &10&=&18&+&b \cdot 3&+&4& \\ &10&=&22&+&b \cdot 3&&& \mid\; -22 \\ &-12&=&&&b \cdot 3&&& \mid\; :3\\ &-4&=&&&b&&& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} -4&=b \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = 2\,x^2 - 4x + 4$
b)
Mit $a = -1$ folgt: $y = -x^2 + b\,x + c$
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(-2 \mid 1)$ und $\text{P}_2(3 \mid -3)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&1&=&-(-2)^2&-&b \cdot 2&+&c& \\ (2)&-3&=&-(3)^2&+&b \cdot 3&+&c& \\ \hline (1)&1&=&-4&-&b \cdot 2&+&c& \\ (2)&-3&=&-9&+&b \cdot 3&+&c& (2)-(1) \\ \hline (1)&1&=&-4&-&b \cdot 2&+&c& \mid\; +4\\ (2)&-4&=&-5&+&b \cdot 5&&& \mid\; +5 \\ \hline (1)&5&=&&-&b \cdot 2&+&c& \\ (2)&1&=&&&b \cdot 5&&& \mid\; :5\\ \hline (1)&5&=&&-&b \cdot 2&+&c& \\ (2)&\dfrac{1}{5}&=&&&b&&& \\ \hline (1)&5&=&&-&b \cdot 2&+&c& b=\dfrac{1}{5} \text{ in } (1) \text{ einsetzen }\\ &5&=&&-&\dfrac{1}{5} \cdot 2&+&c& \\ &5&=&&-&\dfrac{2}{5}&+&c& \mid\; +\dfrac{2}{5}\\ &\dfrac{27}{5}&=&&&&&c& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} \dfrac{27}{5}&=c \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = -x^2 + \dfrac{1}{5}\,x + \dfrac{27}{5}$
c)
Mit $a = -2$ folgt: $y = -2x^2 + b\,x + c$
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(1 \mid -1)$ und $\text{P}_2(2,5 \mid 0,5)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&-1&=&-2 \cdot(1)^2&+&b \cdot 1&+&c& \\ (2)&0,5&=&-2 \cdot (2,5)^2&+&b \cdot 2,5&+&c& \\ \hline (1)&-1&=&-2&+&b&+&c& \\ (2)&0,5&=&-12,5&+&b \cdot 2,5&+&c& (2)-(1) \\ \hline (1)&-1&=&-2&+&b&+&c& \mid\;+2 \\ (2)&1,5&=&-10,5&+&b \cdot 1,5&&& \mid\; + 10,5 \\\hline (1)&1&=&&&b&+&c& \\ (2)&12&=&&&b \cdot 1,5&&& \mid\; :1,5 \\\hline (1)&1&=&&&b&+&c& \\ (2)&8&=&&&b&&& \\\hline (1)&1&=&&&b&+&c& b=8 \text{ in } (1) \text{ einsetzen }\\ &1&=&&&8&+&c& \mid\; -8 \\ &-7&=&&&&&c& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} -7&=c \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = -2x^2 + 8x - 7$
d)
Mit $a = -4$ folgt: $y = -4x^2 + b\,x + c$
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(-0,4 \mid -0,4)$ und $\text{P}_2(-2 \mid -3)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&-0,4&=&-4 \cdot(-0,4)^2&+&b \cdot (-0,4)&+&c& \\ (2)&-3&=&-4 \cdot (-2)^2&+&b \cdot (-2)&+&c& \\ \hline (1)&-0,4&=&-0,64&-&b \cdot 0,4&+&c& \\ (2)&-3&=&-16&-&b \cdot 2&+&c& (2)-(1) \\ \hline (1)&-0,4&=&-0,64&-&b \cdot 0,4&+&c& \mid\; +0,64 \\ (2)&-2,6&=&-15,36&-&b \cdot 1,6&&& \mid\; +15,36 \\\hline (1)&0,24&=&&-&b \cdot 0,4&+&c& \\ (2)&12,76&=&&-&b \cdot 1,6&&& \mid\; :1,6 \\\hline (1)&0,24&=&&-&b \cdot 0,4&+&c& \\ (2)&7,975&=&&-&b&&& \mid\; \cdot \,(-1) \\\hline (1)&0,24&=&&-&b \cdot 0,4&+&c& \\ (2)&-7,975&=&&&b&&& \\\hline (1)&0,24&=&&-&b \cdot 0,4&+&c& b=-7,975 \text{ in } (1) \text{ einsetzen }\\ &0,24&=&&&7,975 \cdot 0,4&+&c& \\ &0,24&=&&&3,19&+&c& \mid\; -3,19 \\ &-2,95&=&&&&&c& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} -2,95&=c \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = -4x^2 - 7,975\,x - 2,95$
e)
Mit $a = 3$ folgt: $y = 3\,x^2 + b\,x + c$
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(1 \mid 0)$ und $\text{P}_2(4 \mid 9)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&0&=&3 \cdot 1^2&+&b \cdot 1&+&c& \\ (2)&9&=&3 \cdot 4^2&+&b \cdot 4&+&c& \\ \hline (1)&0&=&3&+&b&+&c& \\ (2)&9&=&48&+&b \cdot 4&+&c& (2)-(1) \\ \hline (1)&0&=&3&+&b&+&c& \mid\; -3 \\ (2)&9&=&45&+&b \cdot 3&&& \mid\; -45 \\ \hline (1)&-3&=&&&b&+&c& \\ (2)&-36&=&&&b \cdot 3&&& \mid\; :3 \\ \hline (1)&-3&=&&&b&+&c& \\ (2)&-12&=&&&b&&& \\ \hline (1)&-3&=&&&b&+&c& b=-12 \text{ in } (1) \text{ einsetzen }\\ &-3&=&&&-12&+&c& \mid\; +12 \\ &9&=&&&&&c& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} 9&=c \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = 3x^2 - 12\,x + 9$
f)
Mit $a = 0,5$ folgt: $y = 0,5\,x^2 + b\,x + c$
Durch Einsetzen der Punkte $\text{P}_1(0 \mid 3)$ und $\text{P}_2(6 \mid 9)$ ergeben sich folgende Gleichungen:
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} (1)&3&=&0,5 \cdot 0^2&+&b \cdot 0&+&c& \\ (2)&9&=&0,5 \cdot 6^2&+&b \cdot 6&+&c& \\\hline (1)&3&=&&&&&c& \\ (2)&9&=&18&+&b \cdot 6&+&c& \\\hline (2)&9&=&18&+&b \cdot 6&+&c& c=3 \text{ in } (2) \text{ einsetzen }\\ &9&=&18&+&b \cdot 6&+&3& \\ &9&=&21&+&b \cdot 6&&& \mid\; -21 \\ &-12&=&&&b \cdot 6&&& \mid\; : 6 \\ &-2&=&&&b&&& \\ \end{array}$
$\begin{array}{l@{\qquad}*{3}{rc}r@{\qquad}l} -2&=b \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = 0,5x^2 - 2\,x + 3$
5.
Funktionsgleichung über die Scheitelpunktform bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung $y = ax^2 + bx + c$ über die Scheitelpunktform bestimmen.
Dazu musst du die gegebenen Werte für $a$, $x_s$ und $y_s$ in die Scheitelpunktform einsetzen und die so erhaltene Gleichung in die allgemeine Form $y = ax^2 + bx + c$ bringen.
a)
Durch Einsetzen von $a = 3$ und $\text{S}(0 \mid 0)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&3(x - 0)^2 + 0 & \\ &=&3\,x^2& \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = 3\,x^2$
b)
Durch Einsetzen von $a = -1$ und $\text{S}(1 \mid 2)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&-1(x - 1)^2 + 2 &\\ &=&-1(x^2 -2\,x + 1) +2 & \\ &=&-x^2 + 2\,x - 1 + 2 & \\ &=&-x^2 + 2\,x + 1 & \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = -x^2 + 2\,x + 1$
c)
Durch Einsetzen von $a = -2$ und $\text{S}(3 \mid 0)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&-2(x - 3)^2 + 0 &\\ &=&-2(x^2 - 6\,x + 9) & \\ &=&-2\,x^2 + 12\,x - 18 & \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = -2\,x^2 + 12\,x - 18$
d)
Durch Einsetzen von $a = -0,5$ und $\text{S}(2 \mid 1)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&-0,5(x - 2)^2 + 1 &\\ &=&-0,5 (x^2 - 4\,x + 4) + 1 & \\ &=&-0,5\,x^2 + 2\,x - 2 + 1 & \\ &=&-0,5\,x^2 + 2\,x - 1 & \\ \end{array}$
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&-0,5(x - 2)^2 + 1 \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = -0,5\,x^2 + 2\,x - 1$
e)
Durch Einsetzen von $a = 2$ und $\text{S}(4 \mid 3)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&2(x - 4)^2 + 3 &\\ &=&2(x^2 - 8\,x + 16) + 3 &\\ &=&2\,x^2 - 16\,x + 32 + 3 & \\ &=&2\,x^2 - 16\,x + 35 & \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = 2\,x^2 - 16\,x + 35$
f)
Durch Einsetzen von $a = 3$ und $\text{S}(-2 \mid -3)$ erhältst du folgende Gleichung:
$\begin{array}{r@{\;=\;}lllll} y&=&3(x + 2)^2 - 3 &\\ &=&3(x^2 + 4\,x + 4) -3 & \\ &=&3\,x^2 + 12\,x + 12 - 3 & \\ &=&3\,x^2 + 12\,x + 9 & \\ \end{array}$
Die Funktionsgleichung ergibt sich zu $y = 3\,x^2 + 12\,x + 9$
© SchulLV 2015
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