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Schnittpunkte

Spickzettel
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Wenn zwei Geraden weder parallel noch identisch sind, schneiden sie sich genau in einem Punkt. Diesen nennt man Schnittpunkt $S(x_S\mid y_S)$. Die Schnittstelle $x_S$ kannst du berechnen, indem du die Funktionsterme der Geraden gleichsetzt und nach $x$ auflöst. Diesen $x$-Wert kannst du dann in eine der beiden Geradengleichungen einsetzen und erhältst so den $y$-Wert $y_S$.

Beispiel

Bestimme den Schnittpunkt der Geraden mit $y=2x+1$ und $y=-x+4$ zeichnerisch und rechnerisch.
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Zeichnerisch
Ablesen des Schnittpunktes $S(1|3)$.
Rechnerisch
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme:
$\begin{array}{rrl@{\hspace{1cm}}l} 2x+1&=&-x+4 &\quad\mid\scriptsize\; -4-2x \\[5pt] -3&=&-3x &\quad\mid\scriptsize\; :(-3) \\[5pt] x&=&1 \\[5pt] \end{array}$
$x=1$ eingesetzt in eine der beiden Geradengleichungen ergibt $y=2\cdot1+1=3$. Somit ist der Schnittpunkt im Punkt $\;S(1 \mid 3)$.
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Aufgaben
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1.  Lies die Schnittpunkte ab und beschrifte sie.
Schätze, wo der Schnittpunkt $S_5$ der beiden steigenden Geraden liegt (rechts oben)?
Stelle die Geradengleichung der Geraden durch die Schnittpunkte $S_3$ und $S_4$ auf.
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
2.  Ordne den Geraden die passende Funktionsgleichung zu. Begründe kurz deine Entscheidung. Berechne den Schnittpunkt der Geraden $A$, $B$ und $D$.
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
$y=-\dfrac{1}{2}x-1$;     $y=2x$;     $y=x-1$;     $y=2$;     $y=3x+1$
3.  Bestimme rechnerisch den Schnittpunkt der beiden Geraden.
a)  $\begin{array}[t]{lll} y&=&2x-5\\[5pt] y&=&6x \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{lll} y&=&-x+22\\[5pt] y&=&2x+10 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{lll} y&=&2(x+3)\\[5pt] y&=&-x \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{lll} y&=&3x-5\\[5pt] y&=&4 \end{array}$
4. Zeichne die Graphen beider Funktionen in ein Koordinatensystem und bestimme den Schnittpunkt zeichnerisch. Bestimme dann den Schnittpunkt rechnerisch.
a)  $\begin{array}[t]{lll} y&=&x-2\\[5pt] y&=&-x+3 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{lll} y&=&-\dfrac{1}{2}x\\[5pt] y&=&x-3 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{lll} y&=&3(x+0,5)\\[5pt] y&=&-4x \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{lll} y&=&\dfrac{3}{4}x-2\\[5pt] y&=&-2x+5 \end{array}$
5.  Ein Kino bietet für Schüler und Studenten die aufgeführten Angebote für ein Jahr.
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
a)  Stelle die verschiedenen Angebote in einem Koordinatensystem dar.
b)  Wie lautet jeweils die Funktionsgleichung?
c)  Wann würdest du dich für Standard, Premium oder VIP entscheiden? Begründe.


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1.  Skizze
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Der Schnittpunkt $S_1$ liegt bei $x=4$ und bei $y=1$. Daraus ergibt sich der Schnittpunkt $S_1(4 \mid 1)$.
Der Schnittpunkt $S_4$ liegt bei $x=2$ und bei $y=2$. Daraus ergibt sich der Schnittpunkt $S_4(2 \mid 2)$.
Der Schnittpunkt $S_2$ liegt bei $S_2(5,7 \mid 3,5)$.
Der Schnittpunkt $S_3$ liegt bei $S_3(4,5 \mid 4,5)$.
Den Schnittpunkt $S_5$ sieht man im Ausschnitt des Koordinatensystems nicht mehr. Der $x$-Wert und auch der $y$-Wert sind größer als $8$, da man bis dahin den Verlauf der Geraden noch sieht. Schätzungsweise liegt der Schnittpunkt bei $(10 \mid 10)$, er könnte aber auch schon bei $(9 \mid 9)$ liegen.
Oftmals ist das Ablesen sehr ungenau, da man nicht weiß, ob es sich um $0,6$ oder $0,7$ handelt. Sieht man aber noch nicht einmal wo der Schnittpunkt liegt, kann man keine zuverlässige Aussage treffen.
Bestimmung der Geradengleichungen
Um die Schnittpunkte berechnen zu können, musst du zunächst die Geradengleichungen aufstellen.
Die Gerade durch den Ursprung hat den $y$-Achsenabschnitt $c=0$ $\Longrightarrow\;y=mx$
Außerdem liegt der Punkt $(1 \mid 1)$ auf der Geraden. Setzt du diesen in $y=mx$ ein ergibt sich $1=m\cdot1$ $\Longrightarrow\;m=1$
Damit ergibt sich die Geradengleichung mit $y=x$.
Die anderen beiden Geraden haben den $y$-Achsenabschnitt $c=3$ und $c=8$. Mithilfe der Punkte $S_4(2 \mid 2)$ und $S_3(4,5 \mid 4,5)$ kannst du nun jeweils die Geradengleichung aufstellen.
Für die Gerade mit $c=8$ ergibt sich $y=mx+8$. Einsetzen von $S_3(4,5 \mid 4,5)$ liefert:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 4,5&=&m\cdot4,5+8&& \mid -8 \\[5pt] -3,5&=&4,5m&& \mid:4,5\\[5pt] m&=&-\dfrac{7}{9}&\\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich die Geradengleichung $y=-\dfrac{7}{9}x+8$.
Für die Gerade mit $c=3$ ergibt sich $y=mx+3$. Einsetzen von $S_4(2|2)$ liefert:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 2&=&m\cdot2+3& \mid -3 \\[5pt] -1&=&2m& \mid:2 \\[5pt] m&=&-\dfrac{1}{2}&\\[5pt] \end{array}$
Damit ergibt sich die Geradengleichung $y=-\dfrac{1}{2}x+3$.
2.  Die Gerade $B$ geht als einzige durch den Ursprung. Ihre Geradengleichung muss daher $y=2x$ lauten.
Die Gerade $A$ hat den $y$-Achsenabschnitt $1$ und ist im Vergleich zu den anderen Geraden sehr steil. Ihre Geradegleichung ist daher $y=3x+1$.
Die Gerade $C$ hat den $y$-Achsenabschnitt $2$ und die Steigung Null.
Ihre Funktionsgleichung ist $y=2$.
Es gibt zwei Geraden, die den $y$-Achsenabschnitt $-1$ haben $y=-\frac{1}{2}x-1$ und $y=x-1$.
Die Gerade $y=-\frac{1}{2}x-1$ hat eine negative Steigung, deshalb wird ihr der Buchstabe $E$ zugeordnet. $D$ zeigt die Gerade $y=x-1$.
Berechnung des Schnittpunkts der Geraden $\boldsymbol{A}$, $\boldsymbol{B}$ und $\boldsymbol{D}$
Um den Schnittpunkt der drei Geraden zu berechnen, genügt es, zwei Gleichungen der Geraden gleichzusetzen (z.B. $D$ und $A$).
Gleichsetzen von $y=x-1$ (D) und $y=3x+1$ (A):
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} x-1&=&3x+1&& \mid -1-x\\[5pt] -2&=&2x&& \mid :2\\[5pt] x&=&-1&& \\[5pt] \end{array}$
Um den $y$-Wert des Schnittpunktes zu bestimmen, setzt du $x=-1$ in eine der beiden Geradengleichungen ein. Hierbei ist nicht relevant welche du wählst, da an einem Schnittpunkt die Funktionswerte der Geraden übereinstimmen.
$x=-1$ eingesetzt in $y=x-1$ liefert $y=-1-1=-2$ $\Longrightarrow\;S(-1 \mid -2)$
Der Schnittpunkt der drei Geraden liegt damit bei $S(-1 \mid -2)$.
3. Wenn du den Schnittpunkt zweier Geraden berechnen willst, musst du die beiden Funktionsterme gleichsetzen. Durch Umformungen musst du nach $x$ auflösen. Den Wert für $x$ kannst du dann in eine der beiden Gleichungen einsetzen, um den $y$-Wert berechnen zu können.
Es ist nicht relevant, in welche Funktionsgleichung du den $x$-Wert einsetzt.
a)  Schnittpunkt $y=2x-5$ und $y=6x$
$\begin{array}[t]{rll} 2x-5&=&6x&{|-2x}\\[5pt] -5&=&4x&{|:4}\\[5pt] -\dfrac{5}{4}&=&x\\[5pt] -1,25&=&x \end{array}$
$y$-Wert in die zweite Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&6\cdot (-\frac{5}{4}) \\[5pt] y&=&-\dfrac{30}{4}=-\dfrac{15}{2}=-7,5 \end{array}$
Der Schnittpunkt liegt bei $S(-1,25 \mid -7,5)$
b)  Schnittpunkt $y=-x+22$ und $y=2x+10$
$\begin{array}[t]{rll} -x+22&=&2x+10&{|+x}\\[5pt] 22&=&3x+10&{|-10}\\[5pt] 12&=&3x&{|:3}\\[5pt] 4&=&x \end{array}$
$y$-Wert in die erste Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-4+22\\[5pt] y&=&18 \end{array}$
Der Schnittpunkt liegt bei $S(4 \mid 18)$.
c)  Schnittpunkt $y=2(x+3)$ und $y=-x$
$\begin{array}[t]{rll} 2(x+3)&=&-x&\\[5pt] 2x+6&=&-x&{|-2x}\\[5pt] 6&=&-3x&{|:(-3)}\\[5pt] -2&=&x \end{array}$
$y$-Wert in die zweite Gleichung einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-(-2)\\[5pt] y&=&2 \end{array}$
Der Schnittpunkt liegt bei $S(-2 \mid 2)$
d)  Schnittpunkt $y=3x-5$ und $y=4$
Da die zweite Funktionsgleichung eine Gerade darstellt, die parallel zur $x$-Achse ist, weißt du, dass der \(y\)-Wert immer 4 ist.
Folglich kannst du direkt den $y$-Wert in die erste Gleichung einsetzen und den $x$-Wert berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&3x-5\\[5pt] 4&=&3x-5& \mid +5 \\[5pt] 9&=&3x& \mid :3 \\[5pt] 3&=&x \end{array}$
Der Schnittpunkt liegt bei $S(3 \mid 4)$.
4.  In dieser Aufgabe sollst du beide Funktionen in ein Koordinatensystem einzeichnen, den Schnittpunkt beschriften und die Koordinaten ablesen. Anschließend sollst du den Schnittpunkt rechnerisch bestimmen.
a) 
1.  Zeichnerisch
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Der Schnittpunkt liegt bei $S(2,5|0,5)$.
2.  Rechnerisch
Gleichsetzen der beiden Geraden
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} x-2&=&-x+3& \mid+x+2 \\[5pt] 2x&=&5& \mid:2\\[5pt] x&=&2,5& \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $x=2,5$ in eine der beiden Gleichungen
$y=2,5-2=0,5$ $\Longrightarrow\;S(2,5 \mid 0,5)$
b) 
1.  Zeichnerisch
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Der Schnittpunkt liegt bei $S(2 \mid -1)$.
2.  Rechnerisch
Gleichsetzen der beiden Geraden
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} -\dfrac{1}{2}x=&x-3& \mid-x \\[5pt] -\dfrac{3}{2}x=&-3& \mid:(-\frac{3}{2})\\[5pt] x=&2& \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $x=2$ in eine der beiden Gleichungen
$y=-\dfrac{1}{2}\cdot2=-1$ $\Longrightarrow\;S(2|-1)$
c)  Zuerst kannst du im ersten Funktionsterm die Klammern auflösen, um auf einen Blick die Steigung und den $y$-Achsenabschnitt ablesen zu können.
$\begin{array}[t]{rll} y&=&3(x+0,5)\\[5pt] y&=&3x+1,5 \end{array}$
1.  Zeichnerisch
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Der Schnittpunkt liegt ungefähr bei $S(-0,2 \mid 0,8)$.
2.  Rechnerisch
Gleichsetzen der beiden Geraden
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 3x+1,5=&-4x& \mid-3x \\[5pt] 1,5=&-7x& \mid:(-7)\\[5pt] x\approx&-0,214& \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $x=-0,214$ in eine der beiden Gleichungen
$y=3\cdot(-0,214)+1,5=0,858$ $\Longrightarrow\;S(-0,214|0,858)$
d) 1.  Zeichnerisch
Bei dieser Aufgabe kann eine Wertetabelle hilfreich sein.
$\begin{array}[t]{c|c|c|c|c|c} x&-1&0&1&2&3\\[5pt] \hline y&\;-2,75\;&\;-2\;&\;-1,25\;&\;-0,5\;&\;0,25\; \end{array}$
$x$ $y$
-1 -2,75
0 -2
1 -1,25
2 -0,5
3 0,25
Jetzt kannst du die Geraden in ein Koordinatensystem einzeichnen.
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Der Schnittpunkt liegt ungefähr bei $S(2,5 \mid -0,1)$.
2.  Rechnerisch
Gleichsetzen der beiden Geraden
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3}{4}x-2&=&-2x+5&& \mid+2x+2 \\[5pt] 2,75x&=&7&& \mid:2\frac{3}{4}\\[5pt] x&\approx&2,55& \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3}{4}x-2&=&-2x+5&& \mid+2x+2 \\[5pt] 2,75x&=&7&& \mid:2\frac{3}{4}\\[5pt] x&\approx&2,55& \\[5pt] \end{array}$
Einsetzen von $x=2,55$ in eine der beiden Gleichungen
$y=-2\cdot2,55+5=-0,1$ $\Longrightarrow\;S(2,55|-0,1)$
5.
a)  Für die Veranschaulichung der Angebote im Koordinatensystem kannst du auf der $x$-Achse die Anzahl der besuchten Filme pro Jahr und auf der $y$-Achse die Kosten in € auftragen.
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte
b)  Standard: $y=6x$
Premium: $y=5x+20$
VIP: $y=300$
c)  Das Premium-Angebot lohnt sich ab dem Schnittpunkt der Standard-Geraden und der Premium-Geraden.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 6x&=&5x+20& \mid-5x \\[5pt] x&=&20& \\[5pt] \end{array}$
Nach 20 Kinobesuchen ist das Premium-Angebot genauso teuer wie das Standard-Angebot. Ab dem 21. Kinobesuch lohnt sich daher eine Premium-Mitgliedschaft im Kino. Für regelmäßige Kinobesucher ist also das Premium-Angebot günstiger.
Das VIP-Angebot lohnt sich ab dem Schnittpunkt der Premium-Geraden und der VIP-Geraden.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} 5x+20&=&300& \mid-20 \\[5pt] 5x&=&280& \mid:5 \\[5pt] x&=&56&\\[5pt] \end{array}$
Nach 56 Kinobesuchen ist das Premium-Angebot genauso teuer wie das VIP-Angebot. Ab dem 57. Kinobesuch lohnt sich daher eine VIP-Mitgliedschaft im Kino. Auf das Jahr verteilt bedeutet dies, dass sich die VIP-Mitgliedschaft bei mindestens einem Kinobesuch pro Woche lohnt.


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