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Modellierungsaufgaben

Spickzettel
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In der Mathematik bedeutet Modellierung das Lösen eines realen Problems durch ein mathematisches Modell. Im Alltag begegnen uns funktionale Zusammenhänge in vielen Situationen. So kann man zum Beispiel die Flugbahn eines Balles oder den Querschnitt einer Dachrinne annähernd durch eine Parabel beschreiben.
Wenn wir ein reales Problem lösen sollen kann uns der Modellierungskreislauf helfen:
Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
Gegeben ist immer eine reale Situation. Diese müssen wir so weit wie möglich vereinfachen, um dann ein reales Modell aufzustellen. Dieses Modell formulieren wir dann mathematisch, sodass wir ein mathematisches Modell erhalten. Mit diesem Modell können wir jetzt rechnen und das Problem mathematisch lösen. Es ist anschließend sehr wichtig die mathematische Lösung zu bewerten. Hierbei müssen wir uns nochmal die reale Situation anschauen und einen Antwortsatz formulieren.
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1. Gartenschlauch
Lars möchte seinen Garten mit einem Gartenschlauch gießen. Die Bahn des Wasserstrahls kann durch eine Parabel einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Verwende den Ansatz $f(x)=a \cdot x^2$.
Lars möchte seinen Garten mit einem Gartenschlauch gießen. Die Bahn des Wasserstrahls kann durch eine Parabel einer quadratischen Funktion beschrieben werden. Verwende den Ansatz $f(x)=a \cdot x^2$.
Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
a) Der Wasserstrahl trifft $5\text{m}$ von Lars entfernt auf den Boden. Wie hoch hält Lars den Schlauch?
b) Wie weit würde der Strahl von Lars entfernt auftreffen, wenn er den Schlauch in einer Höhe von $1\text{m}$ halten würde?
2. Eiffelturm
Die Höhe des Eiffelturms könnte man auch mit der Uhr bestimmen. Wenn man eine Münze von oben fallen lässt kann man die Zeit bis zum Aufprall auf dem Boden stoppen. Es ist bekannt, dass die Münze in $x$ Sekunden etwa $5 x^2 \;\text{m}$ zurücklegt.
a) Eine Münze, die von der untersten Plattform fallen gelassen wird, trifft nach $3,4\text{s}$ auf dem Boden auf. Wie hoch ist die unterste Plattform?
b) Die Münze, welche von der obersten Plattform fallen gelassen wurde, braucht $7,4\text{s}$ bis zum Aufprall. Wie hoch ist die oberste Plattform?
c) Die mittlere Plattform ist $115,7\text{m}$ hoch. Wie lange würde eine Münze von dieser Plattform bis zum Boden brauchen?
d) Warum ist diese Methode der Höhenbestimmung nicht immer sinnvoll?
3. Kaninchenauslauf
Marie will eine rechteckige Rasenfläche an einem Zaun für ihre zwei Kaninchen abgrenzen. Dafür hat sie $8\text{m}$ Draht gekauft. Wie muss sie die Pfosten setzen, damit die Fläche möglichst groß wird?
Marie will eine rechteckige Rasenfläche an einem Zaun für ihre zwei Kaninchen abgrenzen. Dafür hat sie $8\text{m}$ Draht gekauft. Wie muss sie die Pfosten setzen, damit die Fläche möglichst groß wird?
Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
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Lösungen
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1. Gartenschlauch
Wir modellieren die Situation durch eine Parabel. Dafür betten wir die Bahn des Wasserstrahls als Parabel in ein Koordinatensystem ein. Der Wasserstrahl beginnt im Punkt $\left( 0\mid 0\right)$ und trifft an der Stelle $x=5$ auf den Boden.
Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
  • Mathematisch formulieren : Wir müssen die Funktionsgleichung für die Parabel aufstellen. Bekannt ist der Punkt $P \left( 2 \mid -0,32\right)$. Einsetzen in den Ansatz ergibt:
      $\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} -0,32&=&a \cdot 2^2&& \\[5pt] -0,32&=&4a&& \mid\; :4 \\[5pt] a&=&-0,08 \end{array}$
  • Mathematisches Modell : Parabel mit $f(x)=-0,08 \cdot x^2$
a) Wir suchen den Wert der Funktion an der Stelle $x=5$.
  • Mathematische Lösung: $f(5)=-0,08 \cdot 5^2=-2$
  • Bewerten der Lösung : Lars hält den Schlauch in einer Höhe von $2\text{m}$.
b) Wenn Lars den Schlauch nur auf einer Höhe von $1\text{m}$ hält können wir mit der gleichen Parabel arbeiten. Der Boden ist jetzt aber nicht mehr auf der Höhe $y=-2$ sondern auf der Höhe $y=-1$. Wir suchen also den x-Wert des Punktes $B \left( x \mid -1\right)$.
  • Mathematische Lösung:
      $\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} -1&=&-0,08 \cdot x^2&& \mid\; :(-0,08)\\[5pt] 12,5&=&x^2&& \mid\; \sqrt{\; } \\[5pt] x&\approx &\pm 3,5 \end{array}$
  • Bewerten der Lösung : Es ist nur die positive Lösung sinnvoll. Der Strahl würde also in einer Entfernung von $3,5\text{m}$ aufkommen.
2. Eiffelturm
Wir haben jetzt einen quadratischen Zusammenhang von Zeit und zurückgelegter Strecke. Dieses Problem beschreiben wir jetzt mathematisch durch eine Parabel.
  • Mathematisch formulieren : Parabel mit der Zeit auf der x-Achse und der zurückgelegten Strecke auf der y-Achse.
  • Mathematisches Modell : Parabel mit $f(x)=5\cdot x^2$
a) Wir wissen, dass die Münze nach $x=3,4$ Sekunden auf dem Boden auftrifft. Also berechnen wir den dazugehörigen y-Wert auf der Parabel.
  • Mathematische Lösung : $f(3,4)=57,8$
  • Bewerten der Lösung: Die unterste Plattform ist ungefähr $57,8 \text{m}$ hoch.
b) Wir berechnen den zu $x=7,5$ gehörigen y-Wert.
  • Mathematische Lösung : $f(7,4)=273,8$
  • Bewerten der Lösung: Die unterste Plattform ist ungefähr $273,8 \text{m}$ hoch.
c) Jetzt ist die Strecke, also der y-Wert $y=115,7$ gegeben. Diesen setzen wir jetzt in die Funktionsgleichung ein und lösen nach $x$ auf.
  • Mathematische Lösung:
      $\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}ll} 115,7&=&5 \cdot x^2&& \mid\; :5\\[5pt] 23,14&=&x^2&& \mid\; \sqrt{\; } \\[5pt] x&\approx &\pm 4,8 \end{array}$
  • Bewerten der Lösung: Nur die positive Lösung ist sinnvoll. Die Münze würde also ungefähr $4,8\text{s}$ brauchen.
d) Hier gibt es viele Gründe, zum Beispiel:
  • Äußere Einflüsse wie Luftreibung oder Wind sind vernachlässigt worden. Somit ist der ermittelte Wert für die Höhe ungenau.
  • Die Zeit kann nur mit großem Aufwand genau gestoppt werden. Umso ungenauer die Zeitmessung ist, desto fehlerhafter wird die ermittelte Höhe.
  • Es könnte jemand durch die Münze getroffen werden.
2. Kaninchenauslauf
Wir stellen zuerst eine Funktionsgleichung für den Flächeninhalt des Rechtecks in $m^2$ auf.
  • Mathematisch formulieren :
    Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
    Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
    Abstand eines Eckpfostens zum Zaun: $x$
    Abstand der beiden Eckpfosten voneinander: $8-2\cdot x$
    Flächeninhalt des Rechtecks: $A=x \cdot (8-2\cdot x)=-2x^2+8x$
  • Mathematisches Modell: Parabel mit $f(x)=-2x^2+8x$
    Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
    Quadratische Funktionen: Modellierungsaufgaben
  • Mathematische Lösung: Wir bestimmen jetzt den $x$-Wert, für den die Funktion den größten $y$-Wert annimmt. Dazu lesen wir im Graph den höchsten Punkt bei $\left( 2 \mid 8\right)$ ab.
  • Bewerten der Lösung: Die Eckpfosten sollten einen Abstand von $2\text{m}$ zum Zaun haben. Der Abstand der Eckpfosten voneinander sollte $4\text{m}$ betragen.
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