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Parabelscharen

Spickzettel
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Allgemein lässt sich eine Parabel mit folgender Funktionsgleichung beschreiben:
$y=ax^2+bx+c$
$y=ax^2+bx+c$
Eine Parabelschar ist eine Menge von Parabeln, die durch eine gemeinsame Funktionsgleichung beschrieben wird. Es gibt im Vergleich zur allgemeinen Parametergleichung noch einen weiteren Parameter $k$, den du wie eine Zahl behandeln kannst. Wenn du also einen Scheitelpunkt berechnen willst, kannst du diesen in Abhängigkeit von $k$ angeben.
Wenn du nur einige Parabeln aus der Schar betrachten willst, kannst du für den Parameter konkrete Zahlen einsetzen.
Ein Beispiel ist die Parabelschar $y_k=k\cdot 2x^2$. Für jeden eingesetzen Wert für $k$, ergibt sich eine andere Parabel.
#quadratischefunktion#parabel#funktionenschar
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

EIne Parabelschar $p(a)$ enthält Normalparabeln, deren Scheitel die Koordinaten $S(-\frac{a}{2} \mid a)$ haben.
a)
Skizziere die Parabeln mit $a\in [1;4]$
b)
Stelle die Gleichung der Parabelschar in Scheitelpunktform in Abhängigkeit von $a$ auf.
c)
Stelle die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Scheitelpunkte $S_a$ auf.

Aufgabe 1

Zeichne die Parabeln der Schar für die angegebenen Parameter. Verbinde dann die Scheitelpunkte der Graphen zum Trägergraphen $t$.
b)
$y=(x-b)^2+b$
$\quad b\in [0;1;2;3;4]$
d)
$y=(x-2b)^2-\frac{b}{2}$
$\quad b\in [0;1;2;3;4]$
f)
$y=kx^2$
$\quad k\in [\pm \frac{1}{4};\pm \frac{1}{2}]$

Aufgabe 2

Stelle die Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung auf und bestimme den Trägergraph.
b)
$y=2x^2+\frac{1}{2}a^2-2ax+\frac{a}{2}$
d)
$y=3x^2+6ax+7$
f)
$y=kx^2$

Aufgabe 3

Bestimme den Trägergraph ohne Rechnung.
b)
$y=-2(x-a)^2+7$
d)
$y=\frac{a}{2}x^2-a^2+a$

Aufgabe 4

Die Parabelscharen sollen um den Vektor $\overrightarrow{v}$ verschoben werden. Bestimme den Trägergraph der neuen Schar.
b)
$y= 3(x-a)^2$
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{-3 \\ 3}$
d)
$y= 3(x-2a)^2+a$
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{1 \\ 2}$
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Eine Parabelschar $p(a)$ enthält Normalparabeln, deren Scheitel die Koordinaten $S(-\frac{a}{2} \mid a)$ haben.
a)
$\blacktriangleright$  Skizziere die Parabeln mit $a\in [1;4]$
Die Scheitelpunkte der Parabeln bestimmst du durch einsetzen des Parameters $a$.
Quadratische Funktionen: Parabelscharen
Abb. 1 Parabelschar mit $a\in [1;4]$
Quadratische Funktionen: Parabelscharen
Abb. 1 Parabelschar mit $a\in [1;4]$
b)
$\blacktriangleright$  Parabelgleichungen aufstellen
Stelle die Gleichung der Parabeln der Parabelschar in Scheitelpunktform in Abhängigkeit von $a$ auf.
Die allgemeine Scheitelpunktform lautet:
$y=-b(x-x_s)^2+y_s$
$y=-b(x-x_s)^2+y_s$
Der Parameter $b$ ist bei einer Normalparabel $1$. Die Koordinaten $(x_s \mid y_s)$ werden durch $a$ beschrieben.
$\begin{array}[t]{rll} x_s&=& -\frac{a}{2}& \\[5pt] y_s&=& a& \\[5pt] \end{array}$
$y=1(x+\frac{a}{2})^2-a$
c)
$\blacktriangleright$  Trägergraph bestimmen
Stelle die Gleichung des Trägergraphen $t$ der Scheitelpunkte $S_a$ auf. Um den Trägergraphen zu bestimmen gehst du so vor:
  1. Stelle $x_s$ und $y_s$ in abhängigkeit von $a$ auf.
  2. Forme I nach $x_s$ um.
  3. setze $a$ in II ein.
  1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=& -\frac{a}{2} \\ \text{II}\quad&y_s&=&a\\ \hline \end{array}$
  2. $\begin{array}{} \text{I(a)}\quad&a&=& -2x_s \\ \text{II}\quad&y_s&=& a\\ \hline \end{array}$
  3. $\begin{array}[t]{rl} \text{II} \quad y_s&=&a \\[5pt] y_s&=&-2x_s \\[5pt] y&=&-2x \\[5pt] \end{array}$
    Damit hast du den Trägergraphen $t$ bestimmt. Er lautet:
    $t:y=-2x$

Aufgabe 1

Zeichne die Parabeln der Schar für die angegebenen Parameter. Verbinde dann die Scheitelpunkte der Graphen zum Trägergraphen $t$.
b)
$y=(x-b)^2+b$
$\quad b\in [0;1;2;3;4]$
Quadratische Funktionen: Parabelscharen
Abb. 3 Parabelschar
Quadratische Funktionen: Parabelscharen
Abb. 3 Parabelschar
d)
$y=(x-2b)^2-\frac{b}{2}$
$\quad b\in [0;1;2;3;4]$
Quadratische Funktionen: Parabelscharen
Abb. 5 Parabelschar
Quadratische Funktionen: Parabelscharen
Abb. 5 Parabelschar
f)
$y=kx^2$
$\quad k\in [\pm \frac{1}{4};\pm \frac{1}{2}]$
Quadratische Funktionen: Parabelscharen
Abb. 7 Parabelschar
Quadratische Funktionen: Parabelscharen
Abb. 7 Parabelschar

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$  Trägergraph bestimmen
Stelle die Scheitelpunktform mit quadratischer Ergänzung auf und bestimme den Trägergraph. Die quadratische Ergänzung führst du in folgenden Schritten durch:
  1. Klammere den Vorfaktor von $x^2$ vor $x^2$ und $x$ aus.
  2. Quadratische Ergänzung durchführen. Hierzu addierst und subtrahierst du den Term $\left(\frac{b}{2}\right)^2$
  3. Negativen Term der Ergänzung ausklammern.
  4. Binomische Formel anwenden.
Um den Trägergraphen zu bestimmen gehst du so vor:
  1. Stelle $x_s$ und $y_s$ in abhängigkeit von $a$ auf.
  2. Forme I nach $x_s$ um.
  3. setze $a$ in II ein.
a)
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2ax-x^2 & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 1} \;\\[5pt] y&=& -(x^2-2ax) &\quad \scriptsize \mid \text{Schritt 2} \; \\[5pt] y&=& -\left(x^2-2ax+(\frac{2a}{2})^2-(\frac{2a}{2}\right)^2) & \\[5pt] y&=& -\left(x^2-2ax+a^2-a^2\right) & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 3}\\[5pt] y&=& -(x^2-2ax+a^2)+a^2 & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 4} \;\\[5pt] y&=& -(x-a)^2+a^2 & \\[5pt] \end{array}$
$ y= -(x-a)^2+a^2 $
Jetzt hast du die Scheitelpunktform bestimmt. Mit dieser kannst du den Trägergraphen $t$ aufstellen.
  1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=& a \\ \text{II}\quad&y_s&=& a^2\\ \hline \end{array}$
  2. $\begin{array}{} \text{I(a)}\quad&a&=& x_s \\ \text{II}\quad&y_s&=& a^2\\ \hline \end{array}$
  3. $\begin{array}[t]{rl} \text{II} \quad y_s&=& a^2 \\[5pt] y_s&=& x_s^2 \\[5pt] y&=& x^2 \\[5pt] \end{array}$
    Damit hast du den Trägergraphen $t$ bestimmt. Er lautet:
    $t:y=x^2$
b)
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x^2+\frac{1}{2}a^2-2ax+\frac{a}{2} & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 1} \;\\[5pt] y&=& 2(x^2-ax)+\frac{1}{2}a^2+\frac{a}{2} &\quad \scriptsize \mid \text{Schritt 2} \; \\[5pt] y&=& 2\left[x^2-ax+(\frac{-a}{2})^2-(\frac{-a}{2})^2\right]+\frac{1}{2}a^2+\frac{a}{2} & \\[5pt] y&=& 2\left[x^2-ax+(\frac{a}{2})^2\right]-2(\frac{a}{2})^2+\frac{1}{2}a^2+\frac{a}{2} & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 3}\\[5pt] y&=& 2(x-\frac{a}{2})^2-\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{2}+\frac{a}{2} & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 4} \;\\[5pt] y&=& 2(x-\frac{a}{2})^2+\frac{a}{2} & \\[5pt] \end{array}$
$ y= 2(x-\frac{a}{2})^2+\frac{a}{2} $
Jetzt hast du die Scheitelpunktform bestimmt. Mit dieser kannst du den Trägergraphen $t$ aufstellen.
  1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=& \frac{a}{2} \\ \text{II}\quad&y_s&=& \frac{a}{2}\\ \hline \end{array}$
  2. $\begin{array}{} \text{I(a)}\quad&a&=& 2x_s \\ \text{II}\quad&y_s&=& \frac{a}{2}\\ \hline \end{array}$
  3. $\begin{array}[t]{rl} \text{II} \quad y_s&=& \frac{a}{2} \\[5pt] y_s&=& \frac{2x_s}{2} \\[5pt] y&=& x \\[5pt] \end{array}$
Damit hast du den Trägergraphen $t$ bestimmt. Er lautet:
$t:y=x$
c)
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x^2+12x+a & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 1} \;\\[5pt] y&=& 2(x^2+6x)+a &\quad \scriptsize \mid \text{Schritt 2} \; \\[5pt] y&=& 2\left[x^2+6x+(\frac{6}{2})^2-(\frac{6}{2})^2\right]+a & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 3}\;\\[5pt] y&=& 2\left[x^2+6x+3^2\right]-2 \cdot 3^2+a &\\[5pt] y&=& 2(x+3)^2-18+a & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 4} \;\\[5pt] \end{array}$
$ y= 2(x+3)^2-18+a $
Jetzt hast du die Scheitelpunktform bestimmt. Mit dieser kannst du den Trägergraphen $t$ aufstellen.
  1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=& -3 \\ \text{II}\quad&y_s&=& a-18\\ \hline \end{array}$
    Alle Scheitelpunkt liegen bei $x=-3$.
    Damit hast du den Trägergraphen $t$ bestimmt. Er lautet:
    $t:x=-3$
d)
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3x^2+6ax+7 & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 1} \;\\[5pt] y&=& 3(x^2+2ax)+7 &\quad \scriptsize \mid \text{Schritt 2} \; \\[5pt] y&=& 3\left[x^2+2ax+(\frac{2a}{2})^2-(\frac{2a}{2})^2\right]+7 & \\[5pt] y&=& 3\left[x^2+2ax+(\frac{2a}{2})^2\right]-3(\frac{2a}{2})^2+7 & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 3}\\[5pt] y&=& 3(x+a)^2-3a^2+7 & \quad \scriptsize \mid \text{Schritt 4} \;\\[5pt] \end{array}$
$ y= 3(x+a)^2-3a^2+7 $
Jetzt hast du die Scheitelpunktform bestimmt. Mit dieser kannst du den Trägergraphen $t$ aufstellen.
  1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=& -a \\ \text{II}\quad&y_s&=& -3a^2+7\\ \hline \end{array}$
  2. $\begin{array}{} \text{I(a)}\quad&a&=& -x_s \\ \text{II}\quad&y_s&=& \frac{a}{2}\\ \hline \end{array}$
  3. $\begin{array}[t]{rl} \text{II} \quad y_s&=& -3a^2+7 \\[5pt] y_s&=& -3(-x_s)^2+7 \\[5pt] y&=& -3x^2+7 \\[5pt] \end{array}$
Damit hast du den Trägergraphen $t$ bestimmt. Er lautet:
$t:y=-3x^2+7$
e)
$y=\frac{1}{2}ax^2+3a$
Hier kannst du die quadratische Ergänzung direkt durchführen.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& \frac{1}{2}ax^2+3a & \\[5pt] y&=& \frac{1}{2}a(x-0)^2+3a & \\[5pt] \end{array}$
Jetzt hast du die Scheitelpunktform bestimmt. Mit dieser kannst du den Trägergraphen $t$ aufstellen.
  1. $\begin{array}{} \text{I}\quad&x_s&=& 0 \\ \text{II}\quad&y_s&=& 3a\\ \hline \end{array}$
Alle Scheitelpunkte liegen bei $x=0$, also auf der $y$-Achse.
Damit hast du den Trägergraphen $t$ bestimmt. Er lautet:
$t:x=0$
f)
$y=kx^2$
Es handelt sich um eine gestreckte/gestauchte Normalparabel. Ihr Scheitel liegt bei $S(0 \mid 0)$.
Es gibt somit keinen Trägergraphen, da alle Parabeln auf dem gleichen Punkt sitzen.

Aufgabe 3

Du solldt den Trägergraph ohne Rechnung bestimmen. Dazu schaust du die Funktion an und findest heraus, wie der Parameter $a$ den Scheitelpunkt verschiebt.
b)
$y=-2(x-a)^2+7$
Es handelt sich um eine um $2$ gestreckte, nach unten geöffnete und parallelverschobene Parabel. Sie hat den Scheitelpunkt $S(a \mid 7)$. Der Trägergraph hat damit konstant den $y$-Wert $7$ und ist damit eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse liegt.
$t: y=7$
d)
$y=\frac{a}{2}x^2-a^2+a$
Es handelt sich um eine um $\frac{a}{2}$ gestreckt in $y$ richtung um $-a^2+a$ verschobene Parabel.
Die $x$-Koordinate aller Scheitelpunkte ist $0$. Der Trägergraph ist somit die $y$-Achse.
$t; x=0$

Aufgabe 4

Die Parabelscharen sollen um den Vektor $\overrightarrow{v}$ verschoben werden. Dazu liest du den Scheitelpunkt der Achsr ab, verschiebst ihn um $v$, und setzt den neuen Scheitelpunkt in die Funktion ein.
b)
$y= 3(x-a)^2$
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{-3 \\ 3}$
Der Scheitelpunkt lautet:
$S(a \mid 0)$
$\begin{array}[t]{rll} S_{neu}&=& S+\overrightarrow{v} & \\[5pt] S_{neu}&=&\pmatrix{a \\ 0 }+\pmatrix{-3 \\ 3 } & \\[5pt] S_{neu}&=&\pmatrix{a-3 \\ 3 } & \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3(x-a)^2&\quad \\[5pt] y_{neu}&=& 3(x-(a-3))^2+3&\quad \\[5pt] y_{neu}&=& 3(x-a+3)^2+3&\quad \\[5pt] \end{array}$
d)
$y= 3(x-2a)^2+a$
$\overrightarrow{v}=\pmatrix{1 \\ 2}$
Der Scheitelpunkt lautet:
$S(2a \mid a)$
$\begin{array}[t]{rll} S_{neu}&=& S+\overrightarrow{v} & \\[5pt] S_{neu}&=&\pmatrix{2a \\ a }+\pmatrix{1 \\ 2 } & \\[5pt] S_{neu}&=&\pmatrix{2a+1 \\ a+2 } & \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 3(x-2a)^2+a&\quad \\[5pt] y_{neu}&=& 3(x-(2a+1)^2+a+2&\quad \\[5pt] y_{neu}&=& 3(x-2a-1)^2+a+2&\quad \\[5pt] \end{array}$
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