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Punktberechnung und Punktprobe

Spickzettel
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Punktberechnung

Bei der Punktberechnung ist dir eine quadratische Funktion $f$ sowie eine Koordinate eines Punktes $P$ auf der Parabel gegeben. Deine Aufgabe ist es nun mit Hilfe der Funktionsgleichung die zweite Koordinate zu berechnen. Dabei kann dir entweder die $x$- oder $y$-Koordinate des Punktes gegeben sein.
Die fehlende Koordinate kannst du berechnen, indem du den gegebenen Wert in die Funktionsgleichung einsetzt. Dies kannst du machen, da du weißt, dass der Punkt auf der Parabel liegt und die Funktionsbedingung erfüllt.

$x$-Koordinate gegeben

Ist dir die $x$-Koordinate $x_0$ gegeben, so kannst du die $y$-Koordinate des Punktes $P$ berechnen, indem du den gegebenen $x$-Wert in die Funktionsgleichung $y=f(x)$ einsetzt. Hier gibt es immer genau eine eindeutige Lösung. Somit gilt für die gesuchte $y$-Koordinate:
$y=f\left(x_0\right).$
$y=f\left(x_0\right).$
Damit ist der Punkt von der Form: $P \left(x_0 \mid f\left(x_0\right)\right).$

$y$-Koordinate gegeben

Ist dir die $y$-Koordinate $y_0$ gegeben, so kannst du die $x$-Koordinate des Punktes $P$ berechnen, indem du den gegebenen $y$-Wert in die Funktionsgleichung $y=f(x)$ einsetzt. Somit hast du für die gesuchte $x$-Koordinate folgende Gleichung gegeben:
$y_0=f\left(x\right).$
$y_0=f\left(x\right).$
Diese Gleichung kannst du nun mit der $pq$-Formel nach $x$ auflösen. Dabei gibt es entweder zwei, eine oder keine Lösung, das heißt es gibt entweder zwei, einen oder keinen Punkt mit der $y$-Koordinate $y_0$ auf der Parabel.

Beispiel

Gegeben sei die Funktionsgleichung: $f\left(x\right)=x^2 + 1.$
a)
Der Punkt $P\left(-2 \mid y \right)$ liegt auf der Parabel. Berechne den Wert der $y$-Koordinate.
Setze dafür $-2$ in die Funktionsgleichung ein:
$y=f\left(-2\right) $$= \left(-2\right)^2 + 1 $$= 4+1=5.$
Somit ist $5$ die gesuchte $y$-Koordinate und der Punkt lautet $P\left(-2 \mid 5 \right)$.
b)
Der Punkt $P\left(x \mid 2 \right)$ liegt auf der Parabel. Berechne die möglichen Werte der $x$-Koordinate.
Setze hierzu $y_0=2$ in die Gleichung $y_0=f\left(x\right)$ ein und löse diese nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y_0&=f\left(x\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=x^2+1&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 0&=x^2-1&\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&=\pm \sqrt{1}&\\[5pt] &=\pm 1&\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=\pm 1&\\[5pt] \end{array}$
Damit gibt es zwei mögliche $x$-Koordinaten für den Punkt $P$. Die Punkte $P_1 \left( 1 \mid 2 \right)$ und $P_2 \left( -1 \mid 2 \right)$ sind somit beides Lösungen.

Punktprobe

Bei der Punktprobe ist es deine Aufgabe zu überprüfen, ob ein Punkt $P$ auf einer Parabel liegt. Dabei sind dir die Koordinaten des Punktes sowie die Funktionsgleichung der Parabel gegeben. Die Punktprobe führst du durch, indem du die beiden Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichung $y=f(x)$ einsetzt und überprüfst, ob die Gleichung gilt.
Ist dir der Punkt $P\left(x_0 \mid y_0\right)$ gegeben, bedeutet dies, dass du überprüfst, ob die Gleichung $y_0=f\left(x_0\right)$ gilt. Das heißt, du berechnest den Funktionswert $f\left(x_0\right)$ und vergleichst ihn mit $y_0$. Sind sie gleich, so ist der Punkt auf der Parabel. Sind sie nicht gleich, so ist der Punkt nicht auf der Parabel.

Beispiel

Gegeben sei die Funktionsgleichung: $f\left(x\right)=x^2 - 2x + 1.$
a)
Überprüfe ob der Punkt $P\left( 3 \mid 4 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $3$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(3\right)=4$ gilt:
$f\left(3\right) $$=3^2 - 2 \cdot 3 + 1 $$= 9-6+1=4$
Die Gleichung gilt und somit liegt der Punkt $P\left( 3 \mid 4 \right)$ auf der Parabel.
b)
Überprüfe ob der Punkt $P\left( 1 \mid 1 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $1$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(1\right)=1$ gilt:
$f\left(1\right) $$=1^2 - 2 \cdot 1 + 1 $$= 1-2+1=0 \neq 1$
Somit gilt die Gleichung nicht und der Punkt $P\left( 1 \mid 1 \right)$ liegt nicht auf der Parabel.
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1.  Gegeben sei die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^2 -4x +4.$ Alle Punkte liegen auf der Parabel. Berechne die fehlende Koordinate.
a)  $P\left(0\mid y\right)$
b)  $P\left(-1\mid y\right)$
c)  $P\left(3\mid y\right)$
d)  $P\left(-2\mid y\right)$
e)  $P\left(x\mid 1 \right)$
f)  $P\left(x\mid -2\right)$
g)  $P\left(x\mid 0\right)$
h)  $P\left(x\mid 4\right)$
2.  Gegeben sei die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^2 +2x +2.$ Alle Punkte liegen auf der Parabel. Berechne die fehlende Koordinate.
a)  $P\left(1\mid y\right)$
b)  $P\left(-2\mid y\right)$
c)  $P\left(x\mid 2 \right)$
d)  $P\left(x\mid -1 \right)$
3.  Gegeben sei die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^2 +2x -1.$ Überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Parabel liegen.
a)  $P\left(1\mid 2\right)$
b)  $P\left(2\mid 3\right)$
c)  $P\left(-3 \mid 7 \right)$
d)  $P\left(-5 \mid 14 \right)$
4.  Gegeben sei die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^2 -3.$ Überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Parabel liegen.
a)  $P\left(-3 \mid 0\right)$
b)  $P\left(1 \mid -3\right)$
c)  $P\left(2\mid 1 \right)$
d)  $P\left(-1\mid -4 \right)$
1. Gegeben sei die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^2 -4x +4.$ Alle Punkte liegen auf der Parabel. Berechne die fehlende Koordinate.
a)  $P\left(0\mid y\right)$
b)  $P\left(-1\mid y\right)$
c)  $P\left(3\mid y\right)$
d)  $P\left(-2\mid y\right)$
e)  $P\left(x\mid 1 \right)$
f)  $P\left(x\mid -2\right)$
g)  $P\left(x\mid 0\right)$
h)  $P\left(x\mid 4\right)$
2. Gegeben sei die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^2 +2x +2.$ Alle Punkte liegen auf der Parabel. Berechne die fehlende Koordinate.
a)  $P\left(1\mid y\right)$
b)  $P\left(-2\mid y\right)$
c)  $P\left(x\mid 2 \right)$
d)  $P\left(x\mid -1 \right)$
3. Gegeben sei die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^2 +2x -1.$ Überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Parabel liegen.
a)  $P\left(1\mid 2\right)$
b)  $P\left(2\mid 3\right)$
c)  $P\left(-3 \mid 7 \right)$
d)  $P\left(-5 \mid 14 \right)$
4. Gegeben sei die Funktionsgleichung $f\left(x\right)=x^2 -3.$ Überprüfe, ob die folgenden Punkte auf der Parabel liegen.
a)  $P\left(-3 \mid 0\right)$
b)  $P\left(1 \mid -3\right)$
c)  $P\left(2\mid 1 \right)$
d)  $P\left(-1\mid -4 \right)$
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1.
a)
$y$-Koordinate bestimmen
Berechne den Wert der $y$-Koordinate.
Setze dafür $0$ in die Funktionsgleichung ein:
$y=f\left(0\right) $$= 0^2- 4 \cdot 0 + 4 $$= 0 - 0 +4=4.$
Somit ist $4$ die gesuchte $y$-Koordinate des Punktes $P$ und der Punkt lautet $P\left( 0 \mid 4 \right)$.
b)
$y$-Koordinate bestimmen
Berechne den Wert der $y$-Koordinate.
Setze dafür $-1$ in die Funktionsgleichung ein:
$y=f\left(-1\right) $$= \left(-1\right)^2- 4 \cdot \left(-1\right) + 4 $$= 1 + 4 + 4= 9.$
Somit ist $9$ die gesuchte $y$-Koordinate des Punktes $P$ und der Punkt lautet $P\left( -1 \mid 9 \right)$.
c)
$y$-Koordinate bestimmen
Berechne den Wert der $y$-Koordinate.
Setze dafür $3$ in die Funktionsgleichung ein:
$y=f\left(0\right) $$= 3^2- 4 \cdot 3 + 4 $$= 9 - 12 +4=1.$
Somit ist $1$ die gesuchte $y$-Koordinate des Punktes $P$ und der Punkt lautet $P\left( 3 \mid 1 \right)$.
d)
$y$-Koordinate bestimmen
Berechne den Wert der $y$-Koordinate.
Setze dafür $-2$ in die Funktionsgleichung ein:
$y=f\left(0\right) $$= \left(-2\right)^2- 4 \cdot \left(-2\right) + 4 $$= 4 + 8 +4=16.$
Somit ist $16$ die gesuchte $y$-Koordinate des Punktes $P$ und der Punkt lautet $P\left( -2 \mid 16 \right)$.
e)
$x$-Koordinate bestimmen
Setze $y_0=1$ in die Gleichung $y_0=f\left(x\right)$ ein und löse diese nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y_0&=f\left(x\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] 1&=x^2 - 4x + 4&\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 0&=x^2 - 4x + 3&\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&= \dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-3}&\\[5pt] &= 2 \pm \sqrt{4-3}&\\[5pt] &= 2 \pm \sqrt{1}&\\[5pt] &= 2 \pm 1&\\[5pt] x_1&=1\\[5pt] x_2&=3\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=1\\[5pt] x_2&=3\\[5pt] \end{array}$
Damit gibt es zwei mögliche $x$-Koordinaten für den Punkt $P$. Die Punkte $P_1 \left( 1 \mid 1 \right)$ und $P_2 \left( 3 \mid 1 \right)$ sind somit beides Lösungen.
f)
$x$-Koordinate bestimmen
Setze $y_0=-2$ in die Gleichung $y_0=f\left(x\right)$ ein und löse diese nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y_0&=f\left(x\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] -2&=x^2 - 4x + 4&\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] 0&=x^2 - 4x + 6&\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&= \dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-6}&\\[5pt] &= 2 \pm \sqrt{4-6}&\\[5pt] &= 2 \pm \sqrt{-2}& \Rightarrow\; \text{Gleichung besitzt keine Lösung} \\[5pt] \end{array}$
$\Rightarrow\; \text{Gleichung besitzt keine Lösung}$
Die Gleichung besitzt keine Lösung. Somit gibt es keinen Punkt auf der Parabel mit der $y$-Koordinate $-2$.
g)
$x$-Koordinate bestimmen
Setze $y_0=0$ in die Gleichung $y_0=f\left(x\right)$ ein und löse diese nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y_0&=f\left(x\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=x^2 - 4x + 4&\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&= \dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-4}&\\[5pt] &= 2 \pm \sqrt{4-4}&\\[5pt] &= 2 \pm \sqrt{0}&\\[5pt] x&=2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x&=2\\[5pt] \end{array}$
Damit gibt es eine mögliche $x$-Koordinate für den Punkt $P$. Der Punkt $P\left(2 \mid 0\right)$ ist der einzige Punkt auf der Parabel mit der $y$-Koordinate $0$.
h)
$x$-Koordinate bestimmen
Setze $y_0=4$ in die Gleichung $y_0=f\left(x\right)$ ein und löse diese nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y_0&=f\left(x\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] 4&=x^2 - 4x + 4&\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] 0&=x^2 - 4x &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&= \dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{4}{2}\right)^2-0}&\\[5pt] &= 2 \pm \sqrt{4}&\\[5pt] &= 2 \pm 2&\\[5pt] x_1&=0\\[5pt] x_2&=4\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=0\\[5pt] x_2&=4\\[5pt] \end{array}$
Damit gibt es zwei mögliche $x$-Koordinaten für den Punkt $P$. Die Punkte $P_1 \left( 0 \mid 4 \right)$ und $P_2 \left( 4 \mid 4 \right)$ sind somit beides Lösungen.
2.
a)
$y$-Koordinate bestimmen
Berechne den Wert der $y$-Koordinate.
Setze dafür $1$ in die Funktionsgleichung ein:
$y=f\left(1\right) $$= 1^2 + 2\cdot 1 +2 $$=1+2+2=5.$
Somit ist $5$ die gesuchte $y$-Koordinate des Punktes $P$ und der Punkt lautet $P\left( 1 \mid 5 \right)$.
b)
$y$-Koordinate bestimmen
Berechne den Wert der $y$-Koordinate.
Setze dafür $-2$ in die Funktionsgleichung ein:
$y=f\left(-2\right) $$= \left(-2\right)^2 + 2\cdot \left(-2 \right) +2 $$=4 -4 +2=2.$
Somit ist $2$ die gesuchte $y$-Koordinate des Punktes $P$ und der Punkt lautet $P\left( -2 \mid 2 \right)$.
c)
$x$-Koordinate bestimmen
Setze $y_0=2$ in die Gleichung $y_0=f\left(x\right)$ ein und löse diese nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y_0&=f\left(x\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] 2&=x^2 + 2x + 2&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] 0&=x^2 + 2x &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&= - \dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-0}&\\[5pt] &=- 1 \pm \sqrt{1}&\\[5pt] &=- 1 \pm 1&\\[5pt] x_1&=0\\[5pt] x_2&=-2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_1&=0\\[5pt] x_2&=-2\\[5pt] \end{array}$
Damit gibt es zwei mögliche $x$-Koordinaten für den Punkt $P$. Die Punkte $P_1 \left( 0 \mid 2 \right)$ und $P_2 \left( -2 \mid 2 \right)$ sind somit beides Lösungen.
d)
$x$-Koordinate bestimmen
Setze $y_0=-1$ in die Gleichung $y_0=f\left(x\right)$ ein und löse diese nach $x$ auf:
$\begin{array}[t]{rll} y_0&=f\left(x\right)&\quad \scriptsize \\[5pt] -1&=x^2 + 2x + 2&\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 0&=x^2 + 2x +3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{pq-Formel}\\[5pt] x_{1,2}&= - \dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-3}&\\[5pt] &= - 1 \pm \sqrt{1-3}&\\[5pt] &=- 1 \pm \sqrt{-2}&\Rightarrow\; \text{Gleichung besitzt keine Lösung}\\ \end{array}$
$\Rightarrow\; \text{Gleichung besitzt keine Lösung}$
Die Gleichung besitzt keine Lösung. Somit gibt es keinen Punkt auf der Parabel mit der $y$-Koordinate $-1$.
3.
a)
Punktprobe durchführen
Überprüfe ob der Punkt $P\left( 1 \mid 2 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $1$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(1\right)=2$ gilt:
$f\left(1\right) $$=1^2 + 2 \cdot 1 - 1 $$= 1+2-1=2 $ Somit gilt die Gleichung und der Punkt $P\left( 1 \mid 2 \right)$ liegt auf der Parabel.
b)
Punktprobe durchführen
Überprüfe ob der Punkt $P\left( 2 \mid 3 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $2$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(2\right)=3$ gilt:
$f\left(2\right) $$=2^2 + 2 \cdot 2 - 1 $$= 4+4-1=7 \neq 3 $ Somit gilt die Gleichung nicht und der Punkt $P\left( 2 \mid 3 \right)$ liegt nicht auf der Parabel.
c)
Punktprobe durchführen
Überprüfe ob der Punkt $P\left( -3 \mid 7 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $-3$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(-3\right)=7$ gilt:
$f\left(-3\right) $$=\left(-3\right)^2 + 2 \cdot \left(-3\right) - 1 $$= 9 -6 -1=5 \neq 7 $ Somit gilt die Gleichung nicht und der Punkt $P\left( -3 \mid 7 \right)$ liegt nicht auf der Parabel.
d)
Punktprobe durchführen
Überprüfe ob der Punkt $P\left( -5 \mid 14 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $-5$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(-5\right)=14$ gilt:
$f\left(-5\right)$$=\left(-5\right)^2 + 2 \cdot \left(-5\right) - 1 $$= 25 -10 - 1=14 $ Somit gilt die Gleichung und der Punkt $P\left( -5 \mid 14 \right)$ liegt auf der Parabel.
4.
a)
Punktprobe durchführen
Überprüfe ob der Punkt $P\left( -3 \mid 0 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $-3$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(-3\right)=0$ gilt:
$f\left(-3\right)$$=\left(-3\right)^2 -3 $$= 9-3=6 \neq 0 $ Somit gilt die Gleichung nicht und der Punkt $P\left( -3 \mid 0 \right)$ liegt nicht auf der Parabel.
b)
Punktprobe durchführen
Überprüfe ob der Punkt $P\left( 1 \mid -3 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $1$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(1\right)=-3$ gilt:
$f\left(1\right)$$=1^2-3 = 1-3 $$=-2 \neq -3 $ Somit gilt die Gleichung nicht und der Punkt $P\left( 1 \mid -3 \right)$ liegt nicht auf der Parabel.
c)
Punktprobe durchführen
Überprüfe ob der Punkt $P\left( 2 \mid 1 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $2$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(2\right)=1$ gilt:
$f\left(2\right)$$=2^2 -3 $$= 4-3 =1 $ Somit gilt die Gleichung und der Punkt $P\left( 2 \mid 1 \right)$ liegt auf der Parabel.
d)
Punktprobe durchführen
Überprüfe ob der Punkt $P\left( -1 \mid -4 \right)$ auf der Parabel liegt.
Setze dazu $-1$ in die Funktionsgleichung ein und überprüfe, ob $f\left(-1\right)=-4$ gilt:
$f\left(-1\right)=\left(-1\right)^2 -3 $$= 1-3=-2 \neq -4 $ Somit gilt die Gleichung nicht und der Punkt $P\left( -1 \mid -4 \right)$ liegt nicht auf der Parabel.
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