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Schnittpunkte mit Koordinatenachsen

Spickzettel
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Schnittpunkt mit der $y$-Achse berechnen:
Um den Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse zu bestimmen, kannst du $x=0$ in die Funktionsgleichung einsetzen und die zugehörige $y$-Koordinate berechnen.
Schnittpunkt mit der $x$-Achse berechnen:
Um die Nullstellen (Schnittpunkte mit der $x$-Achse) von Parabeln zu bestimmen, setzt du $y=0$ in die Funktionsgleichung ein und bestimmst dann $x$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& ax^2+bx+c&\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& ax^2+bx+c&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um diese Gleichung zu lösen, benötigst du die $a-b-c$- oder die $PQ$- Formel.
#schnittpunkt#quadratischefunktion#pq-formel#mitternachtsformel#parabel
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Einführungsaufgabe

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen mit der $y$-Achse. Dazu setzst du $x=0$ in die Funktionsgleichung ein und berechnest die zugehörige $y$-Koordinate.
b)
$g: y=4x^2+x+2$
d)
$i: y=x^2+\frac{1}{2}x$
f)
$k: y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-3$
h)
$m: y=-3x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{108}$

Aufgabe 1

Bestimme die Schnittpunkte der Graphen der Funktionen mit der $x$-Achse.
b)
$g: y=x^2+3x-4$
d)
$i: y=x^2-5x-14$
f)
$k: y=x^2+6x+9$
h)
$m: y=x^2$

Aufgabe 2

a)
Wie viele Nullstellen kann eine Parabel höchsten besitzen?
Skizziere solch eine Parabel.
b)
Kann eine Parabel genau eine Nullstelle besitzen?
Falls ja: Skizziere eine Parabel, die genau eine Nullstelle besitzt.
c)
Gibt es Parabeln, die keine Nullstelle besitzen?
Skizziere zwei solcher Parabeln, eine mit $a<0$ und eine mit $a>0$

Aufgabe 3

Bestimme den Schnittpunkt des Graphen mit der $y$-Achse und die Nullstellen der Funktionen.
b)
$g: y=x^2-4x+4$
d)
$i: y=2x^2+3x+3$
f)
$k: y=x^2-6x+9$

Aufgabe 4

Bestimme mithilfe der Diskriminante, wie viele Nullstellen der Graph der Funktion hat. Du musst die Nullstellen nicht explizit berechnen.
b)
$g: y=3x^2+3x+2$
d)
$i: y=x^2+3x+1$
f)
$k: y=3x^2+6x+3$
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Einführungsaufgabe

Um die Schnittpunkte des Graphen mit der $y$-Achse zu bestimmen setzst du $x=0$ in die Funktionsgleichung ein und berechnest die zugehörige $y$-Koordinate.
b)
$g: y=4x^2+x+2$
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 4x^2+x+2 &\quad \scriptsize \\[5pt] y&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die funktion $g$ schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=2$
d)
$i: y=x^2+\frac{1}{2}x$
$c=0$
Die Funktion $i$ schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=0$
f)
$k: y=-\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x-3$
$c=-3$
Die Funktion $k$ schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=-3$
h)
$m: y=-3x^2+\frac{1}{3}x-\frac{1}{108}$
$c=-\frac{1}{108}$
Die Funktion $m$ schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=-\frac{1}{108}$

Aufgabe 1

Um die Nullstellen (Schnittpunkte mit der $x$-Achse) von Parabeln zu bestimmen, setzt du $y=0$ in die Funktion ein und bestimmst dann $x$.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& ax^2+bx+c&\quad \scriptsize \\[5pt] 0&=& ax^2+bx+c&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Um diese Gleichung zu lösen benötigst du die a-b-c-Formel.
Mit der a-b-c-Formel, auch Mitternachtsformel genannt, kannst du Lösungen von quadratischen Gleichungen in allgemeiner Form und Normalform berechnen:
Die Lösungen der Gleichung $0 = ax^2+bx+c $ sind: $\quad x_{1,2} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}$
Die Lösungen der Gleichung $0=ax^2+bx+c $ sind: $\quad x_{1,2} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}}$
b)
$g: y=x^2+3x-4$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& -4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt {3^2 - 4\cdot 1\cdot (-4)} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt {9+16} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ - 3 \pm \sqrt {25} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ - 3 \pm 5 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& \dfrac{{ - 3 + 5 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& \dfrac{{ - 3 - 5 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion $g$ hat zwei Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=-4$
d)
$i: y=x^2-5x-14$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& -5 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& -14 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ -5 \pm \sqrt {(-5)^2 - 4\cdot 1\cdot (-14)} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {25+56} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ - 5 \pm \sqrt {81} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ - 5 \pm 9 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& \dfrac{{ - 5 + 9 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& \dfrac{{ - 5 - 9 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_2&=& -7 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion $i$ hat zwei Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=-7$
f)
$k: y=x^2+6x+9$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& 6 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 9 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ -6 \pm \sqrt {6^2 - 4\cdot 1\cdot 9} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ -6 \pm \sqrt {36-36} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ -6 \pm \sqrt {0} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ -6 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& -3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion $k$ hat die Nullstelle $x_1=-3$.
h)
$m: y=x^2$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ 0 \pm \sqrt {0^2 - 4\cdot 0\cdot 0} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ 0 \pm \sqrt {0} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion $m$ hat eine Nullstelle $x=0$

Aufgabe 2

a)
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
Abb.1 Funktion mit zwei Nullstellen.
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
Abb. 1 Funktion mit zwei Nullstellen.
b)
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
Abb. 2 Funktion mit genau einer Nullstelle.
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
Abb. 2 Funktion mit genau einer Nullstelle.
c)
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
Abb. 3 Funktionen mit keiner Nullstelle.
Quadratische Funktionen: Schnittpunkte mit Koordinatenachsen
Abb. 3 Funktionen mit keiner Nullstelle.

Aufgabe 3

Du sollst den $y$-Achsenabschnitt und die Nullstellen der Funktionen bestimmen.
Den $y$-Achsenabschnitt kannst du am Parameter $c$ ablesen. Die Nullstellen kannst du mithilfe der a-b-c-Formel bestimmen.
b)
$g: y=x^2-4x+4$
Die Funktion schneidet die $y$-Achse an der Stelle $y=c=4$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& -4 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ 4 \pm \sqrt {(-4)^2 - 4\cdot 1\cdot 4} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ 4 \pm \sqrt {16-16} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ 4 \pm 0 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion $g$ hat eine Nullstelle $x_1=2$
d)
$i: y=2x^2+3x+3$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ -3 \pm \sqrt {3^2 - 4\cdot 2\cdot 3} }}{{2\cdot 2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ -3 \pm \sqrt {9-24} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ -3 \pm \sqrt {-15} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
In der Wurzel steht eine negative Zahl, du kannst also keine Wurzel ziehen. Deshalb hat die Funktion keine Nullstelle.
f)
$k: y=x^2-6x+9$
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] b&=& -6 &\quad \scriptsize \\[5pt] c&=& 9 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{{ - b \pm \sqrt {b^2 - 4ac} }}{{2a}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ 6 \pm \sqrt {(-6)^2 - 4\cdot 1\cdot 9} }}{{2\cdot 1}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ 6 \pm \sqrt {36-36} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ 6 \pm \sqrt {0} }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_{1,2}&=& \dfrac{{ -6 \pm 0 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x_1&=& \dfrac{{ -6 }}{{2}} &\quad \scriptsize \\[5pt] x&=& -3 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion $h$ hat eine Nullstelle $x=-3$

Aufgabe 4

Du sollst mit hilfe der Diskriminante bestimmmen, wie viele Nullstellen die Funktionen haben.
Die Diskriminante $D$ ist der Ausdruck der in der Wurzel der a-b-c-Formel steht.
$D=b^2-4ac$
$D=b^2-4ac$
  1. Wenn der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist, kannst du die Wurzel nicht ziehen. Deshalb hat die Gleichung keine Lösung und die Funktion keine Nullstelle.
    $D<0$ $\rightarrow$ $f$ hat keine Nullstellen.
  2. Wenn der Ausdruck unter der Wurzel Null ist, hat die Funktion genau eine Nullstelle.
    $D=0$ $\rightarrow$ $f$ hat genau eine Nullstelle.
  3. Wenn der Ausdruck unter der Wurzel größer als Null ist, hat die Funktion genau zwei Nullstellen.
    $D>0$ $\rightarrow$ $f$ hat genau zwei Nullstellen.
b)
$g: y=3x^2+3x+2$
$\begin{array}[t]{rll} D&=& b^2-4ac &\quad \scriptsize \\[5pt] D&=& 3^2-4 \cdot 3 \cdot 2 &\quad \scriptsize \\[5pt] D&=& -15 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat keine Nullstelle.
d)
$i: y=x^2+3x+1$
$\begin{array}[t]{rll} D&=& b^2-4ac &\quad \scriptsize \\[5pt] D&=& 3^2-4 \cdot 1 \cdot 1 &\quad \scriptsize \\[5pt] D&=& 5 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat zwei Nullstellen.
f)
$k: y=3x^2+6x+3$
$\begin{array}[t]{rll} D&=& b^2-4ac &\quad \scriptsize \\[5pt] D&=& 6^2-4 \cdot 3 \cdot 3 &\quad \scriptsize \\[5pt] D&=& 0 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Funktion hat eine Nullstelle.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
© 2016 – SchulLV.
[2]
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[3]
© 2016 – SchulLV.
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