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Schnittstellen zweier Funktionen

Spickzettel
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Um die Schnittstellen einer quadratischer Funktionen $f(x)$ und einer weiteren Funktion $g(x)$ zu bestimmen, musst du die beiden gegebenen Funktionsgleichungen gleichsetzen. Es soll also gelten:
$f(x)=g(x)$
$f(x)=g(x)$
Nun musst du nur die Lösung/-en der entstandenen Gleichung bestimmen. Diese entsprechen den $x$-Werten der Schnittstellen. Durch Einsetzen dieser in eine der Funktionsgleichungen erhältst du die $y$-Werte der Schnittstellen
Wenn du die Gleichung mit Hilfe der $PQ$-Formel löst, kannst du anhand der Diskriminante $D=(\frac{p}{2})^2-q$ ablesen, wie viele Schnittstellen die beiden quadratischen Funktionen besitzen. Dabei gilt:
  • $D>0:$ Es existieren zwei Lösungen und somit $2$ besitzen $f(x)$ und $g(x)$ zwei Schnittstellen
  • $D=0$ Es existiert eine Lösung und somit genau eine Schnittstelle der beiden quadratischen Funktionen
  • $D<0:$ Es existiert keine Lösung und somit keine Schnittstelle

Beispiel

Gesucht sind die Schnittstellen der Funktionen $f(x)=x^2-1$ und $g(x)=-x^2+4x-1$
Die gegebenen Funktionen setzen wir zunächst gleich und bringen diese auf Normalform:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2-1&=&-x^2+4x-1 &\quad \scriptsize \mid\;-(-x^2+4x-1) \\[5pt] 2x^2-4x&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;:2\\[5pt] x^2-2x&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x&=&0 \end{array}$
Für die $PQ$-Formel gelten somit $p=-2$ und $q=0$ und für die Diskriminante gilt:
$D=\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-0=1$
Das ist echt größer als Null, womit du schon weißt, dass $f$ und $g$ zwei Schnittstellen besitzen. Anschließend berechnest du mit Hilfe der $PQ-Formel$ die Lösung der quadratischen Gleichung:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} $$=- \dfrac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-2}{2}} \right)^2 - 0}=1\pm 1$
Somit gelten $x_1=0$ und $x_2=2$.
Einsetzen dieser in $f(x)$ liefert:
$f(0)=-1$ und $f(2)=3$
Somit schneiden sich $f$ und $g$ in den Punkten $P(0\mid -1)$ und $Q(2\mid 3)$.
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Aufgaben
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1. Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Geraden $y=2x$ mit der Parabel $y=x^2$.
2. Bestimme rechnerisch die Schnittpunkte der Geraden $y=-3x+10$
mit der Parabel $y=(x-3)^2+1$
3. Berechne die Schnittpunkte der Parabeln $p_1$: $y=-(x+3)^2+3$ und $p_2$: $y=x^2+6x+10$.
Zeichne $p_1$ und $p_2$ in ein Koordinatensystem ein.
4. Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln.
a)  $p_1$: $y=x^2-4x+2;$
$p_2$: $y=-2(x-2)^2+10$
b)  $p_1$: $y=(x-1)(x+1);$
$p_2$: $y=2x^2+2x$
c)  $p_1$: $y=(x-2)(x+1)$
$p_2$: $y=(x-1)^2$
d)  $p_1$: $y=-(x-5)^2+10;$
$p_2$: $y=(x-2)^2+1$
a) $p_1$: $y=x^2-4x+2;$
$p_2$: $y=-2(x-2)^2+10$
b) $p_1$: $y=(x-1)(x+1);$
$p_2$: $y=2x^2+2x$
c) $p_1$: $y=(x-2)(x+1)$
$p_2$: $y=(x-1)^2$
d)  $p_1$: $y=-(x-5)^2+10;$
$p_2$: $y=(x-2)^2+1$
5.  Gib, falls vorhanden, die Schnittstellen der quadratischen Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ an.
a)  $f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-6x+4$ und $g(x)=\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$
b)  $f(x)=x^2+3$ und $g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{3}{2}$
c)  $f(x)=x^2+3$ und $g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}$
d)  $f(x)=x^2+4$ und $g(x)=x^2+2x+2$
a)  $f(x)=\dfrac{3}{2}x^2-6x+4$
$g(x)=\dfrac{1}{2}x^2-2x+1$
b)  $f(x)=x^2+3$
$g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{3}{2}$
c)  $f(x)=x^2+3$
$g(x)=-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}$
d)  $f(x)=x^2+4$
$g(x)=x^2+2x+2$
6. Die Geschwindigkeit zweier Fahrzeuge kann näherungsweise innerhalb der ersten 13 Sekunden durch die Funktion $y=5x$ (Fahrzeug 1) und $y=\frac{1}{2}x^2$ (Fahrzeug 2) dargestellt werden. Die Zeit $x$ wird in Sekunden und der zurückgelegte Weg $y$ in Meter angegeben.
a)  Veranschauliche die Situation in einem Koordinatensystem.
b)  Welche Strecke hat Fahrzeug 1 bzw. Fahrzeug 2 nach 5 Sekunden zurückgelegt?
c)  Zu welchem Zeitpunkt wird Fahrzeug 1 überholt? Nach wie vielen Metern ist dies?
d)  Begründe warum die Funktion $y=\frac{1}{2}x^2$ für große $x$ ungeeignet ist den zurückgelegten Weg von Fahrzeug 2 in Abhängigkeit der Zeit zu beschreiben.
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Lösungen
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1.
Bestimmung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{y=2x}$ und $\boldsymbol{y=x^2}$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} 2x=&x^2& \mid -x^2\\ -x^2+2x=&0&\\ -x(x-2)=&0&\\ \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, wenn $-x=0$ Oder $(x-2)=0$ ist. Dies ist für $x_1=0$ und $x_2=2$ der Fall. Damit ergeben sich die Schnittpunkte $S_1(0\mid?)$ und $S_2(2\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=2$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=0$ in $y=2x$ liefert $y=2\cdot0=0$. Daraus folgt: $\;S_1(0\mid0)$
Einsetzen von $x_2=2$ in $y=2x$ liefert $y=2\cdot2=4$. Daraus folgt: $\;S_2(2\mid4)$
2.
Bestimmung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{y=-3x+10}$ und $\boldsymbol{y=(x-3)^2+1}$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} -3x+10=&(x-3)^2+1&\\ -3x+10=&x^2-6x+9+1&\mid-9-1\\ -3x=&x^2-6x&\mid+3x\\ x^2-3x=&0&\\ x(x-3)=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x^2-3x=&0\\ x(x-3)=&0\\ \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, wenn $x=0$ Oder $(x-3)=0$ ist. Dies ist für $x_1=0$ und $x_2=3$ der Fall. Damit ergeben sich die Schnittpunkte $S_1(0\mid?)$ und $S_2(3\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=3$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=0$ in $y=-3x+10$ liefert $y=-3\cdot0+10=0$. Daraus folgt: $\;S_1(0\mid10)$
Einsetzen von $x_2=3$ in $y=-3x+10$ liefert $y=-3\cdot3+10=1$. Daraus folgt: $\;S_2(3\mid1)$
3.
Bestimmung der Schnittpunkte von $\boldsymbol{y=-(x+3)^2+3}$ und $\boldsymbol{y=x^2+6x+10}$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} -(x+3)^2+3=&x^2+6x+10&\\ -(x^2+6x+9)+3=&x^2+6x+10&\\ -x^2-6x-9+3=&x^2+6x+10\\ -x^2-6x-6=&x^2+6x+10&\mid-x^2-6x-10\\ -2x^2-12x-16=&0&\mid:(-2)\\ x^2+6x+8=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x^2+6x+8=&0\\ \end{array}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{6}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-8}$
$x_{1,2}=-3\pm\sqrt{9-8}$
$x_{1,2}=-3\pm\sqrt{1}$
$x_{1}=-3-1$$=-4$; $x_{2}=-3+1$$=-2$
Damit ergeben sich die Schnittpunkte $(-4\mid?)$ und $(-2\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=-4$ und $x_2=-2$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=-4$ in $y=x^2+6x+10$ liefert $y=(-4)^2+6\cdot(-4)+10=2$. Daraus folgt: $ \;S_1(-4\mid2)$
Einsetzen von $x_2=-2$ in $y=x^2+6x+10$ liefert $y=(-2)^2+6\cdot(-2)+10=2$. Daraus folgt: $\;S_2(-2\mid2)$
Einzeichnen der Parabeln in ein Koordinatensystem
Damit du die Parabel $y=x^2+6x+10$ einzeichnen kannst, musst du sie erst in Scheitelpunktform bringen. Achte hierzu auf binomische Formeln.
Aus $y=\underbrace{(x^2+6x+3^2)}_{(x+3)^2}-3^2+10$ folgt: $y=(x+3)^2+1$
Quadratische Funktionen: Schnittstellen zweier Funktionen
Quadratische Funktionen: Schnittstellen zweier Funktionen
4.
Berechne die Schnittpunkte der beiden Parabeln
a)
Bestimmung der Schnittpunkte von $y=x^2-4x+2$ und $y=-2(x-2)^2+10$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x^2-4x+2=&-2(x-2)^2+10&\\ x^2-4x+2=&-2(x^2-4x+4)+10&\\ x^2-4x+2=&-2x^2+8x+2& \mid+2x^2-8x-2\\ 3x^2-12x=&0&\\ 3x(x-4)=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} 3x(x-4)=&0&\\ \end{array}$
Ein Produkt ist Null, wenn einer seiner Faktoren Null ist. Das heißt, wenn $3x=0$ Oder $(x-4)=0$ ist. Dies ist für $x_1=0$ und $x_2=4$ der Fall. Damit ergeben sich die Schnittpunkte $S_1(0\mid?)$ und $S_2(4\mid?)$. Durch Einsetzen von $x_1=0$ und $x_2=4$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du die $y$-Werte der Schnittpunkte.
Einsetzen von $x_1=0$ in $y=x^2-4x+2$ liefert $y=0^2-4\cdot0+2=2$. Daraus folgt: $\;S_1(0\mid2)$
Einsetzen von $x_2=4$ in $y=x^2-4x+2$ liefert $y=4^2-4\cdot4+2=2$. Daraus folgt: $\;S_2(4\mid2)$
b)
Bestimmung der Schnittpunkte von $y=(x-1)(x+1)$ und $y=2x^2+2x$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} (x-1)(x+1)=&2x^2+2x&\\ x^2-1=&2x^2+2x&\mid-2x^2-2x\\ -x^2-2x-1=&0& \mid :(-1)\\ x^2+2x+1=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x^2+2x+1=&0\\ \end{array}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{2}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{2}{2}\right)^2-1}$
$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{0}$
$x=-1+0=-1$
Damit ergibt sich der einzige Schnittpunkt $(-1\mid?)$.
Durch Einsetzen von $x=-1$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du den $y$-Wert des Berührpunkts.
$x=-1$ eingesetzt in $y=2x^2+2x$ liefert $y=2\cdot(-1)^2+2\cdot(-1)=0$. Daraus folgt: $\;S(-1\mid0)$
c)
Bestimmung der Schnittpunkt von $y=(x-2)(x+1)$ und $y=(x-1)^2$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} (x-2)(x+1)=&(x-1)^2&\\ x^2+x-2x-2=&x^2-2x+1^2& \mid-x^2+2x-1\\ x-3=&0&\mid+3\\ x=&3& \\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x=&3 \end{array}$
Damit ergibt sich der Schnittpunkt $(3\mid?)$. Durch Einsetzen von $x=3$ in eine der beiden Funktionsgleichungen bekommst du noch den $y$-Wert des Schnittpunktes.
$x=3$ eingesetzt in $y=(x-1)^2$ liefert $y=(3-1)^2=4$. Daraus folgt: $\;S_1(3\mid4)$
d)
Bestimmung der Schnittpunkte von $y=-(x-5)^2+10$ und $y=(x-2)^2+1$
Gleichsetzen der beiden Funktionsterme
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} -(x-5)^2+10=&(x-2)^2+1&\\ -(x^2-10x+25)+10=&x^2-4x+4+1&\\ -x^2+10x-15=&x^2-4x+5&\mid-x^2+4x-5\\ -2x^2+14x-20=&0& \mid :(-2)\\ x^2-7x+10=&0&\\ \end{array}$
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} x^2-7x+10=&0\\ \end{array}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=\dfrac{7}{2}\pm\sqrt{\left(-\dfrac{7}{2}\right)^2-10}$
$x_{1,2}=3,5\pm\sqrt{2,25}$
$x_1=3,5+1,5=5$
$x_2=3,5-1,5=2$
Damit ergeben sich die Schnittpunkte $(5\mid?)$ und $(2\mid?)$. Durch Einsetzen von $x=5$ und $x=2$ in eine der beiden Funktionsgleichung bekommst du noch die $y$-Werte der Punkte.
$x=5$ eingesetzt in $y=(x-2)^2+1$ liefert $y=(5-2)^2+1=10$. Daraus folgt: $\;S_1(5\mid10)$
$x=2$ eingesetzt in $y=(x-2)^2+1$ liefert $y=(2-2)^2+1=0$. Daraus folgt: $\;S_2(2\mid1)$
5.
Schnittstellen von Funktionen bestimmen
a)
Um die Schnittstellen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu bestimmen, setzt du die gegebenen Funktionsgleichungen gleich und bringst diese auf die bekannte Normalform, um anschließend die PQ-Formel anwenden zu können:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] \dfrac{3}{2}x^2-6x+4&=&\dfrac{1}{2}x^2-2x+1 &\quad \scriptsize\mid;-(\dfrac{1}{2}x^2-2x+1) \\[5pt] x^2-4x+3&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x+3&=&0 \end{array}$
Diese Gleichung können wir nun mit der PQ-Formel lösen:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} $$=- \dfrac{-4}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-4}{2}} \right)^2 -3}=2\pm 1$
Somit gilt:
$x_1=1$ und $x_2=3$
Diese musst du nur noch in $f(x)$ einsetzen, um die $y$-Koordinaten die Schnittstelle zu erhalten.
Somit erhältst du $f(1)=-\frac{1}{2}$ und $f(3)=-\frac{1}{2}$. Somit sind $P(1\mid -\frac{1}{2})$ und $Q(3\mid -\frac{1}{2})$ die Schnittstellen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.
b)
Um die Schnittstellen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu bestimmen, setzt du die gegebenen Funktionsgleichungen gleich und bringst diese auf die bekannte Normalform, um anschließend die PQ-Formel anwenden zu können:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2+3&=&-\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{3}{2}&\quad \scriptsize\mid -(-\dfrac{1}{2}x^2+3x+\dfrac{3}{2}) \\[5pt] \dfrac{3}{2}x^2-3x+\dfrac{3}{2}&=&0 &\quad \scriptsize\mid \cdot \frac{2}{3} \\[5pt] x^2-2x+1&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x+1&=&0 \end{array}$
Diese Gleichung können wir nun mit der PQ-Formel lösen:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q} $$=- \dfrac{-2}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-2}{2}} \right)^2 - (-1)} $$=1\pm 0=1$
Somit gilt:
$x_1=x_2=1$
Diesen Wert musst du nur noch in $f(x)$ einsetzen, um die $y$-Koordinaten die Schnittstelle zu erhalten.
Somit erhältst du $f(1)=4$. Somit ist $P(1\mid 4)$ die Schnittstelle der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$.
c)
Um die Schnittstellen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu bestimmen, setzt du die gegebenen Funktionsgleichungen gleich und bringst diese auf die bekannte Normalform, um anschließend die PQ-Formel anwenden zu können:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2+3&=&-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2} &\quad \scriptsize\mid -(-\dfrac{1}{2}x^2+x+\dfrac{5}{2}) \\[5pt] \dfrac{3}{2}x^2-x+\dfrac{1}{2}&=&0 &\quad \scriptsize\mid \cdot\frac{2}{3} \\[5pt] x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-\dfrac{2}{3}x+\dfrac{1}{3}&=&0 \end{array}$
Diese Gleichung können wir nun mit der PQ-Formel lösen:
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}=- \dfrac{-\frac{2}{3}}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{-\frac{2}{3}}{2}} \right)^2 - \frac{1}{3}}=\dfrac{1}{3}\pm\sqrt{-\frac{2}{9}}$
$x_{1,2} = \dfrac{1}{3}\pm\sqrt{-\frac{2}{9}}$
Da der Term $-\dfrac{2}{9}$, welcher unter der Wurzel steht, negativ ist, weißt du, dass $f(x)$ und $g(x)$ keine gemeinsamen Schnittstellen besitzen.
d)
Um die Schnittstellen der Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ zu bestimmen, setzt du die gegebenen Funktionsgleichungen gleich und bringst diese auf die bekannte Normalform, um anschließend die PQ-Formel anwenden zu können:
$\begin{array}[t]{rll} f(x)&=&g(x) &\quad \scriptsize \\[5pt] x^2+4&=&g(x)=x^2+2x+2 &\quad \scriptsize\mid -(x^2+2x+2 ) \\[5pt] -2x+2&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -2x+2&=&0 \end{array}$
Dies ist eine lineare Gleichung, die wir mit Hilfe von Äquivalenzumformungen lösen können:
$\begin{array}[t]{rll} -2x+2&=& 0&\quad \scriptsize \mid\;+2x \\[5pt] 2x&=&2&\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] x&=&1 \end{array}$
Somit weißt du, dass $f(x)$ und $g(x)$ nur eine gemeinsame Schnittstelle an der Stelle $x=1$ besitzen. Einsetzen von $x=1$ in $f(x)$ liefert die zugehörige $y$-Koordinate. Es gilt: $f(1)=5$.
Somit besitzen $f$ und $g$ die Schnittstelle $P(1\mid 5)$.
6.
Fahrzeuggeschwindigkeit modellieren
a)
Fahrzeug 1: $y=5x$; Fahrzeug 2: $y=\dfrac{1}{2}x^2$
Quadratische Funktionen: Schnittstellen zweier Funktionen
Quadratische Funktionen: Schnittstellen zweier Funktionen
b)
Die $y$-Werte geben die zurückgelegte Strecke in Abhängigkeit der Zeit $x$ in Sekunden an. Gefragt ist also nach dem $y$-Wert für $x=5$ (nach $5$ Sekunden). Setzt man $x=5$ in die Gleichungen ein ergibt sich
Fahrzeug 1: $y=5\cdot5=25$. Daraus folgt: Zurückgelegter Weg $=25$ m.
Fahrzeug 2: $y=\dfrac{1}{2}\cdot5^2=12,5$. Daraus folgt: Zurückgelegter Weg $=12,5$ m.
c)
Im Schnittpunkt der beiden Funktionen treffen sich die Fahrzeuge. Im Schnittpunkt haben Fahrzeug 1 und Fahrzeug 2 innerhalb der gleichen Zeit, den gleichen Weg zurückgelegt.
Bestimmung des Schnittpunkts
$\begin{array}[t]{rl@{\hspace{1cm}}l} 5x=&\dfrac{1}{2}x^2& \mid -5x \\ \dfrac{1}{2}x^2-5x=&0& \\ x\cdot\left(\dfrac{1}{2}x-5\right)=&0& \\ \end{array}$
Die obere Gleichung ist $=0$, wenn entweder $x=0$ wird Oder $\left(\dfrac{1}{2}x-5\right)=0$ ist.
Dies ist für $x=0$ und $x=10$ der Fall.
Die Lösung $x=0$ ist nicht gefragt, da es sich von selbst versteht, dass beim Start der beiden Fahrzeuge sie auf gleicher Höhe sind. Folglich ist $x=10$ die gesuchte Lösung. Sie bedeutet, dass nach $10$ Sekunden Fahrzeug 1 und Fahrzeug 2 auf gleicher Höhe sind und Fahrzeug 2 für $x>10$ das Fahrzeug 1 überholt hat. Um den zurückgelegten Weg der beiden Fahrzeuge zu bestimmen, setzt man $x=10$ in eine der beiden Funktionsgleichungen ein.
Bestimmung des zurückgelegten Weges
$x=10$ eingesetzt in $y=\dfrac{1}{2}x^2$ liefert
$y=\dfrac{1}{2}\cdot10^2=\dfrac{1}{2}\cdot100=50$
Beide Fahrzeuge haben nach $10$ Sekunden $50$ m zurückgelegt. Oder anders formuliert: nach $50$ m überholt Fahrzeug 2 Fahrzeug 1.
d)
Die Funktion $y=\dfrac{1}{2}x^2$ wird für große $x$ sehr sehr groß. Für $x=100$ erhält man z.B. $y=5.000$. Für Fahrzeug 2 würde das bedeuten, dass es innerhalb von $100$ Sekunden $5.000 \,\text{m}\mathrel{\widehat{=}}5\,\text{km}$ zurücklegen muss. Das sind $50$ m pro Sekunde, also $180\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$.
Um in $200$ Sekunden $20$ km zurückzulegen, müsste Fahrzeug 2 im Schnitt $360\dfrac{\text{km}}{\text{h}}$ fahren. Längerfristig ist also zu erwarten, dass die Funktion nicht mehr mit dem möglichen Tempo eines Autos übereinstimmt. Deshalb eignet sich die Funktion nur für eine Darstellung für kleine $x$.
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