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Umkehrung quadratischer Funktionen

Spickzettel
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Die Umkehrung einer quadratischen Funktion wird auch als Wurzelfunktion bezeichnet. Die Wurzelfunktion hat die allgemeine Funktionsgleichung:
$f(x)=\sqrt{x}$
$f(x)=\sqrt{x}$
  • Der Graph wird entlang der $y$-Achse nach oben verschoben, wenn eine Konstante $c$ zu $f(x)$ addiert wird, nach unten, wenn die Konstante $c$ subtrahiert wird: $\sqrt{x} \pm c$. Verschiebungen nach rechts finden statt, wenn unter der Wurzel eine Kostante $c$ subtrahiert wird, nach links, wenn die Konstante $c$ addiert wird: $\sqrt{x \pm c}$
  • Wird die Funktion mit einem Faktor $n > 1$ multipliziert, wird der Graph gestreckt, ist der Faktor $n < 1$, wird der Graph gestaucht: $n \cdot \sqrt{x}$
  • Der Graph wird an der $x$-Achse gespiegelt, wenn sich ein negatives Vorzeichen vor der Funktion befindet: $-\sqrt{x}$. Die Funktion wird an der $y$-Achse gespiegelt, wenn unter der Wurzel ein negatives Vorzeichen steht $\sqrt{-x}$.
Wenn du einen Definitionsbereich festlegen willst, mussts du darauf achten, dass unter der Wurzel keine negativen Zahlen stehen dürfen.
#wurzel#wurzelfunktion
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Gib den Wertebereich und den Definitionsbereich der Funktionen an. Zeichne dann die Funktionen mithilfe einer Wertetabelle in ein geeignetes Koordinatensystem.
$\;$
a)
$g:y=\sqrt{x-1}$
d)
$i:y=\sqrt{x+1}-1$
f)
$k:y=\sqrt{-2x}$
h)
$m:y=\sqrt{x-1}+2$
#definitionsbereich#wertebereich

Aufgabe 1

Bestimme die Umkehrfunktionen der Funktionen, indem du die Gleichung nach $x$ umstellst und anschließend $x$ und $y$ vertauschst.
$\;$
a)
$g:y=x^2+1$
d)
$i:y=2x^2$
f)
$l:y=-x^2-2$
h)
$m:y=(x+2)^2$
#umkehrfunktion

Aufgabe 2

Jede der folgenden Funktionen hat einen zugehörigen Graphen. Ordne die Funktionsgleichungen den passenden Graphen zu.
$\;$
b)
$g: y=\sqrt{x+2} $
d)
$i: y=-\sqrt{3x+2} -1$
#wurzelfunktion

Aufgabe 3

$2.\;g: y=(x+4)^2$
$4.\;i: y=-(x+3)^2-2$
$\;$
a)
Gib für die Funktionen $1-4$ jeweils $\mathbb{W}$ und $\mathbb{D}$ an.
b)
Bestimme die Gleichung der Umkehrrelation und gib für die Funktionen $1-4$ jeweils $\mathbb{W}$ und $\mathbb{D}$ an.
#wertebereich#definitionsbereich

Aufgabe 4

Skizziere die Schaubilder folgender Funktionen und bestimme den Definitionsbereich.
$\;$
b)
$y=-\sqrt{x-1}$
d)
$y=\sqrt{2x-1}-1$
#wurzelfunktion#definitionsbereich
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Du kannst nur Wurzeln aus positiven Zahlen ziehen. Um den Definitionsbereich zu bestimmen, setzt du den Term unter der Wurzel gleich null.
Um den Wertebereich zu bestimmen, setzt du den Definitonsbereich in die Funktion ein.
a)
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 1 Graph der Funktion $f$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 1 Graph der Funktion $f$
b)
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 2 Graph der Funktion $g$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 2 Graph der Funktion $g$
c)
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 3 Graph der Funktion $h$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 3 Graph der Funktion $h$
d)
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 4 Graph der Funktion $i$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 4 Graph der Funktion $i$
e)
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 5 Graph der Funktion $j$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 5 Graph der Funktion $j$
f)
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 6 Graph der Funktion $k$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 6 Graph der Funktion $k$
g)
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 7 Graph der Funktion $l$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 7 Graph der Funktion $l$
h)
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 8 Graph der Funktion $m$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 8 Graph der Funktion $m$
#wurzelfunktion#definitionsbereich#wertebereich

Aufgabe 1

Bestimme die Umkehrfunktion, indem du die Gleichung nach $x$ umstellt und anschließen $x$ und $y$ vertauschst.
b)
Zuerst stellst du die Funktion nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x^2+1& \\[5pt] y-1&=& x^2& \\[5pt] \sqrt{y-1}&=& x & \\[5pt] x&=& \sqrt{y-1} & \\[5pt] \end{array}$
Dann tauschst du $x$ und $y$.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{y-1}& \\[5pt] y&=&\sqrt{x-1}& \\[5pt] \end{array}$
Die Umkehrfunktion $g^{-1}$ von $g:y=x^2+1$ lautet: $g^{-1}:y=\sqrt{x-1}$.
d)
Zuerst stellst du die Funktion nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& 2x^2& \\[5pt] \frac{y}{2}&=& x^2& \\[5pt] \sqrt{\frac{y}{2}}&=& x & \\[5pt] x&=& \sqrt{\frac{y}{2}}& \\[5pt] \end{array}$
Dann tauschst du $x$ und $y$.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{\frac{y}{2}}& \\[5pt] y&=& \sqrt{\frac{x}{2}}& \\[5pt] \end{array}$
Die Umkehrfunktion $i^{-1}$ von $i:y=2x^2$ lautet: $i^{-1}:y=\sqrt{\frac{x}{2}}$.
f)
Zuerst stellst du die Funktion nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x^2-2& \\[5pt] -y-2&=& x^2& \\[5pt] \sqrt{-y-2}&=& x & \\[5pt] x&=& \sqrt{-y-2} & \\[5pt] \end{array}$
Dann tauschst du $x$ und $y$.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{-y-2} & \\[5pt] y&=& \sqrt{-x-2} & \\[5pt] \end{array}$
Die Umkehrfunktion $k^{-1}$ von $k:y=-x^2-2$ lautet: $k^{-1}:y=\sqrt{-x-2}$.
h)
Zuerst stellst du die Funktion nach $x$ um.
$\begin{array}[t]{rll} y&=& (x+2)^2& \\[5pt] \sqrt{y}&=& x+2& \\[5pt] \sqrt{y}-2&=& x & \\[5pt] x&=& \sqrt{y}-2 & \\[5pt] \end{array}$
Dann tauschst du $x$ und $y$.
$\begin{array}[t]{rll} x&=& \sqrt{y}-2 & \\[5pt] y&=& \sqrt{x}-2 & \\[5pt] \end{array}$
Die Umkehrfunktion $k^{-1}$ von $k:y=(x+2)^2$ lautet: $k^{-1}:y=\sqrt{x}-2$.
#umkehrfunktion#wurzelfunktion

Aufgabe 2

a)
Du sollst entscheiden, welcher der Graphen zur Funktionsgleichung $f: y= \sqrt{3x}+2$ gehört. Du kannst die Funktion umschreiben zu $y=\sqrt{3} \cdot \sqrt{x} +2$
Es gibt somit einen Faktor $n>1$ durch den die Funktion gestreckt wird. Ausßerdem kannst du ablesen, dass der Graph um $2$ Einheiten nach oben verschoben ist. Der passende Graph ist deswegen in Abbildung $4$ zu sehen.
b)
Du sollst entscheiden, welcher der Graphen zur Funktionsgleichung $f: y= \sqrt{x+2}$ gehört. Da die Konstante $2$ unter der Wurzel addierst wird, ist der Graph um zwei Einheiten nach links verschoben.
Der passende Graph ist deswegen in Abbildung $1$ zu sehen.
c)
Du sollst entscheiden, welcher der Graphen zur Funktionsgleichung $f: y= -\sqrt{x-2}+4$ gehört. Da die Konstante $2$ unter der Wurzel subtrahiert wird, ist der Graph um zwei Einheiten nach rechts verschoben.
Außderdem kannst du ablesen, dass der Graph um $4$ Einheiten nach oben verschoben ist. Eine weitere Aussage, die auf Grund des negativen Vorzeichens getroffen werden kann, ist eine Spiegelung an der $x$-Achse. Der passende Graph ist deswegen in Abbildung $2$ zu sehen.
d)
Du sollst entscheiden, welcher der Graphen zur Funktionsgleichung $f: y= -\sqrt{3x+2}-1$ gehört. Da die Konstante $2$ unter der Wurzel addiert wird, ist der Graph um zwei Einheiten nach rechts verschoben.
Außderdem kannst du ablesen, dass der Graph um eine Einheit nach unten verschoben ist. Eine weitere Aussage, die auf Grund des negativen Vorzeichens getroffen werden kann, ist eine Spiegelung an der $x$-Achse. Der Graph der Funktion ist außerdem gesreckt, was durch den Faktor $3$ vor dem $x$ ausgedrückt wird. Der passende Graph ist deswegen in Abbildung $3$ zu sehen.
#wurzel#wurzelfunktion

Aufgabe 3

a)
Die Funktionsgleichungen $1-4$ haben keine Einschränkungen bezüglich des Definitions- und Wertebereichs. Somit lautet der Definitionsbereich der Funktionen $1-4$: $\mathbb{D}_f=\{\mathbb{R} \}$
Der Wertebereich der Funktionen lautet ebenfalls $\mathbb{W}_f=\{\mathbb{R}\}$.
b)
Die Umkehrrelationen kannst du bestimmen, indem du die Funktion nach $x$ auflöst und anschließend $x$ und $y$ vertauschst. Du kannst die $pq$-Formel zur Hilfe nehmen. Den Definitionsbereich kannst du bestimmen, indem du den Term unter der Wurzel gleich Null setzt. Die Zahl unter der Wurzel muss größer als Null sein, damit die Funktionsgleichung erfüllt ist. Setze anschließend den Definitionsbereich in die Funktionsgleichung ein, um den Wertebereich zu bestimmen.
1:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2+6x-1 &\quad \scriptsize \mid\; -y\\[5pt] 0&=&x^2+6x-1-y &\quad \scriptsize \mid\; pq\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{6}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{6}{2}\right)^2-(-1-y)} \\[5pt] x_{1,2}&=& -3 \pm \sqrt{\left(3\right)^2(+1+y)} \\[5pt] x_{1,2}&=& -3 \pm \sqrt{10+y} \\[5pt] \end{array}$
Vertausche nun $x$ und $y$: Es gibt somit die zwei möglichen Umkehrrelationen $y_1= -3+ \sqrt{10+x}$ und $y_2= -3 - \sqrt{10+x}$
Der Defintionsbereich der Funktion lautet: $\mathbb{D}_f=\{x \quad \vert \quad x\geq -10\}$
Setze den Definitionsbereich in die Funktionsgleichung ein: Der Wertebereich der Funktion $y_1$ lautet somit $\mathbb{W}_f=\{y \quad \vert \quad y\geq -3\}$, der der Funktion $y_2$ lautet $\mathbb{W}_f=\{y \quad \vert \quad y< 3\}$.
2:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&(x+4)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] \sqrt{y}&=& x+4 &\quad \scriptsize \mid\; -4\\[5pt] x&=& \sqrt{y}-4 &\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Umkehrrelation lautet $y=\sqrt{x}-4$. Du sollst nun den Definitionsbereich bestimmen. Du weißt, dass der Term unter der Wurzel nicht kleiner Null werden darf, deswegen lautet der Definitionsbereich: $\mathbb{D}_f=\{x \quad \vert \quad x\geq 0\}$
Setze den Definitionsbereich in die Funktionsgleichung ein, um den Wertebereich zu erhalten: $\mathbb{W}_f=\{y \quad \vert \quad y\geq -4\}$
3:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&x^2-2x+5 &\quad \scriptsize \mid\; -y\\[5pt] 0&=&x^2-2x+5-y &\quad \scriptsize \mid\; pq\\[5pt] x_{1,2}&=& -\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-2}{2}\right)^2-(5-y)} \\[5pt] x_{1,2}&=& 1 \pm \sqrt{1-5+y} \\[5pt] x_{1,2}&=& 1 \pm \sqrt{-4+y} \\[5pt] \end{array}$
Es gibt somit die zwei möglichen Umkehrrelationen $y_1= 1+ \sqrt{-4+x}$ und $y_2= 1 - \sqrt{-4+x}$.
Der Definitionsbereich der Funktion lautet: $\mathbb{D}_f=\{x \quad \vert \quad x\geq 4\}$
Setze den Definitionsbereich in die Funktionsgleichung ein: Der Wertebereich der Funktion $x_1$ lautet somit: $\mathbb{W}_f=\{y \quad \vert \quad y\geq 1\}$, der der Funktion $x_2$ lautet $\mathbb{W}_f=\{y \quad \vert \quad y< 1\}$.
4:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&-(x+3)^2-2 &\quad \scriptsize \mid\; +2\\[5pt] y+2&=&-(x+3)^2&\quad \scriptsize \mid\; \cdot -1\\[5pt] -y-2&=&(x+3)^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] \sqrt{-y-2}&=&x+3&\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] x&=&\sqrt{-y-2}-3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Die Umkehrrelation lautet $y=\sqrt{-x-2}-3$. Den Definitionsbereich kannst du bestimmen, indem du den Term unter der Wurzel Null setzt. Da der Term unter der Wurzel nicht Null werden darf, ist der Definitionsbereich $\mathbb{D}_f=\{x \quad \vert \quad x\geq 2\}$
Wenn du den Definitionsbereich in die Funktionsgleichung einsetzt, erhältst du den Wertebereich $\mathbb{W}_f=\{y \quad \vert \quad y\geq -3\}$.
#definitionsbereich#wertebereich#wurzelfunktion#umkehrfunktion

Aufgabe 4

Die Wurzelfunktion $y=\sqrt x$ ist für alle $x\geq0$ definiert. Der Ausdruck, der „unter“ der Wurzel steht, wird Radikand genannt. Der Definitionsbereich besteht also genau aus den Zahlen, für die der Wert unter der Wurzel nicht kleiner als Null wird.
Das Schaubild einer Funktion $g$ mit $g(x)=a\cdot\sqrt{b(x-c)}+d$ entsteht aus dem Schaubild der Wurzelfunktion $y=\sqrt x$ durch Streckung bzw. Stauchung in $y$-Richtung um Faktor $a$, Streckung bzw. Stauchung in $x$-Richtung um Faktor $b$, Verschiebung in $x$-Richtung um $c$ LE und Verschiebung in $y$-Richtung um $d$ $\text{LE}$.
Schaubilder skizzieren und Definitionsbereiche angeben
a)
$y=\sqrt{x+1}$
Definitionsbereich bestimmen
Untersuche, für welche Werte von $x$ der Radikand größer oder gleich Null ist:
$\begin{array}[t]{rll} x+1& \geq &0 &\quad \scriptsize \mid\; -1 \\[5pt] x&\geq& -1 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq-1\right\}$.
Skizze
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 9 Graph der Funktion $f$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 9 Graph der Funktion $f$
b)
$y=-\sqrt{x-1}$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x-1& \geq &0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] x&\geq& 1 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq1\right\}$.
Skizze
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 10 Graph der Funktion $f$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 10 Graph der Funktion $f$
c)
$y=\sqrt{x+3}-2$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x+3&\geq&0 &\quad \scriptsize \mid\; -3\\[5pt] x&\geq& -3 \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq-3\right\}$.
Skizze
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 11 Graph der Funktion $f$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 11 Graph der Funktion $f$
d)
$y=\sqrt{2x-1}-1$
Definitionsbereich bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2x-1&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +1\\[5pt] 2x&\geq& 1 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x&\geq&\frac{1}{2} \end{array}$
Damit erhältst du den Definitionsbereich $D=\left\{x\in\mathbb R\,\mid\,x\geq\frac{1}{2}\right\}$.
Skizze
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 12 Graph der Funktion $f$
Quadratische Funktionen: Umkehrung quadratischer Funktionen
Abb. 12 Graph der Funktion $f$
#wurzelfunktion#definitionsbereich#wertebereich
Bildnachweise [nach oben]
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