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Einführung

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Erklärung

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:
$\begin{array}{p{2.7cm}l} &ax^2+bx+c=0\qquad(a,b,c\;\in\;\mathbb{R} \text{ und } a\neq0) \end{array}$
Durch die Division durch $a$ kommst du von der allgemeinen Form auf die Normalform:
$\begin{array}{p{2.7cm}l} &x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0\qquad \scriptsize{\text{mit }} p=\dfrac{b}{a} \scriptsize{\text{und }} q=\dfrac{c}{a}\\[5pt] &x^2+px+q=0\qquad\;\;(p,q\;\in\;\mathbb{R})\\[5pt] \end{array}$
© SchulLV 2015

Beispiel

Quadratische Gleichung: $2x^2+4x-4=-3x^2-11x-14$ $\scriptsize{\mid \;+3x^2+11x+14}$
Allgemeine Form: $5x^2+15x+10=0$ $\scriptsize{\mid \;:5}$
Normalform: $x^2+3x+2=0$
        

Erklärung

Die allgemeine Form der quadratischen Gleichung lautet:
$\begin{array}{p{2.7cm}l} &ax^2+bx+c=0 \end{array}$
für $a,b,c\;\in\;\mathbb{R}$ und $a\neq0$. Durch die Division durch $a$ kommst du von der allgemeinen Form auf die Normalform:
$\begin{array}{p{2.7cm}l} &x^2+\dfrac{b}{a}x+\dfrac{c}{a}=0 \\[5pt] &x^2+px+q=0\\[5pt] \end{array}$
Dabei setzen wir $p=\frac{b}{a} $ und $ q=\frac{c}{a}$.
© SchulLV 2015

Beispiel

Quadratische Gleichung:
$2x^2+4x-4 $$ = -3x^2-11x-14$
Allgemeine Form:
$5x^2+15x+10 $$ = 0 \quad \scriptsize{\mid \;:5}$
Normalform:
$x^2+3x+2=0$
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Aufgaben
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1.
Fasse die Gleichung zusammen und bringe sie in die Normalform.
a)
$2x^2+3x+2=9-2x$
b)
$3x^2-2x+7=5x-2$
c)
$-3x^2-x=3x+3$
d)
$4x^2+5x-7=-x+1$
e)
$2x^2-2x-3+x $$ = x^2-2x+1-x^2$
f)
$5x^2-x-2+4x $$ = 2x^2-5x+1-4x^2$
g)
$x^2+x+2+x+x^2 $$ = x-1+3x^2$
h)
$7x^2+2x-9+x $$ = x+5+3x^2-x^2$
2.
Ist die Gleichung schon in der Normalform? Wenn nicht, bringe sie auf die Normalform.
a)
$x^2-5x+3=4$
b)
$15x-3x^2+20=5$
c)
$x^2-5x-10=0$
d)
$5-3y+y^2=0$
e)
$ 5a^2+26a-13$$=11a-18$
f)
$a^2+6-17a$$=5a^2+a-2$
3.
Fasse die Gleichung zusammen und bringe sie auf die Normalform.
a)
$4(x+1)^2$$=-2(x^2-1)$
b)
$\dfrac{1}{2}(x^2-3x+15)$$=(x-4)^2$
c)
$(x+2)^2-2(2x+1)$$=-(x-3)^2$
d)
$2(x+3)^2-x$$=3$
4.
Fasse die Gleichung zusammen und bringe sie auf die Normalform.
a)
$(x+1)2(x-5)=0$
b)
$2x^2-6x+4=0$
c)
$3x^2+3x-6=0$
d)
$6x^2-24x+18$$=0$
e)
$x^2-2x-24+(x-4)^2$$=-(16+2x)$
f)
$2 (x-\dfrac{1}{2})(x-2)$$=0$
g)
$(x+3)3(x-2)=0$
h)
$2x^2-4x+ 2=0$
i)
$-0,5x^2-2,5x-3$$=0$
j)
$(x+4)(x-1)+(x+2)^2$$=x(x-1)$
k)
$(x-1)^2-(x-2)(x+1)$$=(x-2)^2+1$
l)
$(x+1)(x-3)+(2x+1)^2$$=4x+1$
m)
$(5-x)(x-5)$$=4x+1$
n)
$(4x+1)(x-1)$$=2x-(x-1)^2$
o)
$2x^2-x(4-x)$$=x(x+2)$
p)
$(x-2)^2+(x-1)^2-12$$=x^2$
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Lösungen
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1.
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} 2x^2+3x+2&=&9-2x& \scriptsize{\mid \text{+2x}}\\[5pt] 2x^2+5x+2&=&9& \scriptsize{\mid \;\text{-9}}\\[5pt] 2x^2+5x-7&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{:2}}\\[5pt] x^2+\dfrac{5}{2}x-\dfrac{7}{2}&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} x^2+\dfrac{5}{2}x-\dfrac{7}{2}&=&0& \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} 3x^2-2x+7&=& 5x-2 & \scriptsize{\mid \;\text{-5x}} \mid \; \scriptsize{\text{+2}}\\[5pt] 3x^2-7x+9&=&0 & \scriptsize{\mid \;\text{:3}}\\[5pt] x^2-\dfrac{7}{3}x+3&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} x^2-\dfrac{7}{3}x+3&=&0& \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} -3x^2-x&=&3x+3& \scriptsize{\mid \;\text{-3x}} \mid \scriptsize{\text{-3}}\\[5pt] -3x^2-4x-3&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{:(-3)}}\\[5pt] x^2+\dfrac{4}{3}x+1&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} x^2+\dfrac{4}{3}x+1&=&0 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} 4x^2+5x-7&=&-x+1& \scriptsize{\mid \;\text{+x}} \mid \scriptsize{\text{-1}}\\[5pt] 4x^2+6x-8&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{:4}}\\[5pt] x^2+\dfrac{3}{2}x-2&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} x^2+\dfrac{3}{2}x-2&=&0 \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} 2x^2-2x-3+x&=&x^2-2x+1-x^2& \scriptsize{\mid \;\text{Zusammenfassen}}\\[5pt] 2x^2-x-3&=&-2x+1& \scriptsize{\mid \; \text{+2x}} \mid \scriptsize{\text{-1}}\\[5pt] 2x^2+x-4&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{:2}}\\[5pt] x^2+\dfrac{1}{2}x-2&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} x^2+\dfrac{1}{2}x-2&=&0& \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} 5x^2-x-2+4x&=&2x^2-5x+1-4x^2& \scriptsize{\mid \;\text{Zusammenfassen}}\\[5pt] 5x^2+3x-2&=&-2x^2-5x+1& \scriptsize{\mid \; +2x^2 \mid \; \text{+5x}} \mid \; \scriptsize{\text{-1}}\\[5pt] 7x^2+8x-3&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{:7}}\\[5pt] x^2+\dfrac{8}{7}x-\dfrac{3}{7}&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} x^2+\dfrac{8}{7}x-\dfrac{3}{7}&=&0& \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} x^2+x+2+x+x^2&=&x-1+3x^2& \scriptsize{\mid \;\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt] 2x^2+2x+2&=&x-1+3x^2& \scriptsize{\mid -3x^2 \mid \;\text{-x}} \mid \; \scriptsize{\text{+1}}\\[5pt] -x^2+x+3&=&0& \scriptsize{\mid \;\cdot\text{(-1)}}\\[5pt] x^2-x-3&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} x^2-x-3&=&0& \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} 7x^2+2x-9+x&=&x+5+3x^2-x^2& \scriptsize{\mid \;\text{Zusammenfassen}}\\[5pt] 7x^2+3x-9&=&2x^2+x+5& \scriptsize{\mid \; -2x^2 \mid \;\text{-x}} \mid \scriptsize{\text{-5}}\\[5pt] 5x^2+2x-14&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{:5}}\\[5pt] x^2+\dfrac{2}{5}x-\dfrac{14}{5}&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }ll} x^2+\dfrac{2}{5}x-\dfrac{14}{5}&=&0 \end{array}$
2.
Die Normalform einer Gleichung sieht so aus: $x^2+px+q=0$. Wenn eine der Gleichungen eine andere Form hat musst du sie zur Normalform umformen.
a)
Die Gleichung ist noch nicht in Normalform.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x^2-5x+3&=&4& \scriptsize{\mid \;-4}\\[5pt] x^2-5x-1&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x^2-5x-1&=&0& \end{array}$
b)
Die Gleichung ist noch nicht in Normalform.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@} 15x-3x^2+20&=&5&& \scriptsize{\mid \; \text{-5}}\\[5pt] 15x-3x^2+15&=&0&& \scriptsize{\mid \;\text{Umstellen}}\\[5pt] -3x^2+15x+15&=&0&& \scriptsize{\mid \;\text{:(-3)}}\\[5pt] x^2-5x-5&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@} x^2-5x-5&=&0 \end{array}$
c)
Die Gleichung ist schon in Normalform.
$x^2-5x-10=0$
d)
Die Gleichung ist schon in Normalform. Du musst die linke Seite nur umstellen.
$5-3y+y^2=0$
$y^2-3y+5=0$
e)
Die Gleichung ist noch nicht in Normalform.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 5a^2+26a-13&=&11a-18& \scriptsize{\mid -11a \mid \; +18}\\[5pt] 5a^2+15a+5&=&0& \scriptsize{\mid \; :5}\\[5pt] a^2+3a+1&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} a^2+3a+1&=&0& \end{array}$
f)
Die Gleichung ist noch nicht in Normalform.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} a^2+6-17a&=&5a^2+a-2& \scriptsize{\mid \; -5a^2 \mid -a \mid +2}\\[5pt] -4a^2+8-18a&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{Umstellen}}\\[5pt] -4a^2-18a+8&=&0& \scriptsize{\mid \; :(-4)}\\[5pt] a^2+\dfrac{9}{2}a-2&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} a^2+\dfrac{9}{2}a-2&=&0 \end{array}$
3.
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 4(x+1)^2&=&-2(x^2-1)& \scriptsize{\mid \; 1. \;\text{Binomische Formel}}\\[5pt] 4(x^2+2x+1)&=&-2(x^2-1)& \scriptsize{\mid \;\text{Klammern auflösen}}\\[5pt] 4x^2+8x+4&=&-2x^2+2& \scriptsize{\mid \; +2x^2 \mid \; -2}\\[5pt] 6x^2+8x+2&=&0& \scriptsize{\mid \; :6}\\[5pt] x^2+\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+\dfrac{4}{3}x+\dfrac{1}{3}&=&0 \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{2}(x^2-3x+15)&=&(x-4)^2& \scriptsize{\mid \; 2. \; \text{Binomische Formel}}\\[5pt] \dfrac{1}{2}(x^2-3x+15)&=&x^2-8x+16& \scriptsize{\mid \;\text{Klammer auflösen}}\\[5pt] \dfrac{1}{2}x^2-\dfrac{3}{2}x+\dfrac{15}{2}&=&x^2-8x+16& \scriptsize{\mid \; -x^2 \mid \; +8x \mid \; -16}\\[5pt] -\dfrac{1}{2}x^2+\dfrac{13}{2}x-\dfrac{17}{2}&=&0& \mid \; \scriptsize{\text{: }}(-\frac{1}{2})\\[5pt] x^2-13x+17&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-13x+17&=&0 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+2)^2-2(2x+1)&=&-(x-3)^2& \mid \; \scriptsize{\text{1. und 2. Bin. Formel}}\\[5pt] x^2+4x+4-2(2x+1)&=&-(x^2-6x+9)& \scriptsize{\mid \;\text{Klammer auflösen}}\\[5pt] x^2+4x+4-4x-2&=&-x^2+6x-9& \scriptsize{\mid \;\text{Zusammenfassen}}\\[5pt] x^2+2&=&-x^2+6x-9& \scriptsize{\mid \;+x^2 \mid \; -6x \mid \; +9}\\[5pt] 2x^2-6x+11&=&0& \scriptsize{\mid\; :2}\\[5pt] x^2-3x+\dfrac{11}{2}&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-3x+\dfrac{11}{2}&=&0& \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 2(x+3)^2-x&=&3& \scriptsize{\mid \; 1. \;\text{Binom. Formel}}\\[5pt] 2(x^2+6x+9)-x&=&3& \scriptsize{\mid \;\text{Klammer auflösen}}\\[5pt] 2x^2+12x+18-x&=&3& \scriptsize{\mid \; -3}\\[5pt] 2x^2+11x+15&=& \scriptsize{\mid \; :2}\\[5pt] x^2+\dfrac{11}{2}x+\dfrac{15}{2}&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+\dfrac{11}{2}x+\dfrac{15}{2}&=&0 \end{array}$
4.
a)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+1)2(x-5)&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{Klammern auflösen}}\\[5pt] 2x^2-8x-10&=&0& \scriptsize{\mid \; :2}\\[5pt] x^2-4x-5&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-4x-5&=&0& \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2-6x+4&=&0 \qquad {\scriptsize{\mid\; :2}}\\[5pt] x^2-3x+2&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-3x+2&=&0 \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} 3x^2+3x-6&=&0 \qquad {\scriptsize{\mid\; :3}}\\[5pt] x^2+x-2&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2+x-2&=&0 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} 6x^2-24x+18&=&0 \qquad {\scriptsize{\mid \;:6}}\\[5pt] x^2-4x+3&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-4x+3&=&0 \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-2x-24+(x-4)^2&=&-(16+2x)& \scriptsize{\mid \;\text{2. Binom. Formel}}\\[5pt] x^2-2x-24+x^2-8x+16&=&-16-2x&\scriptsize{\mid \; \text{Zusammenfassen}}\\[5pt] 2x^2-10x-8&=&-16-2x& \scriptsize{\mid \; +16\;\;\mid+2x}\\[5pt] 2x^2-8x+8&=&0& \scriptsize{\mid \;:2 }\\[5pt] x^2-4x+4&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-4x+4&=&0 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 2\left(x-\dfrac{1}{2}\right)(x-2)&=&0&\scriptsize{\mid \; \text{Klammern auflösen}}\\[5pt] (2x-1)(x-2)&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{Klammern auflösen}}\\[5pt] 2x^2-5x+2&=&0& \scriptsize{\mid \;:2}\\[5pt] x^2-\dfrac{5}{2}x+1&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-\dfrac{5}{2}x+1&=&0& \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} (x+3)3(x-2)&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{Klammern auflösen}}\\[5pt] (3x+9)(x-2)&=&0& \scriptsize{\mid \;\text{Klammern auflösen}}\\[5pt] 3x^2+3x-18&=&0& \scriptsize{\mid \; :3}\\[5pt] x^2+x-6&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} x^2+x-6&=&0 \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} 2x^2-4x+2&=&0 \qquad {\scriptsize{\mid \;:2}}\\[5pt] x^2-2x+1&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x+1&=&0 \end{array}$
i)
$\begin{array}[t]{rll} -0,5x^2-2,5x-3&=&0 \qquad {\scriptsize{\mid\; \cdot(-2)}}\\[5pt] x^2+5x+6&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2+5x+6&=&0 \end{array}$
j)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+4)(x-1)+(x+2)^2&=&x(x-1)& \scriptsize{\mid \; \text{Klammern auflösen}}\\[5pt] (x^2+3x-4)+(x^2+4x+4)&=&x^2-x& \scriptsize{\mid \;\text{ Zusammenfassen}}\\[5pt] 2x^2+7x&=&x^2-x& \scriptsize{\mid \; -x^2\;\;\mid \;+x}\\[5pt] x^2+8x&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2+8x&=&0& \end{array}$
k)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-1)^2-(x-2)(x+1)&=&(x-2)^2+1& \scriptsize{\mid \; \text{Klammern auflösen}}\\[5pt] (x^2-2x+1)-(x^2-x-2)&=&x^2-4x+4+1& \scriptsize{\mid \;\text{Zusammenfassen}}\\[5pt] -x+3&=&x^2-4x+5& \scriptsize{\mid -x^2\;\;\mid+4x\;\;\mid\; -5}\\[5pt] -x^2+3x-2&=&0&\scriptsize{\mid \cdot(-1)}\\[5pt] x^2-3x+2&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-3x+2&=&0& \end{array}$
l)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x+1)(x-3)+(2x+1)^2&=&4x+1& \scriptsize{\mid \;\text{ Klammern auflösen}}\\[5pt] (x^2-2x-3)+(4x^2+4x+1)&=&4x+1& \scriptsize{\mid \; \text{Zusammenfassen}}\\[5pt] 5x^2+2x-2&=&4x+1& \scriptsize{\mid -4x\;\;\mid \;-1}\\[5pt] 5x^2-2x-3&=&0& \scriptsize{\mid \; :5}\\[5pt] x^2-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{3}{5}&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-\dfrac{2}{5}x-\dfrac{3}{5}&=&0& \end{array}$
m)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (5-x)(x-5)&=&4x+1& \scriptsize{\mid \;\text{Klammern auflösen}}\\[5pt] 5x-25-x^2+5x&=&4x+1& \scriptsize{\mid \;\text{Zusammenfassen}}\\[5pt] -x^2+10x-25&=&4x+1& \scriptsize{\mid -4x\;\;\mid-1}\\[5pt] -x^2+6x-26&=&0& \scriptsize{\mid \cdot(-1)}\\[5pt] x^2-6x+26&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-6x+26&=&0 \end{array}$
n)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (4x+1)(x-1)&=&2x-(x-1)^2& \scriptsize{\mid \; \text{Klammern auflösen (2. Binom. Formel)}}\\[5pt] 4x^2-4x+x-1&=&2x-(x^2-2x+1)& \scriptsize{\mid \;\text{Zusammenfassen}}\\[5pt] 4x^2-3x-1&=&-x^2+4x-1& \scriptsize{\mid \; +x^2\;\;\mid \; -4x\;\;\mid \;+1}\\[5pt] 5x^2-7x&=&0& \mid \; :5\\[5pt] x^2-\dfrac{7}{5}x&=&0& \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-\dfrac{7}{5}x&=&0& \end{array}$
o)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 2x^2-x(4-x)&=&x(x+2)& \scriptsize{\mid \; \text{Klammern auflösen}}\\[5pt] 2x^2-4x+x^2&=&x^2+2x& \scriptsize{\mid \; -x^2\;\;\mid\;-2x}\\[5pt] 2x^2-6x&=&0& \mid\; :2\\[5pt] x^2-3x&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-3x&=&0 \end{array}$
p)
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} (x-2)^2+(x-1)^2-12&=&x^2& \scriptsize{\mid \; 2. \; \text{Binom. Formel}}\\[5pt] x^2-4x+4+x^2-2x+1-12&=&x^2& \scriptsize{\mid \;\text{Zusammenfassen}}\\[5pt] 2x^2-6x-7&=&x^2& \scriptsize{\mid -x^2}\\[5pt] x^2-6x-7&=&0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-6x-7&=&0 \end{array}$
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