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Gemischtquadratische Gleichungen

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Lösungen PLUS
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Die allgemeine Form einer gemischt quadratischen Gleichung lautet:
$x^2+px+q=0$
Wie du die Gleichung lösen kannst ist von q abhängig.
  1. $q=0$:
    Die allgemeine Form lautet dann: $x^2+px=0$
    Um diese Gleichung lösen zu können, verwendest du den Satz vom Nullprodukt.
    $\begin{array}[t]{rll} x^2+px&=& 0 &\quad \scriptsize \text{x ausklammern}\\[5pt] x\cdot (x+p)&=&0 \end{array}$
    Das Produkt wird nun 0, wenn $x=0$ oder $x-p=0$
    Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\left\{0;-p\right\}$
  2. $q\neq0:$
    Die allgemeine Form lautet dann: $x^2+px+q=0$
    Diese Gleichung kannst du lösen, indem du die Gleichung quadratisch ergänzt.
    $\begin{array}[t]{rll} x^2+px+q&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-q \\[5pt] x^2+px&=-q& &\quad \scriptsize \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2&=&-q+\left(\frac{p}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \text{ausmultiplizieren, binomische Formel} \end{array}$
    $$x^2+px+q=0$$ $$…$$
    Die Lösungsmenge erhältst du, indem du die Gleichung mit der binomischen Formel löst.
    Alternativ kannst du auch die $\boldsymbol{PQ}$-Formel anwenden:
    $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$

Beispiel

  1. $\begin{array}[t]{rll} x^2+5x&=&0 &\quad \scriptsize \text{x ausklammern} \\[5pt] x\cdot(x+5)&=&0 & \\[5pt] x_1&=&0 & \\[5pt] x_2+5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] x_2&=&-5 \end{array}$
    $\mathbb{L}=\left\{0;-5\right\}$
    $$x^2+5x=0 $$ $$…$$
  2. $\begin{array}[t]{rll} x^2-8x+12&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-12 \\[5pt] x^2-8x&=&-12 &\quad \scriptsize \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] x^2-8x+\left(\frac{-8}{2}\right)^2&=& -12+\left(\frac{-8}{2}\right)^2 \\[5pt] x^2-8x+16&=&-12+16 &\quad \scriptsize \text{2. binomische Formel} \\[5pt] (x-4)^2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] x-4&=&\pm2 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] x_{1,2}&=&\pm2 +4 \\[5pt] x_{1}&=& 2 \\[5pt] x_{2}&=& 6 \end{array}$
    $\mathbb{L}=\left\{2;6\right\}$
    $$x^2-8x+12=0$$ $$…$$
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