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Gemischtquadratische Gleichungen

Spickzettel
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Die allgemeine Form einer gemischt quadratischen Gleichung lautet:
$x^2+px+q=0$
Wie du die Gleichung lösen kannst ist von q abhängig.
  1. $q=0$:
    Die allgemeine Form lautet dann: $x^2+px=0$
    Um diese Gleichung lösen zu können, verwendest du den Satz vom Nullprodukt.
    $\begin{array}[t]{rll} x^2+px&=& 0 &\quad \scriptsize \text{x ausklammern}\\[5pt] x\cdot (x+p)&=&0 \end{array}$
    Das Produkt wird nun 0, wenn $x=0$ oder $x-p=0$
    Die Lösungsmenge ist somit $\mathbb{L}=\left\{0;-p\right\}$
  2. $q\neq0:$
    Die allgemeine Form lautet dann: $x^2+px+q=0$
    Diese Gleichung kannst du lösen, indem du die Gleichung quadratisch ergänzt.
    $\begin{array}[t]{rll} x^2+px+q&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-q \\[5pt] x^2+px&=-q& &\quad \scriptsize \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] x^2+px+\left(\frac{p}{2}\right)^2&=&-q+\left(\frac{p}{2}\right)^2 &\quad \scriptsize \text{ausmultiplizieren, binomische Formel} \end{array}$
    $$x^2+px+q=0$$ $$…$$
    Die Lösungsmenge erhältst du, indem du die Gleichung mit der binomischen Formel löst.
    Alternativ kannst du auch die $\boldsymbol{PQ}$-Formel anwenden:
    $x_{1,2} = - \frac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\frac{p}{2}} \right)^2 - q}$

Beispiel

  1. $\begin{array}[t]{rll} x^2+5x&=&0 &\quad \scriptsize \text{x ausklammern} \\[5pt] x\cdot(x+5)&=&0 & \\[5pt] x_1&=&0 & \\[5pt] x_2+5&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-5 \\[5pt] x_2&=&-5 \end{array}$
    $\mathbb{L}=\left\{0;-5\right\}$
    $$x^2+5x=0 $$ $$…$$
  2. $\begin{array}[t]{rll} x^2-8x+12&=&0 &\quad \scriptsize \mid\;-12 \\[5pt] x^2-8x&=&-12 &\quad \scriptsize \text{quadratische Ergänzung} \\[5pt] x^2-8x+\left(\frac{-8}{2}\right)^2&=& -12+\left(\frac{-8}{2}\right)^2 \\[5pt] x^2-8x+16&=&-12+16 &\quad \scriptsize \text{2. binomische Formel} \\[5pt] (x-4)^2&=&4 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] x-4&=&\pm2 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] x_{1,2}&=&\pm2 +4 \\[5pt] x_{1}&=& 2 \\[5pt] x_{2}&=& 6 \end{array}$
    $\mathbb{L}=\left\{2;6\right\}$
    $$x^2-8x+12=0$$ $$…$$
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1.  Löse die gemischt quadratischen Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt.
a) $x^2+4x=0$
b) $x^2-17x=0$
c) $x^2-9x=0$
d) $x^2+25x=0$
2.  Löse die gemischt quadratischen Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.
a) $x^2-6x-27=0$
b) $x^2+4x-5=0$
c) $x^2-14x+45=0$
d) $x^2+2x-24=0$
3.  Löse die gemischt quadratischen Gleichungen.
a) $x^2+14x+48=0$
b) $(x-3)(x-5)=0$
c) $2x^2+8x+6=0$
d) $(2x-6)(3x+5)=0$
e) $x^2-19x=0$
f) $x^2+8x-9=0$
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1.  Löse die gemischt quadratischen Gleichungen mit dem Satz vom Nullprodukt.
a)  $\begin{array}[t]{rll} x^2+4x&=& 0\\[5pt] x(x+4)&=& 0\\[5pt] x_1&=& 0\\[5pt] x_2&=& -4 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{rll} x^2-17x&=& 0\\[5pt] x(x-17)&=& 0\\[5pt] x_1&=& 0\\[5pt] x_2&=& 17 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{rll} x^2-9x&=& 0\\[5pt] x(x-9)&=& 0\\[5pt] x_1&=& 0\\[5pt] x_2&=& 9 \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{rll} x^2+25x&=& 0\\[5pt] x(x+25)&=& 0\\[5pt] x_1&=& 0\\[5pt] x_2&=& -25 \end{array}$
2.  Löse die gemischt quadratischen Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.
a)  $\begin{array}[t]{rll} x^2-6x-27&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +27\\[5pt] x^2-6x&=& 27\\[5pt] x^2-6x+\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2&=& 27+\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2\\[5pt] x^2-6x+\left(-3\right)^2&=& 27+\left(-3\right)^2\\[5pt] x^2-6x+9&=& 27+9\\[5pt] (x-3)^2&=& 36&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x-3&=& \pm6&\quad \scriptsize \mid\; +3\\[5pt] x_{1,2}&=&\pm6+3\\[5pt] x_1&=& -3\\[5pt] x_2&=& 9 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{rll} x^2+4x-5&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +5\\[5pt] x^2+4x&=& 5\\[5pt] x^2+4x+\left(\dfrac{4}{2}\right)^2&=& 5+\left(\dfrac{4}{2}\right)^2\\[5pt] x^2+4x+2^2&=& 5+2^2\\[5pt] x^2+4x+4&=& 5+4\\[5pt] (x+2)^2&=& 9&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x+2&=& \pm3&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x_{1,2}&=&\pm3-2\\[5pt] x_1&=& -5\\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$
c) $\begin{array}[t]{rll} x^2-14x+45&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -45\\[5pt] x^2-14x&=& -45\\[5pt] x^2-14x+\left(\dfrac{-14}{2}\right)^2&=& -45+\left(\dfrac{-14}{2}\right)^2\\[5pt] x^2-14x+(-7)^2&=& -45+(-7)^2\\[5pt] x^2-14x+49&=& -45+49\\[5pt] (x-7)^2&=& 4&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x-7&=& \pm2&\quad \scriptsize \mid\; +7\\[5pt] x_{1,2}&=&\pm2+7\\[5pt] x_1&=& 5\\[5pt] x_2&=& 9 \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-24&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +24\\[5pt] x^2+2x&=& 24\\[5pt] x^2+2x+\left(\dfrac{2}{2}\right)^2&=& 24+\left(\dfrac{2}{2}\right)^2\\[5pt] x^2+2x+1^2&=& 24+1^2\\[5pt] x^2+2x+1&=& 24+1\\[5pt] (x+1)^2&=& 25&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] x+1&=& \pm5&\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] x_{1,2}&=&\pm5-1\\[5pt] x_1&=& -6\\[5pt] x_2&=& 4 \end{array}$
3.  Löse die gemischt quadratischen Gleichungen.
Hier kannst du auch die $PQ$-Formel anwenden, wenn dies sinnvoll ist.
a)  $\begin{array}[t]{rll} x^2+14x+48&=& 0 \\[5pt] x_{1,2}&=& - \dfrac{14}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{14}{2}} \right)^2 - 48}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 7 \pm \sqrt {7^2 - 48}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 7 \pm \sqrt {49 - 48}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 7 \pm \sqrt {1}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 7 \pm 1\\[5pt] x_1&=& -8\\[5pt] x_2&=& -6 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{rll} (x-3)(x-5)&=& 0 &\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt}\\[5pt] x_1&=& 3\\[5pt] x_2&=& 5 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{rll} 2x^2+8x+6&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x^2+4x+3&=& 0 \\[5pt] x_{1,2}&=& - \dfrac{4}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{4}{2}} \right)^2 - 3}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 2 \pm \sqrt {2^2 - 3}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 2 \pm \sqrt {4 - 3}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 2 \pm \sqrt {1}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 2 \pm 1\\[5pt] x_1&=& -3\\[5pt] x_2&=& -1 \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{rll} (2x-6)(3x+5)&=& 0 &\quad \scriptsize \text{Satz vom Nullprodukt}\\[5pt] 2x-6&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; +6\\[5pt] 2x&=& 6&\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] x_1&=& 3\\[5pt] 3x+5&=& 0&\quad \scriptsize \mid\; -5\\[5pt] 3x&=& -5&\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x_1&=& -\dfrac{5}{3}\\[5pt] \end{array}$
e) $\begin{array}[t]{rll} x^2-19x&=& 0\\[5pt] x(x-19)&=& 0\\[5pt] x_1&=& 0\\[5pt] x_2&=& 19 \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{rll} x^2+8x-9&=& 0\\[5pt] x_{1,2}&=& - \dfrac{8}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{8}{2}} \right)^2 - (-9)}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 4 \pm \sqrt {4^2 +9}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 4 \pm \sqrt {16 +9}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 4 \pm \sqrt {25}\\[5pt] x_{1,2}&=& - 4 \pm 5\\[5pt] x_1&=& -9\\[5pt] x_2&=& 1 \end{array}$
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