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Geometrische Betrachtungen

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Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Geometrische Betrachtungen
Abb. 1: Parabel und Geraden
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Geometrische Betrachtungen
Abb. 1: Parabel und Geraden
#schnittpunkt
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

a)
Gib die Möglichkeiten für die Anzahl der Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden an. Erstelle dazu passende Skizzen für die Funktionsgraphen.
b)
Bestimme den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Schnittpunkte einer Parabel und einer Gerade in Abhängigkeit der Diskrimante der Lösungsformel.
c)
Zwei Parabeln sind nach unten geöffnet. Welche Möglichkeiten gibt es für die Anzahl der Schnittpunkte der Parabeln?
#schnittpunkt#parabel

Aufgabe 1

Gib die Anzahl der Schnittpunkte der Parabel $p: y=x^2 -2x+1$ und der gegebenen Gerade durch Rechnung an.
a)
$g: y=\dfrac{1}{2}x-1$
b)
$g: y=\dfrac{1}{3}x+1$
c)
$g: y=-2x+1$
d)
$g: y=-4x+4$
#parabel#schnittpunkt

Aufgabe 2

a)
Der Flächeninhalt und der Umfang eines Quadrates sind gleich gleich groß. Berechne die Länge der Seite $a$ durch ein quadratisches Gleichungssystem.
b)
Die Oberfläche eines Quaders mit quadratischer Grundfläche beträgt $2 \text{ cm}^2$. Die Höhe des Quadars ist $1 \text{ cm}$ länger als die Grundseite der quadratischen Grundfläche. Berechne die Länge der Grundseite $a$.
#quader#flächeninhalt#umfang#quadrat

Aufgabe 3

Gegeben ist die Parabel $p: y=x^2+2x-2$ und die Gerade $g: y=x+t$.
a)
Bestimme den $y$-Achsenabschnitt $t$ der Gerade $g$, sodass die Gerade $g$ eine Tangente zur Parabel $p$ ist.
b)
Für welche Werte von $t$ ist die Gerade $g$ eine Parabelsekante und für welche Werte von $t$ ist die Gerade eine Parabelpassante?
c)
Es gelte $t=4$. Bestimme die gemeinsamen Schnittpunkte grafisch und rechnerisch.
#y-achsenschnittpunkt#tangente#parabel

Aufgabe 4

a)
Bestimme die Funktionsgleichung für die Tangente mit der Steigung $m=-2$ an der Parabel $p: y=x^2 +2$.
b)
Bestimme die Funktionsgleichung für die Tangente mit der Steigung $m=\dfrac{1}{2}$ an der Parabel $p: y=-x^2 +2x +6$.
c)
Bestimme die Funktionsgleichung für die Tangente durch den Punkt $A(1 \mid -3)$ an der Parabel $p: y=x^2 -x +1$.
d)
Bestimme die Funktionsgleichung für die Tangente durch den Punkt $B(-2 \mid 1)$ an der Parabel $p: y=-x^2 +4$.
#parabel#tangente#funktionsgleichung

Aufgabe 5

Du hast die Parabel $p$ mit der Funktionsgleichung $p: y= \dfrac{1}{3}\cdot (x-3)^2 -2$ gegeben.
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Geometrische Betrachtungen
Abb. 1: Parabel mit Tangenten
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Geometrische Betrachtungen
Abb. 1: Parabel mit Tangenten
a)
Bestimme die Funktionsgleichungen der Tangenten $T_1$ an dem Punkt $A(0 \mid 1)$ und $T_2$ an dem Punkt $B(6 \mid 1)$ an der Parabel $p$.
b)
Bestimme den Schnittpunkt der Tangenten $T_1$ und $T_2$ und anschießend den Flächeninhalt des abgebildeten Dreiecks $ABC$.
#schnittpunkt#funktionsgleichung#parabel#tangente
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte überprüfen
Du sollst übberprüfen welche Möglichkeiten es für die Anzahl der Schnittpunkte einer Parabel und einer Geraden gibt und jeweils eine passende Skizze der Funktionsgraphen zeichnen. Hierfür gibt es drei verschiedene Möglichkeiten.
Die zweite Möglichkeit ist, dass sich eine Parabel und eine Tangente nur in genau einem Punkt schneiden. Eine mögliche Skizze sieht folgendermaßen aus:
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Geometrische Betrachtungen
Abb. 2: Skizze der Funktionsgraphen
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Geometrische Betrachtungen
Abb. 2: Skizze der Funktionsgraphen
b)
$\blacktriangleright$  Zusammenhang bestimmen
Du sollst den Zusammenhang zwischen der Anzahl der Schnittpunkte und der Diskriminanten der Lösungsformel bestimmen. Betrachte dazu die Lösungsformel. Die Lösungsformel für eine gemischtquadratische Gleichung mit der allgemeinen Gleichung $ax^2+bx+c=0$ lautet:
$x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Hierbei gilt für die Diskriminante $D=b^2-4ac$. Falls $D> 0$ ist gibt es zwei verschiedene Lösungen. Somit würden die Parabel und die Gerade zwei gemeinsame Schnittpunkte besitzen.
Falls $D< 0$ ist gibt es keinen gemeinsamen Schnittpunkt zwischen der Parabel und der Gerade, da du keine Wurzel von einer negativen Zahl berechnen kannst.
Für $D=0$ gibt es genau einen gemeinsamen Schnittpunkt der Parabel und der Gerade.
c)
$\blacktriangleright$  Möglichkeiten angeben
Du sollst angeben, welche Möglichkeiten es für die Anzahl der Schnittpunkte zweier nach unten geöffneten Parabeln gibt. Hierbei gibt es die Möglichkeiten, dass sich die zwei Parabeln genau in einem Punkt schneiden. Beispielsweise ist dies der Fall bei zwei umgedrehten Normalparabeln, wobei die eine umgedrehte Normalparabel um eine Längeneinheit in positive $x$-Richtung verschoben ist.
Außerdem gibt es die Möglichkeit, dass die beiden Parabeln unendlich viele Schnittpunkte oder gemeinsame Punkte besitzen, falls sie genau aufeinander liegen.
Zudem gibt es die Möglichkeit, dass die Parabeln keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen. Beispielsweise ist dies der Fall bei zwei Normalparabeln, wobei die eine Normalparabel um eine Einheit in positive $y$-Richtung verschoben ist.
Die letzte Möglichkeit ist, dass sich die zwei Parabeln in zwei Punkten schneiden. Hierfür müssen die beiden Parabeln einen unterschiedlichen Streckungsfaktor $a$ besitzen.
#abc-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Anzahl der Schnittpunkte der Parabel $p:y=x^2-2x+1$ und der Geraden $g: y=\dfrac{1}{2}x-1$ bestimmen. Hierzu musst du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen und anschließend in die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ umformen.
Anhand der Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen kannst du die Anzahl der Schnittpunkte durch die Diskriminante bestimmen. Die Lösungsformel lautet:
$x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Für die Diskrimante gilt hierbei $D=b^2-4ac$. Die Gerade und die Parabel besitzen hierbei zwei Schnittpunkte falls $D>0$ gilt. Sie besitzen genau ein Schnittpunkt falls $D=0$ gilt und für $D<0$ besitzen sie keinen Schnittpunkt.
Somit genügt es die Funktionsgleichungen gleichzusetzen, umzuformen und die Diskriminante berechnen. Anhand der Diskriminante kannst du die Anzahl der Schnittpunkte bestimmen.
Für $p: y=x^2-2x+1$ und $g: y=\dfrac{1}{2}x-1$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -2x +1&=& \dfrac{1}{2}x-1 &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{2}x+1\\[5pt] x^2 - \dfrac{5}{2}x +2 &=& 0 \end{array}$
Somit gilt $a=1$, $b=-\dfrac{5}{2}$ und $c=2$. Somit folgt für die Diskrimante:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& b^2 -4ac\\[5pt] &=& \left(-\dfrac{5}{2}\right)^2 -4 \cdot 1 \cdot 2\\[5pt] &=& \dfrac{25}{4} - 8 \\[5pt] &=& 6,25 - 8 \\[5pt] &=& -1,75 \quad < 0 \end{array}$
Somit besitzen die Gerade $g$ und die Parabel $p$ keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Anzahl der Schnittpunkte der Parabel $p:y=x^2-2x+1$ und der Geraden $g: y=\dfrac{1}{3}x+1$ bestimmen. Hierzu musst du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen und anschließend in die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ umformen.
Anhand der Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen kannst du die Anzahl der Schnittpunkte durch die Diskriminante bestimmen. Für die Diskrimante gilt hierbei $D=b^2-4ac$. Die Gerade und die Parabel besitzen hierbei zwei Schnittpunkte falls $D>0$ gilt. Sie besitzen genau ein Schnittpunkt falls $D=0$ gilt und für $D<0$ besitzen sie keinen Schnittpunkt.
Somit genügt es die Funktionsgleichungen gleichzusetzen, umzuformen und die Diskriminante zu berechnen.
Für $p: y=x^2-2x+1$ und $g: y=\dfrac{1}{3}x+1$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -2x +1&=& \dfrac{1}{3}x+1 &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{3}x-1\\[5pt] x^2 - \dfrac{7}{3}x &=& 0 \end{array}$
Somit gilt $a=1$, $b=-\dfrac{7}{3}$ und $c=0$. Somit folgt für die Diskrimante:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& b^2 -4ac\\[5pt] &=& \left(-\dfrac{7}{3}\right)^2 -4 \cdot 1 \cdot 0\\[5pt] &=& \dfrac{49}{9} \quad > 0 \end{array}$
Somit besitzen die Gerade und die Parabel zwei Schnittpunkte.
c)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Anzahl der Schnittpunkte der Parabel $p:y=x^2-2x+1$ und der Geraden $g: y=-2x+1$ bestimmen. Hierzu musst du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen und anschließend in die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ umformen.
Anhand der Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen kannst du die Anzahl der Schnittpunkte durch die Diskriminante bestimmen. Für die Diskrimante gilt hierbei $D=b^2-4ac$. Die Gerade und die Parabel besitzen hierbei zwei Schnittpunkte falls $D>0$ gilt. Sie besitzen genau ein Schnittpunkt falls $D=0$ gilt und für $D<0$ besitzen sie keinen Schnittpunkt.
Somit genügt es die Funktionsgleichungen gleichzusetzen, umzuformen und die Diskriminante zu berechnen.
Für $p: y=x^2-2x+1$ und $g: y=-2x+1$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -2x +1&=& -2x+1 &\quad \scriptsize \mid\; +2x-1\\[5pt] x^2 &=& 0 \end{array}$
Somit gilt $a=1$, $b=0$ und $c=0$. Somit folgt für die Diskrimante:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& b^2 -4ac\\[5pt] &=& 0^2 -4 \cdot 1 \cdot 0\\[5pt] &=& 0 \end{array}$
Somit besitzen die Gerade und die Parabel genau einen Schnittpunkt.
d)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du die Anzahl der Schnittpunkte der Parabel $p:y=x^2-2x+1$ und der Geraden $g: y=-4x+4$ bestimmen. Hierzu musst du die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen und anschließend in die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ umformen.
Anhand der Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen kannst du die Anzahl der Schnittpunkte durch die Diskriminante bestimmen. Für die Diskrimante gilt hierbei $D=b^2-4ac$. Die Gerade und die Parabel besitzen hierbei zwei Schnittpunkte falls $D>0$ gilt. Sie besitzen genau ein Schnittpunkt falls $D=0$ gilt und für $D<0$ besitzen sie keinen Schnittpunkt.
Somit genügt es die Funktionsgleichungen gleichzusetzen, umzuformen und die Diskriminante zu berechnen.
Für $p: y=x^2-2x+1$ und $g: y=-4x+4$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -2x +1&=& -4x+4 &\quad \scriptsize \mid\; +4x-4\\[5pt] x^2 +2x -3&=& 0 \end{array}$
Somit gilt $a=1$, $b=2$ und $c=-3$. Somit folgt für die Diskrimante:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& b^2 -4ac\\[5pt] &=& 2^2 -4 \cdot 1 \cdot (-3)\\[5pt] &=& 4 + 12 \\[5pt] &=& 16 \quad > 0 \end{array}$
Somit besitzen die Gerade und die Parabel zwei Schnittpunkte.
#abc-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Länge bestimmen
Du sollst die Länge der Grundseite $a$ durch ein quadratisches Gleichungssystem bestimmen. Du hast hierfür gegeben, dass der Umfang und der Flächeninhalt des Quadrates gleich groß sind. Bezeichne dies beispielsweise mit der Variablen $y$.
Somit ergibt sich für den Umfang die Gleichung $y=4 \cdot a$. Entsprechend gilt für den Flächeninhalt die Gleichung $y= a^2$. Daraus ergibt sich das quadratische Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& 4 \cdot a \\ \text{II}\quad& y&=& a^2 \\ \end{array}$
Diese Gleichungen kannst du nun gleichsetzen und den entsprechenden Wert für $x$ bestimmen. Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} a^2&=& 4a &\quad \scriptsize \mid\; -4a \\[5pt] a^2 -4a&=& 0 \\[5pt] a \cdot (a-4)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Somit ergeben sich für die Gleichung die Lösungen $a_1=0$ und $a_2=4$. Da in dem Zusammenhang $a_1=0$ keinen Sinn ergibt folgt als Lösung der Aufgabenstellung $a=4 \text{ cm}$.
b)
$\blacktriangleright$  Länge bestimmen
Du sollst die Länge der Grundseite $a$ bestimmen. Du hast hierfür gegeben, dass die Oberfläche eines Quaders $2 \text{ cm}^2$ beträgt. Außerdem hast du gegeben, dass die Grundfläche des Quaders quadratisch ist und dass die Höhe des Quaders $1 \text{ cm}$ länger ist als die Grundseite des Quaders.
Die Grundseite wird hierbei mit $a$ bezeichnet. Bezeichne beispielsweise die Höhe des Quaders mit $h$. Somit gilt die Gleichung $h=1 \text{ cm} +a$, da gegeben ist, dass die Höhe des Quaders $1 \text{ cm}$ länger ist als die Grundseite.
Außerdem gilt für die Oberfläche eines Quaders mit quadratischer Grundfläche und der Höhe $h$ die Gleichung $O=2 \cdot a^2 + 4 a \cdot h$. Daraus ergibt sich das folgende quadratische Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& h&=& 1 \text{ cm} + a \\ \text{II}\quad& 2 \text{ cm}^2&=& 2 \cdot a^2 + 4 a \cdot h \\ \end{array}$
Die Gleichung $\text{I}$ kannst du in die Gleichung $\text{II}$ für $h$ einsetzen und nach $a$ auflösen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 2 \text{ cm}^2&=& 2 \cdot a^2 + 4 a \cdot h \\[5pt] 2 \text{ cm}^2&=& 2 \cdot a^2 + 4 a \cdot (1 \text{ cm} + a) \\[5pt] 2 \text{ cm}^2&=& 2 \cdot a^2 +4 \text{ cm} \cdot a + 4 \cdot a^2 \\[5pt] 2 \text{ cm}^2&=& 6 \cdot a^2 + 4 \text{ cm} \cdot a & \quad \scriptsize \mid \, -2 \text{ cm}^2 \\[5pt] 0&=& 6 \cdot a^2 + 4 \text{ cm} \cdot a - 2 \text{ cm}^2 \\[5pt] \end{array}$
Mit der Lösungsformel für gemischtquadratische Gleichungen gilt mit $a=6$, $b=4$ und $c=- 2$:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot 6 \cdot (-2) } }{2 \cdot 6} \\[5pt] &=& \dfrac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 6} \\[5pt] &=& \dfrac{-4 \pm 8}{12} \\[5pt] x_1&=& \dfrac{1}{3} \\[5pt] x_2&=& -1 \\[5pt] \end{array}$
Da die Länge einer Seite nicht negativ sein kann gilt für die Länge der Grundseite $a=\dfrac{1}{3} \text{ cm}$.
#quadratischegleichung#abc-formel

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Achsenabschnitt bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du den $y$-Achsenabschnitt $t$ der Gerade $g$ so bestimmen, dass die Gerade $g$ eine Tangente zur Parabel $p$ ist. Du hast hierfür die Funktionsgleichung der Parabel mit $p: y=x^2+2x-2$ und die Funktionsgleichung der Geraden mit $g: y=x+t$ gegeben.
Du weißt hierbei, dass die Gerade $g$ genau dann eine Tangente zur Parabel $p$ ist, falls die Gerade $g$ und die Parabel $p$ genau einen Schnittpunkt besitzen. Zur Überprüfung der Anzahl der Schnittpunkte einer Parabel und einer Gerade musst du die jeweiligen Funktionsgleichungen gleichsetzen und anschließend in die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ umformen.
Die Lösungsformel lautet:
$x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{1,2}= \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Eine Tangente und eine Gerade besitzen genau dann einen gemeinsamen Schnittpunkt, falls die Diskriminante in der Lösungsformel Null wird. Somit muss $b^2-4ac=0$ gelten. Setze somit die gegebenen Funktionsgleichungen gleich und forme die Gleichung wie folgt um:
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-2&=& x +t&\quad \scriptsize \mid\; -x-t\\[5pt] x^2+x-2-t&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $a=1$, $b=1$ und $c=-2-t$. Somit folgt mit der Voraussetzung, dass die Diskriminanten gleich Null sein muss:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& 0\\[5pt] b^2 - 4 a c&=& 0\\[5pt] 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2-t)&=& 0\\[5pt] 1 +8 +4t&=& 0\\[5pt] 9 +4t&=& 0 & \quad \scriptsize \mid \, -9\\[5pt] 4t&=& -9 & \quad \scriptsize \mid \, :4\\[5pt] t&=& - \dfrac{9}{4} \end{array}$
Somit ist die Gerade $g$ für $t= - \dfrac{9}{4}$ eine Tangente zur Parabel $p$.
b)
$\blacktriangleright$  Werte angeben
Du sollst angeben für welche Werte von $t$ die Gerade $g$ eine Parabelsekante ist und für welche Werte von $t$ die Gerade $g$ eine Parabelpassante ist.
Die Gerade $g$ ist eine Parabelsekante, falls sie zwei Schnittpunkte mit der Parabel $p$ besitzt. Dies ist dann der Fall, wenn die Diskrimante in der Lösungsformel größer Null ist.
Die Gerade $g$ ist eine Parabelpassante, falls sie keinen Schnittpunkte mit der Parabel $p$ besitzt. Dies ist dann der Fall, wenn die Diskrimante in der Lösungsformel kleiner Null ist.
Aus der vorherigen Teilaufgabe hast du die Parameter $a=1$, $b=1$ und $c=-2-t$ gegeben. Außerdem ist die Diskrimanten mit $D=b^2-4ac$ gegeben. Du kannst somit die Parameter in die Gleichung für die Diskrimante einsetzen und überprüfen für welche Werte von $t$ die Diskriminante kleiner Null sit und für welche Werte die Diskriminante größer Null ist. Es gilt:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& b^2 - 4 a c\\[5pt] &=& 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2-t)\\[5pt] &=& 1 +8 +4t\\[5pt] &=& 9+4t\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt mit der vorherigen Teilaufgabe, dass die Diskrimante für $t < -\dfrac{9}{4}$ kleiner als Null ist und für $t > -\dfrac{9}{4}$ größer als Null ist. Das bedeutet, dass die Gerade $g$ für $t < -\dfrac{9}{4}$ eine Parabelpassante ist und für $t > -\dfrac{9}{4}$ eine Parabelsekante ist.
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkt bestimmen
Du sollst die Schnittpunkte der Parabel $p$ und der Geraden $g$ mit $t=4$ bestimmen. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Parabel $p: y=x^2 +2x-2$ und für die Funktionsgleichung der Geraden $g: y=x+4$. Die Schnittpunkte kannst du rechnerisch oder grafisch bestimmen.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg A: Rechnerische Lösung
Zur rechnerischen Lösung kannst du die gegebenen Funktionsgleichungen gleichsetzen und in die allgemeine Form $ax^2+bx+c=0$ umformen. Die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte kannst du anschließend durch die Lösungsformel bestimmen. Hierbei gilt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-2&=& x +4&\quad \scriptsize \mid\; -x-4\\[5pt] x^2+x-6&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Mit $a=1$, $b= 1$ und $c=-6$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\[5pt] &=& \dfrac{-1 \pm \sqrt{1-4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1 } \\[5pt] &=& \dfrac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1 } \\[5pt] &=& \dfrac{-1 \pm 5}{2} \\[5pt] x_1&=& 2 \\[5pt] x_2&=& -3 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt für die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte $x_1=2$ und $x_2=-3$. Du kannst die $y$-Koordinaten berechnen, indem du die $x$-Koordinaten in eine der beiden gegebenen Funktionsgleichungen einsetzt. Mit der Funktionsgleichung für die Gerade $g$ folgt für die $y$-Koordinaten:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x +4\\[5pt] y_1&=& 2 +4\\[5pt] &=& 6\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2&=& -3 +4\\[5pt] &=& 1\\[5pt] \end{array}$
Somit gelten für die Schnittpunkte der Geraden $g$ und der Parabel $p$ die Koordinaten $S_1(2 \mid 6)$ und $S_2(-3 \mid 1)$.
$\blacktriangleright$ Lösungsweg B: Grafische Lösung
Zur grafischen Lösung musst du die Funktionsgraphen mit den gegebenen Funktionsgleichungen in ein geeignetes Koordinatensystem zeichnen und die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen. Hierzu kannst du eine Wertetabelle erstellen und die Punkte passend verbinden. Die Funktionsgraphen sehen folgendermaßen aus:
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Geometrische Betrachtungen
Abb. 4: Funktionsgraphen
Quadratische Gleichungen und Ungleichungen: Geometrische Betrachtungen
Abb. 4: Funktionsgraphen
Aus der Abbildung kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen. Es gilt hierbei $S_1(-3 \mid 1)$ und $S_2(2 \mid 6)$.
#abc-formel#quadratischegleichung

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung für die Tangente mit der Steigung $m=-2$ an der Parabel $p: y=x^2+2$ bestimmen. Die allgemeine Funktionsgleichung für die Tangente $T$ lautet $T: y=mx+b$. Hierbei hast du die Steigung der Tangenten mit $m=-2$ gegeben. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Tangenten $y=-2x+b$.
Da du weißt, dass die Gerade $T$ eine Tangente zu der Parabel $p$ sein muss weißt du, dass sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt mit der Parabel $p$ besitzt. Eine Tangente besitzt nur dann genau einen Schnittpunkt mit der Parabel, wenn des quadratische Gleichungssystem nur eine Lösung besitzt. Für das quadratische Gleichungssystem mit der Parabel $p: y=x^2+2$ und der Tangenten $T: y=-2x+b$ gilt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& x^2 + 2 \\ \text{II}\quad& y&=& -2x+b \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 + 2&=& -2x+b &\quad \scriptsize \mid\;+2x-b \\[5pt] x^2 +2x +2-b &=& 0 \end{array}$
Die Gleichung kannst du anschließend mit der Lösungsformel lösen. Die Lösungsformel besitzt nur dann eine Lösung falls die Diskriminante in der Lösungsformel Null wird. Für die Diskriminante in der Lösungsformel gilt $D=b^2 -4ac$ für die allgemeine quadratische Gleichung $0=ax^2+bx+c$. Somit folgt mit $a=1$, $b=2$ und $c=2-b$ und der Bedingung $D=0$ folgende Lösung:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& 0 \\[5pt] b^2 -4ac&=& 0 \\[5pt] 2^2 -4 \cdot 1 \cdot (2-b)&=& 0 \\[5pt] 4 -8 +4b&=& 0 \\[5pt] -4 +4b&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +4 \\[5pt] 4b&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] b&=& 1 \\[5pt] \end{array}$
Somit gibt es für $b=1$ genau einen gemeinsamen Schnittpunkt der Tangente und der Parabel. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Tangenten $T: y=-2x+1$.
b)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung für die Tangente mit der Steigung $m=\dfrac{1}{2}$ an der Parabel $p: y=-x^2+2x+6$ bestimmen. Die allgemeine Funktionsgleichung für die Tangente $T$ lautet $T: y=mx+b$. Hierbei hast du die Steigung der Tangenten mit $m=\dfrac{1}{2}$ gegeben. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Tangenten $y=\dfrac{1}{2}x+b$.
Da du weißt, dass die Gerade $T$ eine Tangente zu der Parabel $p$ sein muss weißt du, dass sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt mit der Parabel $p$ besitzt. Eine Tangente besitzt nur dann genau einen Schnittpunkt mit der Parabel, wenn des quadratische Gleichungssystem nur eine Lösung besitzt. Für das quadratische Gleichungssystem mit der Parabel $p: y=-x^2+2x+6$ und der Tangenten $T: y=\dfrac{1}{2}x+b$ gilt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& -x^2+2x+6\\ \text{II}\quad& y&=& \dfrac{1}{2}x+b \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} -x^2+2x+6&=& \dfrac{1}{2}x+b &\quad \scriptsize \mid\;+\dfrac{1}{2}x-b \\[5pt] -x^2 + \dfrac{5}{2}x +6-b &=& 0 \end{array}$
Die Gleichung kannst du anschließend mit der Lösungsformel lösen. Die Lösungsformel besitzt nur dann eine Lösung falls die Diskriminante in der Lösungsformel Null wird. Für die Diskriminante in der Lösungsformel gilt $D=b^2 -4ac$ für die allgemeine quadratische Gleichung $0=ax^2+bx+c$. Somit folgt mit $a=-1$, $b=\dfrac{5}{2}$ und $c=6-b$ und der Bedingung $D=0$ folgende Lösung:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& 0 \\[5pt] b^2 -4ac&=& 0 \\[5pt] \left( \dfrac{5}{2} \right)^2 -4 \cdot (-1) \cdot (6-b)&=& 0 \\[5pt] \dfrac{25}{4} +24 -4b&=& 0 \\[5pt] \dfrac{121}{4} -4b&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{121}{4}\\[5pt] -4b&=& -\dfrac{121}{4} &\quad \scriptsize \mid\; :(-4) \\[5pt] b&=& \dfrac{121}{16} \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt gibt es für $b= \dfrac{121}{16}$ genau einen gemeinsamen Schnittpunkt der Tangente und der Parabel. Damit gilt für die Funktionsgleichung der Tangenten $T: y=-2x+\dfrac{121}{16}$.
c)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung für die Tangente durch den Punkt $A(1 \mid -3)$ an der Parabel $p: y=x^2-x+1$ bestimmen. Die allgemeine Funktionsgleichung für die Tangente $T$ in der Punkt-Steigungsform lautet $T: y=m \cdot (x-x_1)+y_1$ mit dem Punkt $(x_1 \mid y_1)$. Hierbei hast du den Punkt $A(1 \mid -3)$ durch den die Tangente läuft gegeben. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Tangenten $y=m \cdot (x-1)-3$.
Da du weißt, dass die Gerade $T$ eine Tangente zu der Parabel $p$ sein muss weißt du, dass sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt mit der Parabel $p$ besitzt. Eine Tangente besitzt nur dann genau einen Schnittpunkt mit der Parabel, wenn des quadratische Gleichungssystem nur eine Lösung besitzt. Für das quadratische Gleichungssystem mit der Parabel $p: y=x^2-x+1$ und der Tangenten $T: y=m \cdot (x-1)-3$ gilt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& x^2-x+1\\ \text{II}\quad& y&=& m \cdot (x-1)-3 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-x+1&=& m \cdot (x-1)-3 & \\[5pt] x^2-x+1&=& m \cdot x - m-3 &\quad \scriptsize \mid\;-mx+m+3 \\[5pt] x^2-x-mx+m+4&=& 0\\[5pt] x^2+x \cdot (-1-m) +m+4&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung kannst du anschließend mit der Lösungsformel lösen. Die Lösungsformel besitzt nur dann eine Lösung falls die Diskriminante in der Lösungsformel Null wird. Für die Diskriminante in der Lösungsformel gilt $D=b^2 -4ac$ für die allgemeine quadratische Gleichung $0=ax^2+bx+c$. Somit folgt mit $a=1$, $b=-1-m$ und $c=m+4$ und der Bedingung $D=0$ folgende Lösung:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& 0 \\[5pt] b^2 -4ac&=& 0 \\[5pt] (-1-m)^2 -4 \cdot 1 \cdot (m+4)&=& 0 \\[5pt] 1 +2m +m^2 -4m -16&=& 0 \\[5pt] m^2 -2m -15&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gilt mit $a=1$, $b=-2$ und $c=-15$:
$\begin{array}[t]{rll} m_{1,2}&=& \dfrac{2 \pm \sqrt{(-2)^2-4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \pm \sqrt{4 +60}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{2 \pm 8}{2} \\[5pt] m_1&=& 5 \\[5pt] m_2&=& -3 \\[5pt] \end{array}$
Somit gibt es zwei mögliche Lösungen für die Tangentengleichung mit zwei verschiedenen Tangentensteigungen. Für $m_1=5$ gilt für die Tangentengleichung $T_1: y=5 \cdot (x-1)-3$ und für $m_2=-3$ gilt $T_2: y=-3 \cdot (x-1)-3$.
d)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichung bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichung für die Tangente durch den Punkt $B(-2 \mid 1)$ an der Parabel $p: y=-x^2 +4$ bestimmen. Die allgemeine Funktionsgleichung für die Tangente $T$ in der Punkt-Steigungsform lautet $T: y=m \cdot (x-x_1)+y_1$ mit dem Punkt $(x_1 \mid y_1)$. Hierbei hast du den Punkt $B(-2 \mid 1)$ durch den die Tangente verläuft gegeben. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Tangenten $y=m \cdot (x+2)-1$.
Da du weißt, dass die Gerade $T$ eine Tangente zu der Parabel $p$ sein muss weißt du, dass sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt mit der Parabel $p$ besitzt. Eine Tangente besitzt nur dann genau einen Schnittpunkt mit der Parabel, wenn des quadratische Gleichungssystem nur eine Lösung besitzt. Für das quadratische Gleichungssystem mit der Parabel $p: y=-x^2+4$ und der Tangenten $T: y=m \cdot (x+2)-1$ gilt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& -x^2+4\\ \text{II}\quad& y&=& m \cdot (x+2)-1 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} -x^2+4&=& m \cdot (x+2)-1 & \\[5pt] -x^2+4&=& mx+2m-1 &\quad \scriptsize \mid\;-mx-2m+1 \\[5pt] -x^2-mx -2m +4+1&=& 0 \\[5pt] -x^2-mx -2m +5&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung kannst du anschließend mit der Lösungsformel lösen. Die Lösungsformel besitzt nur dann eine Lösung falls die Diskriminante in der Lösungsformel Null wird. Für die Diskriminante in der Lösungsformel gilt $D=b^2 -4ac$ für die allgemeine quadratische Gleichung $0=ax^2+bx+c$. Somit folgt mit $a=-1$, $b=-m$ und $c=-2m+5$ und der Bedingung $D=0$ folgende Lösung:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& 0 \\[5pt] b^2 -4ac&=& 0 \\[5pt] (-m)^2 -4 \cdot 1 \cdot (-2m+5)&=& 0 \\[5pt] m^2 +8m-20&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gilt mit $a=1$, $b=8$ und $c=-20$:
$\begin{array}[t]{rll} m_{1,2}&=& \dfrac{-8 \pm \sqrt{(8)^2-4 \cdot 1 \cdot (-20)}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{-8 \pm \sqrt{64+80}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{-8 \pm \sqrt{144}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{-8 \pm 12}{2} \\[5pt] m_1&=& 2 \\[5pt] m_2&=& -10 \\[5pt] \end{array}$
Somit gibt es zwei mögliche Lösungen für die Tangentengleichung mit zwei verschiedenen Tangentensteigungen. Für $m_1=2$ gilt für die Tangentengleichung $T_1: y=2 \cdot (x+2)-1$ und für $m_2=-10$ gilt $T_2: y=-10 \cdot (x+2)-1$.
#quadratischegleichung#abc-formel

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichungen der Tangenten $T_1$ und $T_2$ bestimmen. Du weißt hierbei, dass die Tangente $T_1$ durch den Punkt $A(0 \mid 1)$ und die Tangente $T_2$ durch den Punkt $B(6 \mid 1)$ verläuft. $T_1$ und $T_2$ sind hierbei Tangenten zur Parabel $p: y= \dfrac{1}{3} \cdot (x-3)^2-2$.
Die allgemeine Funktionsgleichung für eine Tangente $T$ in der Punkt-Steigungsform lautet $T: y=m \cdot (x-x_1)+y_1$ mit dem Punkt $(x_1 \mid y_1)$.
Für die Tangente $T_1$ hast du den Punkt $A(0 \mid 1)$ durch den die Tangente verläuft gegeben. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Tangente $T_1: y=m \cdot x+1$.
Da du weißt, dass die Gerade $T$ eine Tangente zu der Parabel $p$ sein muss weißt du, dass sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt mit der Parabel $p$ besitzt. Eine Tangente besitzt nur dann genau einen Schnittpunkt mit der Parabel, wenn des quadratische Gleichungssystem nur eine Lösung besitzt. Für das quadratische Gleichungssystem mit der Parabel $p: y= \dfrac{1}{3} \cdot (x-3)^2-2$ und der Tangente $T_1: y=mx +1$ gilt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& \dfrac{1}{3} \cdot (x-3)^2-2\\ \text{II}\quad& y&=& mx +1 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{3} \cdot (x-3)^2-2&=& mx+1 & \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot (x^2-6x +9)-2&=& mx+1 & \\[5pt] \dfrac{1}{3}x^2-2x +3-2&=& mx+1 & \quad \scriptsize \mid \, -mx-1 \\[5pt] \dfrac{1}{3}x^2-2x-mx &=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{3}x^2+x \cdot (-2-m) &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung kannst du anschließend mit der Lösungsformel lösen. Die Lösungsformel besitzt nur dann eine Lösung falls die Diskriminante in der Lösungsformel Null wird. Für die Diskriminante in der Lösungsformel gilt $D=b^2 -4ac$ für die allgemeine quadratische Gleichung $0=ax^2+bx+c$. Somit folgt mit $a=\dfrac{1}{3}$, $b=-2-m$ und $c=0$ und der Bedingung $D=0$ folgende Lösung:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& 0 \\[5pt] b^2 -4ac&=& 0 \\[5pt] (-2-m)^2 -4 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot 0&=& 0 \\[5pt] m^2 +4m +4 &=& 0 \\[5pt] m^2 +4m + 4&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gilt mit $a=1$, $b=4$ und $c=4$:
$\begin{array}[t]{rll} m_{1,2}&=& \dfrac{-4 \pm \sqrt{4^2-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{-4 \pm \sqrt{16-16}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{-4}{2} \\[5pt] m_1&=& -2 \\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt die Tangente $T_1$ die Steigung $m_1=-2$ und die Tangentengleichung $T_1: y= -2x+1$. Für die Tangente $T_2$ hast du den Punkt $B(6 \mid 1)$ durch den die Tangente verläuft gegeben. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Tangente $T_2$ $y=m \cdot (x+2)+1$.
Da du weißt, dass die Gerade $T$ eine Tangente zu der Parabel $p$ sein muss weißt du, dass sie nur einen gemeinsamen Schnittpunkt mit der Parabel $p$ besitzt. Eine Tangente besitzt nur dann genau einen Schnittpunkt mit der Parabel, wenn des quadratische Gleichungssystem nur eine Lösung besitzt. Für das quadratische Gleichungssystem mit der Parabel $p: y= \dfrac{1}{3} \cdot (x-3)^2-2$ und der Tangente $T_2: y=m \cdot (x-6)+1$ gilt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& \dfrac{1}{3} \cdot (x-3)^2-2\\ \text{II}\quad& y&=& m \cdot (x-6)+1 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{3} \cdot (x-3)^2-2&=& m \cdot (x-6)+1 & \\[5pt] \dfrac{1}{3} \cdot (x^2-6x +9)-2&=& mx-6m +1 & \\[5pt] \dfrac{1}{3}x^2-2x +3-2&=& mx+2m +1 & \quad \scriptsize \mid \, -mx+6m-1 \\[5pt] \dfrac{1}{3}x^2-2x-mx+6m &=& 0 \\[5pt] \dfrac{1}{3}x^2+x \cdot(-2-m) +6m &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung kannst du anschließend mit der Lösungsformel lösen. Die Lösungsformel besitzt nur dann eine Lösung falls die Diskriminante in der Lösungsformel Null wird. Für die Diskriminante in der Lösungsformel gilt $D=b^2 -4ac$ für die allgemeine quadratische Gleichung $0=ax^2+bx+c$. Somit folgt mit $a=\dfrac{1}{3}$, $b=-2-m$ und $c=6m$ und der Bedingung $D=0$ folgende Lösung:
$\begin{array}[t]{rll} D&=& 0 \\[5pt] b^2 -4ac&=& 0 \\[5pt] (-2-m)^2 -4 \cdot \dfrac{1}{3} \cdot (6m)&=& 0 \\[5pt] m^2 +4m +4 -8\cdot m&=& 0 \\[5pt] m^2 -4m +4&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gilt mit $a=1$, $b=-4$ und $c=4$:
$\begin{array}[t]{rll} m_{1,2}&=& \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2-4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{4 \pm \sqrt{16-16}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{4}{2} \\[5pt] m_1&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
Somit besitzt die Tangente $T_2$ die Steigung $m_1=2$ und die Tangentengleichung $T_2: y= 2 \cdot (x-6)+1$.
#quadratischegleichung#abc-formel
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