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Bruchgleichungen

Spickzettel
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Bruchgleichung:
Gleichung mit mindestens einem Bruchterm.
Definitionsmenge $\boldsymbol{\mathbb{D}}$:
Zahlen für $x$, für die der Nenner nicht Null ergibt.
Hauptnenner:
Kleinstes gemeinsames Vielfaches der einzelnen Nenner.
Lösungsmenge $\boldsymbol{\mathbb{L}}$:
Werte für $x$, für die die Bruchgleichung wahr ist und nicht im Definitionsbereich ausgeschlossen wurden.

Beispiel

$\begin{array}{rllll} \dfrac{2x^2-16}{-2x-4}&=&\dfrac{2x}{x+2}& \scriptsize \mid \text{mit HN multiplizieren}\\[5pt] 2x^2-16&=&(-2)\cdot 2x& \scriptsize \mid \; :2 \; \mid +2x\\[5pt] x^2+2x-8&=&0& \scriptsize \mid \text{mit pq-Formel oder mit abc-Formel lösen}\\[5pt] x_1&=&2\\[5pt] x_2&=&-4\\[5pt] \end{array}$
Lösungsmenge: $\mathbb{L}=\left\{-4;2\right\}$

Berechnung des Hauptnenners

$\begin{array}{lllll} \text{N1:}&-2x-4&=&-2&(x+2)\\[5pt] \text{N2:}&&&&(x+2)\\[5pt] \hline \text{HN:}&&&-2&(x+2)\\[5pt] \end{array}$

Definitionsmenge

$\begin{array}{rllll} \text{N1:}&-2x-4&=&0& \scriptsize \mid \; +4 \\[5pt] &-2x&=&4& \scriptsize \mid \; :(-2) \\[5pt] &x&=&-2& \\[10pt] \text{N2:}&x+2&=&0& \scriptsize \mid \; -2 \\[5pt] &x&=&-2& \\[5pt] &x&=&-2& \\[5pt] \end{array}$
Definitionsmenge: $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}$
$ \dfrac{2x^2-16}{-2x-4}=\dfrac{2x}{x+2} $
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Aufgaben
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1.  Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge.
a)   $\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{4}{(x+1)(x-1)}$
b)   $\dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{(x+2)(x-2)}$
c)   $\dfrac{x+1}{2x-2}-\dfrac{x+1}{x+2}=\dfrac{2x-2}{(2x-2)(x+2)}$
d)   $\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{x-4}{x+2}=1$
e)   $\dfrac{4x}{x+1}+\dfrac{4x}{x+4}=4$
f)   $\dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-2}{x+1}=\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)(x-1)}$
g)   $\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{5x+5}{2x+2}=\dfrac{1}{x}$
h)   $\dfrac{2x-3}{x-2}=\dfrac{5x-1}{3x+1}$
i)   $\dfrac{x+3}{x}-\dfrac{x-3}{2x}=\dfrac{x-1}{4}$
j)   $2x+\dfrac{8-x}{2x+2}=4$
2.  Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge.
a)   $\dfrac{2}{3x}+\dfrac{1}{2x}=\dfrac{1}{6x}-3$
b)   $\dfrac{3}{8x}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2x}=\dfrac{7}{8x}-\dfrac{1}{4}$
c)   $\dfrac{5}{x+2}=\dfrac{2}{x+1}$
d)   $\dfrac{x+4}{x+1}=\dfrac{x+1}{x-2}$
e)   $\dfrac{3x+14}{2x-4}=\dfrac{3x+2}{2x-7}$
f)   $\dfrac{3x-5}{x-1}-\dfrac{2x-5}{x-2}=1$
g)   $\dfrac{x+10}{x+2}=5-\dfrac{x-6}{x+2}$
h)   $\dfrac{2}{3x-4}-\dfrac{1}{20}=\dfrac{5}{6x-8}$
i)   $\dfrac{2x+3}{3x-6}-\dfrac{x+1}{2x-4}=\dfrac{3x-5}{4x-8}$
j)   $\dfrac{2x+11}{9x+27}-\dfrac{3x+4}{3x+9}=\dfrac{x+5}{6x+18}$
k)   $\dfrac{x-3}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x^2-1}=\dfrac{x+2}{x+1}$
l)   $\dfrac{1}{2x-3}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{x^2-2x+3}{4x^2-12x+9}$
m)   $\dfrac{1}{x^2-4x}=\dfrac{2}{x^2-16}-\dfrac{1}{x^2+4x}$
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Lösungen
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1.  Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge.
a)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+1&=&0&\scriptsize \mid\; -1\\ x&=&-1& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x-1&=&0&\scriptsize \mid\; +1\\ x&=&1& \end{array}$
Der dritte Nenner setzt sich aus dem ersten und zweiten Nenner zusammen, so dass kein neuer Wert ermittelt werden kann, der aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden muss.
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{1;-1\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x+1$
Nenner 2: $x-1$
Nenner 3: $(x+1)\cdot(x-1)$
Hauptnenner: $(x+1)\cdot(x-1)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{2}{x-1}&=&\dfrac{4}{(x+1)(x-1)}&\scriptsize \mid\; \cdot(x+1)(x-1) \ (=\text{Hauptnenner})\\ \dfrac{1\cdot \color{#87c800}{(x+1)}\cdot(x-1)}{\color{#87c800}{(x+1)}}-\dfrac{2\cdot (x+1)\color{#87c800}{(x-1)}}{\color{#87c800}{(x-1)}}&=&\dfrac{4\cdot \color{#87c800}{(x+1)}\color{#87c800}{(x-1)}}{\color{#87c800}{(x+1)}\color{#87c800}{(x-1)}}&\\ (x-1)-2\cdot (x+1)&=&4&\\ x-1-2x-2&=&4&\\ -x-3&=&4&\scriptsize \mid\; +3\\ -x&=&7&\scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\ x&=&-7& \end{array}$
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{-7\right\}$.
$ x=-7 $
b)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+2&=&0&\scriptsize \mid\; -2\\ x&=&-2& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x-2&=&0&\scriptsize \mid\; +2\\ x&=&2& \end{array}$
Der dritte Nenner setzt sich aus dem ersten und zweiten Nenner zusammen, so dass kein neuer Wert ermittelt werden kann, der aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden muss.
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{2;-2\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x+2$
Nenner 2: $x-2$
Nenner 3: $(x+2)\cdot(x-2)$
Hauptnenner: $(x+2)\cdot(x-2)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{4}{x+2}+\dfrac{1}{x-2}&=&\dfrac{1}{(x+2)(x-2)}&\scriptsize \mid\; \cdot (x+2)(x-2)\ (=\text{Hauptnenner})\\ \dfrac{4\cdot (x-2)\color{#87c800}{(x+2)}}{\color{#87c800}{(x+2)}}+\dfrac{1\cdot (x+2)\color{#87c800}{(x-2)}}{\color{#87c800}{(x-2)}} &=& \dfrac{1\color{#87c800}{(x+2)}\color{#87c800}{(x-2)}}{\color{#87c800}{(x+2)}\color{#87c800}{(x-2)}} &\\ 4\cdot (x-2)+(x+2)&=& 1 & \\ 4x-8 + x+ 2&=&1&\\ 5x-6&=&1&\scriptsize \mid\; +6\\ 5x &=& 7 &\scriptsize \mid\;:5 \\ x &=& \dfrac{7}{5}& \end{array}$
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{\frac{7}{5}\right\}$.
$ x = \dfrac{7}{5} $
c)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x-2&=&0&\scriptsize \mid\; +2\\ 2x&=&2&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&1& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+2&=&0&\scriptsize \mid\; -2\\ x&=&-2& \end{array}$
Der dritte Nenner setzt sich aus dem ersten und zweiten Nenner zusammen, so dass kein neuer Wert ermittelt werden kann, der aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden muss.
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{1;-2\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $2x-2$
Nenner 2: $x+2$
Nenner 3: $(2x-2)\cdot(x+2)$
Hauptnenner: $(2x-2)\cdot(x+2)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x+1}{2x-2}-\dfrac{x+1}{x+2}&=&\dfrac{2x-2}{(2x-2)(x+2)}&\scriptsize \mid\; \cdot (2x-2)(x+2)\\ \dfrac{(x+1)(x+2)\color{#87c800}{(2x-2)}}{\color{#87c800}{(2x-2)}}-\dfrac{(x+1)(2x-2)\color{#87c800}{(x+2)}}{\color{#87c800}{(x+2)}} &=& \dfrac{(2x-2)\color{#87c800}{(2x-2)}\color{#87c800}{(x+2)}}{\color{#87c800}{(2x-2)}\color{#87c800}{(x+2)}}&\\ (x+1)(x+2)-(x+1)(2x-2) &=& 2x-2&\\ x^2+2x+x+2-(2x^2-2x+2x-2)&=&2x-2&\\ x^2+3x+2-2x^2+2&=&2x-2&\\ -x^2+3x+4&=&2x-2&\scriptsize \mid\;-2x+2\\ -x^2+x+6&=& 0 &\scriptsize \mid\; \cdot (-1)\\ x^2-x-6&=& 0 &\scriptsize \text{pq-Formel} \end{array}$
$ x^2-x-6=0 $
Die pq-Formel lautet:
$x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}.$
$x_{1,2} = -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}.$
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}&=&\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+6}&\\\ &=&0,5\pm\sqrt{\dfrac{25}{4}}&\\ &=&0,5\pm \dfrac{5}{2}&\\ x_1 &=& 0,5+2,5=3&\\ x_2 &=& 0,5-2,5=-2 & \end{array}$
Da $x_2=-2$ nicht in der Definitionsmenge enthalten ist, stellt dieses Ergebnis keine Lösung dar. Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{3\right\}$.
d)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x-2&=&0&\scriptsize \mid\; +2\\ x&=&2& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+2&=&0&\scriptsize \mid\; -2\\ x&=&-2& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{2;-2\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x-2$
Nenner 2: $x+2$
Hauptnenner: $(x-2)\cdot(x+2)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{x-4}{x+2}&=&1&\scriptsize \mid\; \cdot(x-2)(x+2)\ (= \text{Hauptnenner})\\ \dfrac{(x+2)(x+2)\color{#87c800}{(x-2)}}{\color{#87c800}{(x-2)}}-\dfrac{(x-4)(x-2)\color{#87c800}{(x+2)}}{\color{#87c800}{x+2}} &=& 1\cdot(x-2)(x+2)&\\ (x+2)(x+2)-(x-4)(x-2)&=&x^2-4&\\ x^2+2x+2x+4-(x^2-2x-4x+8)&=&x^2-4&\\ x^2+4x+4-x^2+6x-8 &=& x^2-4 &\\ 10x-4 &=& x^2-4 & \scriptsize \mid\; -10x+4 \\ 0&=&x^2-10x & \scriptsize x \text{ ausklammern}\\ 0 &=& x\cdot (x-10) & \scriptsize x_1=0\\ 0 &=& x-10 & \scriptsize \mid\; +10\\ x_2 &=& 10 & \end{array}$
$ x_2= 10 $
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{0;10\right\}$.
e)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+1&=&0&\scriptsize \mid\; -1\\ x&=&-1& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+4&=&0&\scriptsize \mid\; -4\\ x&=&-4& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-1;-4\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x+1$
Nenner 2: $x+4$
Hauptnenner: $(x+1)\cdot(x+4)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{4x}{x+1}+\dfrac{4x}{x+4}&=&4&\scriptsize \mid\; \cdot (x+1)(x+4)\ (=\text{Hauptnenner})\\ \dfrac{4x(x+4)\color{#87c800}{(x+1)}}{\color{#87c800}{(x+1)}}-\dfrac{4x(x+1)\color{#87c800}{(x+1)}}{\color{#87c800}{x+2}} &=& 4(x+1)(x+4)&\\ 4x(x+4)+4x(x+1)&=&4(x+1)(x+4)&\\ 4x^2+16x+4x^2+4x & =&4(x^2+4x+x+4)&\\ 8x^2+20x &=& 4x^2+20x+16 & \scriptsize \mid\; -(4x^2+20x)\\ 4x^2 & =&16 & \scriptsize \mid \; :4\\ x^2 &=& 4&\scriptsize \mid \; \sqrt{\ldots}\\ x_{1,2}& \pm& 2& \end{array}$
$ x_{1,2} \pm 2 $
Du erhältst für die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{2;-2\right\}$.
f)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x-1&=&0&\scriptsize \mid\; +1\\ x&=&1& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+1&=&0&\scriptsize \mid\; -1\\ x&=&-1& \end{array}$
Der dritte Nenner setzt sich aus dem ersten und zweiten Nenner zusammen, so dass kein neuer Wert ermittelt werden kann, der aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden muss.
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{1;-1\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf}}.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x-1$
Nenner 2: $x+1$
Nenner 3: $(x+1)\cdot(x-1)$
Hauptnenner: $(x+1)\cdot(x-1)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\scriptsize{\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x+1}{x-1}-\dfrac{x-2}{x+1}&=&\dfrac{x^2+2x-1}{(x+1)(x-1)}&\scriptsize \mid\;\cdot (x+1)(x-1) \\ \dfrac{(x+1)\cdot \color{#87c800}{(x+1)}\cdot(x-1)}{\color{#87c800}{(x+1)}}-\dfrac{(x-2)\cdot (x+1)\color{#87c800}{(x-1)}}{\color{#87c800}{(x-1)}}&=&\dfrac{(x^2+2x-1)\cdot \color{#87c800}{(x+1)}\color{#87c800}{(x-1)}}{\color{#87c800}{(x+1)}\color{#87c800}{(x-1)}}&\\ (x+1)(x+1)-(x-2)(x-1) &=& x^2+2x-1 & \\ x^2+2x+1-(x^2-3x+2)&=&x^2+2x-1&\\ x^2+2x+1-x^2+3x-2&=&x^2+2x-1&\\ 5x-1&=&x^2+2x-1&\scriptsize \mid \; -(5x-1)\\ 0&=&x^2-3x&\scriptsize x \text{ ausklammern}\\ 0&=&x\cdot (x-3)&\scriptsize x_1=0\\ 0 &=& x-3 & \scriptsize \mid \; +3\\ x_2 &=& 3& \end{array}}$.
$ x_2 = 3 $
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{0;3\right\}$.
g)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+1&=&0&\scriptsize \mid\; -1\\ x&=&-1& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x+ 2&=&0&\scriptsize \mid\; -2\\ 2x&=&-2&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&-1& \end{array}$
Nenner 3:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x&0 \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{0;-1\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x+1$
Nenner 2: $2x+2 = 2\cdot (x+1)$
Nenner 3: $x$
Hauptnenner: $2x\cdot(x+1)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x}{x+1}-\dfrac{5x+5}{2x+2}&=&\dfrac{1}{x}&\scriptsize \mid\; \cdot 2x\cdot(x+1)\\ \dfrac{x\cdot 2x \cdot \color{#87c800}{(x+1)}}{\color{#87c800}{(x+1)}}-\dfrac{(5x+5)\cdot x\cdot \color{#87c800}{(2x+2)}}{\color{#87c800}{(2x+2)}}&=&\dfrac{1\cdot (2x+2)\cdot\color{#87c800}{x}}{\color{#87c800}{x}}&\\ x\cdot 2x-(5x+5)\cdot x &=& 1 \cdot (2x+2)&\\ 2x^2-(5x^2+5x)&=&2x+2&\\ 2x^2-5x^2-5x&=&2x+2&\scriptsize \mid\; -(2x+2)\\ -3x^2-7x-2 &=& 0 &\scriptsize \mid\; :(-3)\\ x^2+\dfrac{7}{3}x+\dfrac{2}{3} &=& 0 &\scriptsize \text{pq-Formel} \end{array}$
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}&=&-\dfrac{\frac{7}{3}}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{\frac{7}{3}}{2}\right)^2 - \dfrac{2}{3}} &\\\ &=&-\dfrac{7}{6}\pm \sqrt{\left(\dfrac{7}{6}\right)^2 - \dfrac{2}{3}}&\\ &=&-\dfrac{7}{6}\pm \sqrt{\dfrac{49}{36} - \dfrac{2}{3}}&\\ &=&-\dfrac{7}{6}\pm \sqrt{\dfrac{49}{36} - \dfrac{24}{36}}&\\ &=&-\dfrac{7}{6}\pm \sqrt{\dfrac{25}{36}}&\\ &=&-\dfrac{7}{6}\pm \dfrac{5}{6}&\\ x_1 &=& -\dfrac{7}{6}+ \dfrac{5}{6}=-\dfrac{2}{6}=-\dfrac{1}{3}&\\ x_2 &=&-\dfrac{7}{6}- \dfrac{5}{6}=-\dfrac{12}{6}=-2& \end{array}$.
$ x_1 =-\dfrac{1}{3}, x_2 =-2 $
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{-\frac{1}{3};-2\right\}$.
h)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x-2&=&0&\scriptsize \mid\; +2\\ x&=&2& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 3x+1&=&0&\scriptsize \mid\; -1\\ 3x&=&-1&\scriptsize \mid\; :3\\ x&=&-\dfrac{1}{3}& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{2;-\dfrac{1}{3}\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x-2$
Nenner 2: $3x+1$
Hauptnenner: $(x-2)\cdot(3x+1)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2x-3}{x-2}&=&\dfrac{5x-1}{3x+1}&\scriptsize \mid\; \cdot (x-2)(3x+1)\\\ \dfrac{(2x-3)(3x+1)\color{#87c800}{(x-2)}}{\color{#87c800}{(x-2)}}&=&\dfrac{(5x-1)(x-2)\color{#87c800}{(3x+1)}}{\color{#87c800}{(3x+1)}}&\\ (2x-3)(3x+1)&=&(5x-1)(x-2)&\\ 6x^2+2x-9x-3&=&5x^2-10x-x+2&\\ 6x^2-7x-3&=&5x^2-11x+2&\scriptsize \mid\; -(5x^2-11x+2)\\ x^2+4x-5&=&0&\scriptsize \text{pq-Formel} \end{array}$
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}&=&-\frac{4}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{4}{2}\right)^2 - (-5)}&\\ &=&-2 \pm \sqrt{\left(2\right)^2 +5}&\\ &=&-2 \pm \sqrt{4 +5}&\\ &=&-2 \pm \sqrt{9}&\\ &=&-2 \pm 3&\\ x_1&=&-2+3 = 1&\\ x_2&=&-2-3 =-5& \end{array}$.
$ x_1=1, x_2=-5 $
Du erhältst für die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{1;-5\right\}$.
i)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x&=&0& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x&=&0&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&0& \end{array}$
Der dritte Nenner $=4$, also immer ungleich Null, so dass kein neuer Wert ermittelt werden kann, der aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden muss.
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x$
Nenner 2: $2x$
Nenner 3: $4$
Hauptnenner: $4x$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x+3}{x}-\dfrac{x-3}{2x}&=&\dfrac{x-1}{4}&\scriptsize \mid\; \cdot 4x\\ \dfrac{(x+3)\cdot 4\cdot\color{#87c800}{x}}{\color{#87c800}{x}}-\dfrac{(x-3)\cdot 2\cdot\color{#87c800}{2x}}{\color{#87c800}{2x}}&=&\dfrac{(x-1)\cdot x\cdot \color{#87c800}{4}}{\color{#87c800}{4}}&\\ (x+3)\cdot 4-(x-3)\cdot 2&=&(x-1)\cdot x&\\ 4x+12-2x+6&=&x^2-x&\\ 2x+18&=&x^2-x&\scriptsize \mid\; -(2x+18)\\ 0&=&x^2-3x-18&\scriptsize \text{pq-Formel} \end{array}$
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x_{1,2}&=&-\dfrac{-3}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{-3}{2}\right)^2 - (-18)}&\\\ &=&\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{9}{4} +18}&\\\ &=&\dfrac{3}{2} \pm \sqrt{\dfrac{81}{4}}&\\\ &=&\dfrac{3}{2} \pm \dfrac{9}{2}&\\\ x_1&=&\dfrac{3}{2} + \dfrac{9}{2}=\dfrac{12}{2} = 6&\\\ x_2&=&\dfrac{3}{2} - \dfrac{9}{2} = -\dfrac{6}{2} = -3& \end{array}$.
$ x_1=6, x_2=-3 $
Du erhältst für die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{6;-3\right\}$.
j)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x+2&=&0&\scriptsize \mid\; -2\\ 2x&=&-2&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&-1& \end{array}$
Die Gleichung erhält nur einen Nenner, so kommen keine weiteren Werte hinzu. Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-1\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner: $2x+2$
Die Gleichung erhält nur einen Nenner, so entspricht dieser dem Hauptnenner.
Hauptnenner: $2x+2$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x+\dfrac{8-x}{2x+2}&=&4&\scriptsize \mid\; (2x+2)\\ 2x(2x+2)+\dfrac{(8-x)\color{#87c800}{(2x+2)}}{\color{#87c800}{(2x+2)}}&=&4(2x+2)&\\ 4x^2+4x+8-x&=&8x+8&\\ 4x^2+3x+8&=&8x+8&\scriptsize \mid\; -8x-8\\ 4x^2-5x&=&0&\scriptsize x \text{ ausklammern}\\ x(4x-5)&=&0&x_1=0\\ 4x-5&=&0&\scriptsize \mid\; +5\\ 4x&=&5&\scriptsize\mid\;:4\\ x_2&=&\dfrac{5}{4}& \end{array}$
$ x_2=\dfrac{5}{4} $
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{\dfrac{5}{4};0\right\}$.
2.  Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge.
a)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 3x&=&0&\scriptsize \mid\; :3\\ x&=&0& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x&=&0&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&0& \end{array}$
Nenner 3:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 6x&=&0&\scriptsize \mid\; :6\\ x&=&0& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $3x$
Nenner 2: $2x$
Nenner 3: $6x$
Hauptnenner: $6x$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2}{3x}+\dfrac{1}{2x}&=&\dfrac{1}{6x}-3&\scriptsize \mid\; \cdot6x \ (=\text{Hauptnenner})\\ \dfrac{2\cdot 2 \cdot\color{#87c800}{3x}}{\color{#87c800}{3x}}-\dfrac{1\cdot 3 \cdot\color{#87c800}{2x}}{\color{#87c800}{2x}}&=&\dfrac{1\cdot \color{#87c800}{6x}}{\color{#87c800}{6x}}-3\cdot 6x&\\ 4+3&=&1-18x&\\ 7&=&1-18x&\scriptsize \mid\;+18x\\ 7+18x&=&1&\scriptsize \mid\; -7\\ 18x&=&-6&\scriptsize \mid\; :18\\ x&=&-\dfrac{1}{3}& \end{array}$
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{3}\right\}$.
$ x=-\dfrac{1}{3} $
b)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 8x&=&0&\scriptsize \mid\; :8\\ x&=&0& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x&=&0&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&0& \end{array}$
Die restlichen Nenner sind ungleich Null, so dass kein neuer Wert ermittelt werden kann, der aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden muss.
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $8x$
Nenner 2: $4$
Nenner 3: $2x$
Nenner 4: $8x$
Nenner 5: $4$
Hauptnenner: $8x$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3}{8x}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2x}&=&\dfrac{7}{8x}-\dfrac{1}{4}&\scriptsize \mid\; +\frac{1}{4} \\ \dfrac{3}{8x}+\dfrac{1}{2x}&=&\dfrac{7}{8x}&\scriptsize \mid\; \cdot 8x\ (=\text{Hauptnenner}) \\ \dfrac{3\cdot \color{#87c800}{8x}}{\color{#87c800}{8x}}+\dfrac{1\cdot 4 \cdot \color{#87c800}{2x}}{\color{#87c800}{2x}} &=& \dfrac{7\cdot\color{#87c800}{8x}}{\color{#87c800}{8x}} & \\ 3+4&=& 7 & \\ 7&=&7& \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, somit sind alle Zahlen, die in der Definitionsmenge enthalten sind, Lösung dieser Gleichung. Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}$.
$ 7=7 $
c)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+2&=&0&\scriptsize \mid\; -2\\ x&=&-2& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+1&=&0&\scriptsize \mid\; -1\\ x&=&-1& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-1;-2\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x+2$
Nenner 2: $x+1$
Hauptnenner: $(x+2)\cdot(x+1)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{5}{x+2}&=&\dfrac{2}{x+1}&\scriptsize \mid\; \cdot (x+2)(x+1)\\ \dfrac{5\cdot(x+1)\color{#87c800}{(x+2)}}{\color{#87c800}{(x+2)}}&=& \dfrac{2\cdot(x+2)\cdot\color{#87c800}{(x+1)}}{\color{#87c800}{(x+1)}}&\\ 5\cdot(x+1)&=& 2\cdot (x+2)&\\ 5x+5&=&2x+4&\scriptsize \mid\; -2x\\ 3x+5&=&4&\scriptsize \mid\; -5\\ 3x&=&-1&\scriptsize \mid\;:3\\ x&=& -\dfrac{1}{3} & \end{array}$
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{-\dfrac{1}{3}\right\}$.
$ x=-\dfrac{1}{3} $
d)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+1&=&0&\scriptsize \mid\; -1\\ x&=&-1& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x-2&=&0&\scriptsize \mid\; +2\\ x&=&2& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{2;-1\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x+1$
Nenner 2: $x-2$
Hauptnenner: $(x+1)\cdot(x-2)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x+4}{x+1}&=&\dfrac{x+1}{x-2}&\scriptsize \mid\; \cdot(x+1)(x-2)\ (= \text{Hauptnenner})\\ \dfrac{(x+4)(x-2)\color{#87c800}{(x+1)}}{\color{#87c800}{(x+1)}}&=&\dfrac{(x+1)(x+1)\color{#87c800}{(x-2)}}{\color{#87c800}{(x-2)}} & \\ (x+4)(x-2)&=&(x+1)^2&\\ x^2-2x+4x-8&=&x^2+2x+1&\\ x^2+2x-8&=&x^2+2x+1&\scriptsize \mid\; -x^2-2x\\ -8 &=& 1 & \end{array}$
Das ist eine falsche Aussage, es gibt somit keine Lösung für diese Bruchgleichung. Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\emptyset$.
$ -8=1 $
e)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x-4&=&0&\scriptsize \mid\; +4\\ 2x&=&4&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&2& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x-7&=&0&\scriptsize \mid\; +7\\ 2x&=&7&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&\dfrac{7}{2}& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{2;\dfrac{7}{2}\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $2x-4$
Nenner 2: $2x-7$
Hauptnenner: $(2x-4)\cdot(2x-7)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3x+14}{2x-4}&=&\dfrac{3x+2}{2x-7}&\scriptsize \mid\; \cdot (2x-4)(2x-7)\ (=\text{Hauptnenner})\\ \dfrac{(3x+14) (2x-7)\color{#87c800}{(2x-4)}}{\color{#87c800}{(2x-4)}}&=&\dfrac{(3x+2)(2x-4)\color{#87c800}{(2x-7)}}{\color{#87c800}{(2x-7)}} &\\ (3x+14)(2x-7)&=&(3x+2)(2x-4)&\\ 6x^2-21x+28x-98 &=& 6x^2-12x+4x-8&\\ 6x^2+7x-98 &=& 6x^2-8x-8 & \scriptsize \mid\; -6x^2\\ 7x-98 &=& -8x-8 & \scriptsize \mid\; +8x\\ 15x -98& =&-8 & \scriptsize \mid \; +98\\ 15x &=& 90&\scriptsize \mid \; :15\\ x&=& 6& \end{array}$
Du erhältst für die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{6\right\}$.
$ x=6 $
f)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x-1&=&0&\scriptsize \mid\; +1\\ x&=&1& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x-2&=&0&\scriptsize \mid\; +2\\ x&=&2& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{1;2\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x-1$
Nenner 2: $x-2$
Hauptnenner: $(x+1)\cdot(x-2)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{3x-5}{x-1}-\dfrac{2x-5}{x-2}&=&1&\scriptsize \mid\;\cdot (x-1)(x-2) \\ \dfrac{(3x-5)(x-2)\cdot \color{#87c800}{(x-1)}}{\color{#87c800}{(x-1)}}-\dfrac{(2x-5)\cdot (x-1)\color{#87c800}{(x-2)}}{\color{#87c800}{(x-2)}}=&&1 \cdot (x-1)(x-2)&\\ (3x-5)(x-2)-(2x-5)(x-1) &=& (x-1)(x-2) & \\ 3x^2-6x-5x+10-(2x^2-2x-5x+5)&=&x^2-2x-x+2& \\ 3x^2-11x+10-2x^2+7x-5&=&x^2-3x+2& \\ x^2-4x+5&=&x^2-3x+2&\scriptsize \mid \; -x^2 \\ -4x+5&=&-3x+2&\scriptsize \mid \; +4x \\ 5&=&x+2&\scriptsize -2 \\ x&=&3& \end{array}$
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{3\right\}$.
$ x=3 $
g)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+2&=&0&\scriptsize \mid\; -2\\ x&=&-2& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-2\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen
Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x+2$
Nenner 2: $x+2$
Hauptnenner: $x+2$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x+10}{x+2}&=&5-\dfrac{x-6}{x+2}&\scriptsize \mid\; \cdot (x+2) \\ \dfrac{(x+10)\cdot \color{#87c800}{(x+2)}}{\color{#87c800}{(x+2)}}&=&5\cdot (x+2)-\dfrac{(x-6)\cdot \color{#87c800}{(x+2)}}{\color{#87c800}{(x+2)}}& \\ x+10 &=& 5(x+2)-(x-6)& \\ x+10&=&5x+10-x+6& \\ x+10&=&4x+16&\scriptsize \mid\; -x \\ 10&=& 3x+16 &\scriptsize \mid\; -16 \\ -6 &=&3x &\scriptsize \mid\; :3 \\ x&=&-2& \end{array}$
Da $x=-2$ nicht in der Definitionsmenge enthalten sit, stellt dieses Ergebnis keine Lösung der Bruchgleichung dar. Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\emptyset$.
$ x=-2 $
h)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 3x-4&=&0&\scriptsize \mid\; +4\\ 3x&=&4&\scriptsize \mid\;:3\\ x&=&\dfrac{4}{3} \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 6x-8&=&0&\scriptsize \mid\; +8\\ 6x&=&8&\scriptsize \mid\; :6\\ x&=&\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3}& \end{array}$
Der dritte Nenner ist immer ungleich Null, somit existiert keine weitere Zahl, die aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden muss.
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{4}{3}\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $3x-4$
Nenner 2: $20$
Nenner 3: $6x-8 = 2 \cdot (3x-4)$
Hauptnenner: $20\cdot(3x-4)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2}{3x-4}-\dfrac{1}{20}&=&\dfrac{5}{6x-8}&\scriptsize \mid\; \cdot 20(3x-4) \\\ \dfrac{2\cdot 20 \cdot \color{#87c800}{(3x-4)}}{\color{#87c800}{(3x-4)}}-\dfrac{1\cdot (3x-4) \cdot \color{#87c800}{20}}{\color{#87c800}{20}}&=&\dfrac{5\cdot10 \cdot\color{#87c800}{(6x-8)}}{\color{#87c800}{(6x-8)}}&\\ 2\cdot 20 - (3x-4)&=&5 \cdot 10 & \\ 40-3x+4&=&50& \\ 44-3x&=&50&\scriptsize \mid\; -44 \\ -3x&=&6&\scriptsize \mid\; :(-3) \\ x&=&-2& \end{array}$
Du erhältst für die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{-2\right\}$.
$ x=-2 $
i)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 3x-6&=&0&\scriptsize\mid\; +6\\ 3x&=&6&\scriptsize\mid\; :3\\ x&=&2& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x-4&=&0&\scriptsize\mid\;+4\\ 2x&=&4&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&2& \end{array}$
Nenner 3:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 4x-8&=&0&\scriptsize\mid\;+8\\ 4x&=&8&\scriptsize \mid\; :4\\ x&=&2& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{2\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $3x-6 = 3(x-2)$
Nenner 2: $2x-4 = 2(x-2)$
Nenner 3: $4x-8 = 4(x-2)$
Hauptnenner: $12(x-2)$,
da $(x-2)$ mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von 2, 3 und 4 multipliziert werden muss.
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\scriptsize{\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2x+3}{3x-6}-\dfrac{x+1}{2x-4}&=&\dfrac{3x-5}{4x-8}&\scriptsize \mid\; \cdot 12(x-2)\ (=\text{Hauptnenner}) \\ \dfrac{(2x+3)\cdot 4\cdot\color{#87c800}{(3x-6)}}{\color{#87c800}{(3x-6)}}-\dfrac{(x+1)\cdot 6\cdot\color{#87c800}{(2x-4)}}{\color{#87c800}{(2x-4)}}&=&\dfrac{(3x-5)\cdot 3\cdot \color{#87c800}{(4x-8)}}{\color{#87c800}{(4x-8)}}& \\ (2x+3)\cdot 4-(x+1)\cdot 6&=&(3x-5)\cdot 3& \\ 8x+12-6x-6&=&9x-15& \\ 2x+6&=&9x-15&\scriptsize \mid\; -2x \\ 6&=&7x-15&\scriptsize \mid\; +15 \\ 21&=&7x&\scriptsize \mid\; :7 \\ x&=&3& \end{array}}$
Du erhältst für die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\left\{3\right\}$.
$ x=3 $
j)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 9x+27&=&0&\scriptsize \mid\; -27\\ 9x&=&-27&\scriptsize \mid\; :9\\ x&=&-3& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 3x+9&=&0&\scriptsize \mid\; -9\\ 3x&=&-9&\scriptsize \mid\; :3\\ x&=&-3& \end{array}$
Nenner 3:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 6x+18&=&0&\scriptsize \mid\; -18\\ 6x&=&-18&\scriptsize \mid\; :6\\ x&=&-3& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-3\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $9x+27 = 9(x+3)$
Nenner 2: $3x+9 = 3(x+3)$
Nenner 3: $6x+18 = 6(x+3)$
Hauptnenner: $18(x+3)$,
da $(x+3)$ mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 3, 6, und 9 multipliziert werden muss.
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{2x+11}{9x+27}-\dfrac{3x+4}{3x+9}&=&\dfrac{x+5}{6x+18}&\scriptsize \mid\; \cdot 18(x+3) \\ \dfrac{(2x+11)\cdot 2 \cdot \color{#87c800}{(9x+27)}}{\color{#87c800}{(9x+27)}}-\dfrac{(3x+4)\cdot 6 \cdot \color{#87c800}{(3x+9)}}{\color{#87c800}{(3x+9)}}&=&\dfrac{(x+5)\cdot 3 \cdot \color{#87c800}{(6x+18)}}{\color{#87c800}{(6x+18)}}& \\ 2(2x+11)-6(3x+4)&=&3(x+5)& \\ 4x+22-18x-24&=&3x+15& \\ -14x-2&=&3x+15&\scriptsize \mid\; +14x \\ -2&=&17x+15&\scriptsize \mid\;-15 \\ -17&=&7x&\scriptsize \mid\; :17 \\ x&=&-1& \end{array}$
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{-1\right\}$.
$ x=-1 $
k)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x-1&=&0&\scriptsize \mid\; +1\\ x&=&1& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x^2-1&=&0&\scriptsize \mid\; +1\\ x^2&=&1&\scriptsize \mid\; \sqrt{…}\\ x&\pm 1& \end{array}$
Nenner 3:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x+1&=&0&\scriptsize \mid\; -1\\ x&=&-1& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-1;1\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x-1$
Nenner 2: $x^2-1 = (x-1)(x+1)$ (3. binomische Formel)
Nenner 3: $x+1$
Hauptnenner: $(x+1)(x-1)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{x-3}{x-1}-\dfrac{2x-1}{x^2-1}&=&\dfrac{x+2}{x+1}&\scriptsize \mid\; \cdot(x+1)(x-1)\\ \dfrac{(x-3)(x+1) \color{#87c800}{(x-1)}}{\color{#87c800}{(x-1)}}-\dfrac{(2x-1)\color{#87c800}{(x-1)(x+1)}}{\color{#87c800}{(x-1)(x+1)}}&=&\dfrac{(x+2)(x-1)\color{#87c800}{(x+1)}}{\color{#87c800}{(x+1)}}&\scriptsize\\ (x-3)(x+1)-(2x-1)&=&(x+2)(x-1)& \\ x^2-2x-3-2x+1&=&x^2+x-2& \\ x^2-4x-2&=&x^2+x-2&\scriptsize \mid\; -x^2+2 \\ -4x&=&x&\scriptsize \mid\;+4x \\ 0&=&3x&\scriptsize \mid\; :3 \\ x&=&0& \end{array}$
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{0\right\}$.
$ x=0 $
l)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 2x-3&=&0&\scriptsize \mid\; +3\\ 2x&=&3&\scriptsize \mid\; :2\\ x&=&\dfrac{3}{2}& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} 4x^2-12x+9&=&0&\scriptsize \mid\; \\ (2x-3)^2&=&0&\scriptsize \mid\; \sqrt{\ldots}\\ 2x-3&=&0&\scriptsize \mid\; +3\\ 2x&=&3&\\ x&=&\dfrac{3}{2}& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{\dfrac{3}{2}\right\}$.
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $2x-3$
Nenner 2: $4$
Nenner 3: $4x^2-12x+9 = (2x-3)^2$
Hauptnenner: $4(2x-3)^2$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{2x-3}&=&\dfrac{1}{4}-\dfrac{x^2-2x+3}{4x^2-12x+9}&\scriptsize \mid\; \cdot 4(2x-3)^2 \\ \dfrac{1\cdot 4\cdot(2x-3)^2}{2x-3}&=&\dfrac{4(2x-3)^2}{4}-\dfrac{(x^2-2x+3)\cdot 4(2x-3)^2}{4x^2-12x+9}& \\ 4(2x-3) &=& (2x-3)^2-4(x^2-2x+3)& \\ 8x-12&=&4x^2-12x+9 - 4x^2+8x-12& \\ 8x-12&=&-4x-3&\scriptsize \mid\; +4x \\ 12x-12&=&-3&\scriptsize \mid\;+12 \\ 12x&=&9&\scriptsize \mid\; :12 \\ x&=&\dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}& \end{array}$
Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\left\{\dfrac{3}{4}\right\}$.
$ x=\dfrac{3}{4} $
m)  Definitionsmenge bestimmen
Der Definitionsbereich besteht aus den reellen Zahlen, die du für $x$ einsetzen darfst. Der Nenner eines Bruchs darf nicht Null sein, überprüfe also für welche $x$ dies der Fall wäre und schließe diese Zahlen aus dem Definitionsbereich aus.
Nenner 1:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x^2-4x&=&0&\scriptsize x \text{ ausklammern}\\ x(x-4)&=&0&\scriptsize x_1=0\\ x-4&=&0&\scriptsize\mid\; +4\\ x_2&=&4& \end{array}$
Nenner 2:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x^2-16&=&0&\scriptsize \text{3. binomische Formel}\\ (x-4)(x+4)&=&0&\\ x_1&=&4&\\ x_2&=&-4& \end{array}$
Nenner 3:
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} x^2+4x&=&0&\scriptsize x \text{ ausklammern}\\ x(x+4)&=&0&\scriptsize x_1=0\\ x+4&=&0&\scriptsize\mid\; -4\\ x_2&=&-4& \end{array}$
Für den Definitionsbereich erhältst du $\mathbb{D}=\mathbb{R}\setminus\left\{-4;0;4\right\}$.
$ {D}={R}\{-4;0;4} $
Lösungsmenge bestimmen Um die Lösungsmenge zu bestimmen, bestimme zunächst den Hauptnennner und löse dann nach $x$ auf.
1. Schritt: Hauptnenner bestimmen
Nenner 1: $x^2-4x = (x-4)x$
Nenner 2: $x^2-16 = (x-4)(x+4)$
Nenner 3: $x^2+4x = (x+4)x$
Hauptnenner: $x(x+4)(x-4)$
2. Schritt: Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}{r@{\;=\;}l@{\hspace{1cm}}l} \dfrac{1}{x^2-4x}&=&\dfrac{2}{x^2-16}-\dfrac{1}{x^2+4x}&\scriptsize \mid\; \cdot x(x+4)(x-4) \\ \dfrac{x(x+4)(x-4)}{(x-4)x}&=&\dfrac{2\cdot x(x+4)(x-4)}{(x-4)(x+4)}-\dfrac{x(x+4)(x-4)}{x(x+4)}& \\ x+4&=&2\cdot x - (x-4)& \\ x+4&=&2x-x+4& \\ x+4&=&x+4&\scriptsize \mid\; -(x+4) \\ 0&=&0 \end{array}$
Das ist eine wahre Aussage, die Bruchgleichung wird somit von allen Zahlen des Definitionsbereichs gelöst. Für die Lösungsmenge erhältst du $\mathbb{L}=\mathbb{R}\setminus\left\{-4;0;4\right\}$.
$ 0=0 $
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