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Vermischte Aufgaben

Aufgaben
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1. Löse die quadratische Gleichung.
a)  $x^2=9$
b)  $2x^2=72$
c)  $\dfrac{1}{2}x^2=2$
d)  $3x^2=15$
e)  $x^2-25=0$
f)  $3x^2-192=0$
g)  $-x^2+1=1$
h)  $\dfrac{1}{4}x^2-1=0$
i)  $\dfrac{1}{3}x^2-5=3$
j)  $-\dfrac{1}{4}x^2+16=-9$
2. Bestimme die Lösung für diese quadratische Gleichung.
a)  $x^2-2x-8=0$
b)  $x^2+4x-12=0$
c)  $9x^2+18x-36=0$
d)  $2x^2-6x-\dfrac{7}{2}=0$
e)  $-\dfrac{1}{3}x^2+2x+1=0$
f)  $-\dfrac{1}{2}x^2+3x-4,5=0$
3. Bestimme die Lösung für diese quadratische Gleichung.
a)  $-(x-5)^2+2x^2=8x-1$
b)  $3(x+2)^2=-3(x^2-2)$
c)  $\dfrac{1}{2}(x^2-6x+10)=(x-3)^2$
d)  $(x+1)^2-2(3x+4)=-(x-3)^2$
4. Löse die Gleichung.
a)  $-(x+5)^2=(x-3)^2-2\cdot\left(\dfrac{3}{2}x^2+2x-1\right)$
b)  $(x+1)^2-3x^2+12x+18=(x+4)^2+6$
c)  $(x-3)^2-x^2+x-18=(x+2)^2-10x^2-4$
d)  $(a-2)^2-10a=5a^2+(a+3)^2$
5. Gegeben ist die Parabel $y=-x^2+16$. Was bedeutet es in diesem Zusammenhang anschaulich, die quadratische Gleichung $-x^2+16=0$ zu lösen? Was bedeutet es anschaulich, die Gleichung $4=-x^2+16$ zu lösen?
6. Aufgrund des Baus einer neuen Straße, muss die Stadt das Grundstück der Familie Müller umgestalten.
Das bisherige Grundstück war in der Länge 25 m länger als in der Breite. Damit die Straße gebaut werden kann, hat die Stadt die Länge um 15 m gekürzt und die Breite verdoppelt.
Das neue Grundstück ist $29,75\,\text{m}^2$ größer als das ursprüngliche Grundstück.
Wie lang und breit war das Grundstück vor dem Bau der Straße?
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Lösungen
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1. Lösungen bestimmen
a)  $\begin{array}[t]{rl@l} x^2=&9& \mid\; \sqrt{\;\;} \\ x=&\pm3\\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-3;3\right\}$
b)  $\begin{array}[t]{rl@l} 2x^2=&72& \mid\; :2 \\ x^2=&36& \mid\; \sqrt{\;\;} \\ x=&\pm6& \\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-6;6\right\}$
c) $\begin{array}[t]{rl@l} \dfrac{1}{2}x^2=&2& \mid\; \cdot2 \\ x^2=&4& \mid\; \sqrt{\;\;} \\ x=&\pm2& \\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-2;2\right\}$
d)  $\begin{array}[t]{rl@l} 3x^2=&15& \mid\; :3 \\ x^2=&5& \mid\; \sqrt{\;\;} \\ x=&\pm\sqrt{5}& \\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\right\}$
e)  $\begin{array}[t]{rl@l} x^2-25=&0& \mid\; +25 \\ x^2=&25& \mid\; \sqrt{\;\;} \\ x=&\pm5& \\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-5;5\right\}$
f)  $\begin{array}[t]{rl@l} 3x^2-192=&0& \mid\; +192 \\ 3x^2=&192& \mid\; :3\\ x^2=&64& \mid\; \sqrt{\;\;}\\ x=&\pm8& \\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-8;8\right\}$
g)  $\begin{array}[t]{rl@l} -x^2+1=&1& \mid\; -1 \\ -x^2=&0& \mid\; :(-1)\\ x^2=&0& \mid\; \sqrt{\;\;}\\ x=&0& \\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{0\right\}$
h)  $\begin{array}[t]{rl@l} \dfrac{1}{4}x^2-1=&0& \mid\; +1 \\ \dfrac{1}{4}x^2=&+1& \mid\; \cdot4\\ x^2=&4&\mid\;\sqrt{\;}\\ x_{1,2}=&\pm2 \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-2;2\right\}$
i)  $\begin{array}[t]{rl@l} \dfrac{1}{3}x^2-5=&3& \mid\; +5 \\ \dfrac{1}{3}x^2=&8& \mid\; \cdot3\\ x^2=&24& \mid\; \sqrt{\;\;}\\ x=&\pm\sqrt{24}=\pm\sqrt{4\cdot6}& \\ x=&\pm2\sqrt{6}& \\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-2\sqrt{6};2\sqrt{6}\right\}$
j)  $\begin{array}[t]{rl@l} -\dfrac{1}{4}x^2+16=&-9& \mid\; -16 \\ -\dfrac{1}{4}x^2=&-25& \mid\; \cdot(-4)\\ x^2=&100& \mid\; \sqrt{\;\;}\\ x=&\pm10& \\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-10;10\right\}$
2. Gleichungen lösen
a)  $x^2-2x-8=0$
$p=-2$ $\qquad$ $q=-8$
$x_{1,2}=-\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{-2}{2}} \right)^2 - (-8)}$
$x_{1,2}=1\pm\sqrt{9}$
$x_{1}=1-3=-2$ $\qquad$ $x_{2}=1+3=4$
$\mathbb{L}=\left\{-2;4\right\}$
b)  $\begin{array}[t]{rl@l} x^2+4x-12=&0& \\ \end{array}$
$x_{1,2}=-\dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{4}{2}} \right)^2 - (-12)}$
$x_{1,2}=-2\pm\sqrt{16}$
$x_{1}=-2+4=2$ $\qquad$ $x_{2}=-2-4=-6$
$\mathbb{L}=\left\{-6;2\right\}$
c) $\begin{array}[t]{rl@l} 9x^2+18x-36=&0& \mid\;:9 \\ x^2+2x-4=&0& \\ \end{array}$
$x_{1,2}=-\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{2}{2}} \right)^2 - (-4)}$
$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{5}$
$x_{1}=-1+\sqrt{5}$$\qquad$ $x_{2}=-1-\sqrt{5}$
$\mathbb{L}=\left\{-1+\sqrt{5};-1-\sqrt{5}\right\}$
d)  $\begin{array}[t]{rl@l} 2x^2-6x-\dfrac{7}{2}=&0& \mid\;:2 \\ x^2-3x-\dfrac{7}{4}=&0& \\ \end{array}$
$x_{1,2}=-\dfrac{-3}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{-3}{2}} \right)^2 - \left(-\dfrac{7}{4}\right)}$
$x_{1,2}=\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{9}{4}+\dfrac{7}{4}}$
$x_{1,2}=\dfrac{3}{2}\pm\sqrt{\dfrac{16}{4}}$
$x_{1}=\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{2}=\dfrac{7}{2}$$\qquad$ $x_{2}=\dfrac{3}{2}-\dfrac{4}{2}=-\dfrac{1}{2}$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{7}{2};-\dfrac{1}{2}\right\}$
e)  $\begin{array}[t]{rl@l} -\dfrac{1}{3}x^2+2x+1=&0& \mid\;\cdot(-3) \\ x^2-6x-3=&0& \\ \end{array}$
$x_{1,2}=-\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{-6}{2}} \right)^2 - (-3)}$
$x_{1,2}=3\pm\sqrt{12}$
$x_{1}=3-\sqrt{12}$$\qquad$ $x_{2}=3+\sqrt{12}$
$\mathbb{L}=\left\{3-\sqrt{12}; 3+\sqrt{12}\right\}$
f)  $\begin{array}[t]{rl@l} -\dfrac{1}{2}x^2+3x-4,5=&0& \mid\;\cdot(-2) \\ x^2-6x+9=&0& \\ \end{array}$
$x_{1,2}=-\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{-6}{2}} \right)^2 - 9}$
$x_{1,2}=3\pm\sqrt{0}$
$\mathbb{L}=\left\{3\right\}$
3. Gleichungen Lösen
a)  $\begin{array}[t]{rl@l} -(x-5)^2+2x^2=&8x-1& \text{2. Binom. Formel}\\ -(x^2-10x+25)+2x^2=&8x-1& \\ x^2+10x-25=&8x-1& \mid\;-8x+1 \\ x^2+2x-24=&0& \\ \end{array}$
$x_{1,2}=-\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{2}{2}} \right)^2 -(-24)}$
$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{25}$
$x_{1}=-1-5=-6$; $x_{2}=-1+5=4$
$\mathbb{L}=\left\{-6;4\right\}$
b)  $\begin{array}[t]{rl@l} 3(x+2)^2=&-3(x^2-2)& \text{Klammern auflösen}\\ 3(x^2+4x+4)=&-3x^2+6& \text{ausmultiplizieren}\\ 3x^2+12x+12=&-3x^2+6& \mid\;+3x^2-6 \\ 6x^2+12x+6=&0& \mid\;:6 \\ x^2+2x+1=&0& \\ \end{array}$
$p=2$ $\qquad$ $q=1$
$x_{1,2}=-\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{2}{2}} \right)^2 -1}$
$x_{1,2}=-1\pm\sqrt{0}$
$x=-1$
$\mathbb{L}=\left\{-1\right\}$
c)  $\begin{array}[t]{rl@l} \dfrac{1}{2}(x^2-6x+10)=&(x-3)^2& \text{Klammern auflösen}\\ \dfrac{1}{2}x^2-3x+5=&x^2-6x+9& \mid\;-x^2+6x-9 \\ -\dfrac{1}{2}x^2+3x-4=&0& \mid\;\cdot(-2) \\ x^2-6x+8=&0& \\ \end{array}$
$p=-6$ $\qquad$ $q=8$
$x_{1,2}=-\dfrac{-6}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{-6}{2}} \right)^2 -8}$
$x_{1,2}=3\pm\sqrt{1}$
$x_{1}=3-1=2$; $x_{2}=3+1=4$
$\mathbb{L}=\left\{2;4\right\}$
d)  $\begin{array}[t]{rl@l} (x+1)^2-2(3x+4)=&-(x-3)^2& \text{Klammern auflösen}\\ x^2+2x+1-6x-8=&-(x^2-6x+9)& \\ x^2-4x-7=&-x^2+6x-9&\mid\; +x^2-6x+9 \\ 2x^2-10x+2=&0&\mid\; :2 \\ x^2-5x+1=&0& \\ \end{array}$
$p=-5$ $\qquad$ $q=1$
$x_{1,2}=-\dfrac{-5}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{-5}{2}} \right)^2 -1}$
$x_{1,2}=2,5\pm\sqrt{\dfrac{21}{4}}=2,5\pm\dfrac{\sqrt{21}}{2}$
$x_{1}=2,5-\dfrac{\sqrt{21}}{2}$; $x_{2}=2,5+\dfrac{\sqrt{21}}{2}$
$\mathbb{L}=\left\{2,5-\dfrac{\sqrt{21}}{2};2,5+\dfrac{\sqrt{21}}{2}\right\}$
4. Lösungen bestimmen
a)  $\begin{array}[t]{rl@l} -(x+5)^2=&(x-3)^2-2\cdot\left(\dfrac{3}{2}x^2+2x-1\right)& \\ -(x^2+10x+25)=&(x^2-6x+9)-3x^2-4x+2&\\ -x^2-10x-25=&-2x^2-10x+11& \mid\;+2x^2+10x-11\\ x^2-36=&0&\mid\; +36\\ x^2=&36& \mid\; \sqrt{\;\;}\\ x_{1,2}=&\pm6\\ \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{-6;6\right\}$
b)  $\begin{array}[t]{rl@l} (x+1)^2-3x^2+12x+18=&(x+4)^2+6& \\ (x^2+2x+1)-3x^2+12x+18=&x^2+8x+16+6&\\ -2x^2+14x+19=&x^2+8x+22& \mid\; -x^2-8x-22\\ -3x^2+6x-3=&0& \mid\; :(-3)\\ x^2-2x+1=&0&\\ \end{array}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{-2}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{-2}{2}} \right)^2 - 1}$
$x_{1,2}=1\pm\sqrt{0}$
$\mathbb{L}=\left\{1\right\}$
c)  $\begin{array}[t]{rl@l} (x-3)^2-x^2+x-18=&(x+2)^2-10x^2-4& \\ (x^2-6x+9)-x^2+x-18=&x^2+4x+4-10x^2-4&\\ -5x-9=&-9x^2+4x&\mid\; +9x^2-4x\\ 9x^2-9x-9=&0& \mid\; :9\\ x^2-x-1=&0& \\ \end{array}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{-1}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{-1}{2}} \right)^2 - (-1)}$
$x_{1,2}=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{1}{4}+\dfrac{4}{4}}=\dfrac{1}{2}\pm\sqrt{\dfrac{5}{4}}$
$x_{1,2}=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{1}{2}\cdot\sqrt{5}=\dfrac{1}{2}\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$x_{1}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}$; $x_{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$
$\mathbb{L}=\left\{\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{5}}{2}; \dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right\}$
d)  $\begin{array}[t]{rl@l} (a-2)^2-10a=&5a^2+(a+3)^2& \\ (a^2-4a+4)-10a=&5a^2+a^2+6a+9&\\ a^2-14a+4=&6a^2+6a+9& \mid\;-6a^2-6a-9\\ -5a^2-20a-5=&0&\mid\; :(-5)\\ a^2+4a+1=&0& \\ \end{array}$
$x_{1,2} = - \dfrac{p}{2} \pm \sqrt {\left( {\dfrac{p}{2}} \right)^2 - q}$
$x_{1,2}=-\dfrac{4}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{4}{2}} \right)^2 -1}$
$x_{1,2}=-2\pm\sqrt{3}$
$x_{1}=-2+\sqrt{3}$; $x_{2}=-2-\sqrt{3}$
$\mathbb{L}=\left\{-2+\sqrt{3}; -2-\sqrt{3}\right\}$
5. Anschauliche Bedeutung erklären
Die quadratische Gleichung $-x^2+16=0$ zu lösen bedeutet, jene $x$-Werte zu finden, für die $y=0$ gilt. Anschaulich sind dies alle Punkte, die der Graph der Funktion mit der $x$-Achse gemeinsam hat. Gesucht sind also in diesem Fall die Schnittpunkte mit der $x$-Achse (Nullstellen) der quadratischen Funktion $y=-x^2+16$.
Die quadratische Gleichung $4=-x^2+16$ zu lösen bedeutet jene $x$-Werte zu finden, für die $y=4$ gilt. Gesucht sind damit die Punkte $A_1(?|4)$ und $A_2(?|4)$. Anschaulich kann man sich diese auch als Schnittpunkte der quadratischen Funktion $y=-x^2+16$ mit der Geraden $y=4$ vorstellen.
6. $\blacktriangleright$ Altes Grundstück
Breite: $=x$; Länge: $y=x+25$ (Länge ist um 25 m größer als die Breite)
Flächeninhalt $A_{\text{alt}}=x\cdot(x+25)=x^2+25x$.
$\blacktriangleright$ Neues Grundstück
Breite: $=2\cdot x$ (Verdopplung der Breite); Länge: $y=x+25-15=x+10$ (Länge ist um 15 m kürzer geworden)
Flächeninhalt $A_{\text{neu}}=2x\cdot(x+10)=2x^2+20x$
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt
$A_{\text{neu}}=A_{\text{alt}}+29,75$. (Neues Grundstück hat $29,75\,\text{m}^2$ mehr).
Damit kommt man auf die quadratische Gleichung
$\underbrace{2x^2+20x}_{A_{\text{neu}}}=\underbrace{x^2+25x}_{A_{\text{alt}}}+29,75$
Auflösen der Gleichung nach $x$
$\begin{array}[t]{rl@l} 2x^2+20x=&x^2+25x+29,75& \mid\;-x^2-25x-29,75\\ x^2-5x-29,75=&0& \\ \end{array}$
$x_{1,2}=-\dfrac{-5}{2} \pm \sqrt{\left( {\dfrac{-5}{2}} \right)^2 -(-29,75)}$
$x_{1,2}=2,5\pm\sqrt{6,25+29,75}=2,5\pm\sqrt{36}$
$x_{1}=2,5-6=-3,5$; $x_{2}=2,5+6=8,5$
Die Lösung $x_{1}=-3,5$ macht in diesem Zusammenhang keinen Sinn, weil das Grundstück keine negative Breite besitzen kann. Somit kommt nur die Lösung $x_2=8,5$ in Frage.
Für die Breite des alten Grundstücks ergibt sich damit $x=8,5$ m.
Für die Länge $y=8,5+25=33,5$ m.
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