Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 9
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Realschulabschluss
VERA 8
Realschulabsch...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss
VERA 8
Mach dich schlau mit SchulLV!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!

Reinquadratische Gleichungen

Spickzettel
Download als Dokument:PDF

Erklärung

Eine reinquadratische Gleichung hat die Form $ax^2+c=0$.
Löse die reinquadratische Gleichung durch Umformen und Wurzelziehen.
Allgemein Beispiel 1 Beispiel 2
$\begin{array}{rl@l} ax^2+c&=&0&\scriptsize{\mid -c }\\[5pt] ax^2&=&-c&\scriptsize{\mid :a}\\[5pt] x^2&=&-\dfrac{c}{a}&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{c}{a}< 0$: zwei Lösungen
$\dfrac{c}{a}=0: x=0$
$\dfrac{c}{a}>0:$ keine reelle Lösung
$\begin{array}{rl@l} 4x^2-16&=&0&\scriptsize{\mid +16 }\\[5pt] 4x^2&=&16&\scriptsize{\mid :4}\\[5pt] x^2&=&4&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\[5pt] x_1&=&2\\[5pt] x_2&=&-2\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{2;-2\right\}$
$\begin{array}{rl@l} 3x^2+12&=&0&\scriptsize{\mid -12 }\\[5pt] 3x^2&=&-12&\scriptsize{\mid :3}\\[5pt] x^2&=&-4&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\[5pt] \end{array}$
$\mathbb{L}=\left\{\right\}$
keine reelle Lösung
Allgemein
$\begin{array}{rl@l} ax^2+c&=&0&\scriptsize{\mid -c }\\[5pt] ax^2&=&-c&\scriptsize{\mid :a}\\[5pt] x^2&=&-\dfrac{c}{a}&\scriptsize{\mid \sqrt{\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{-\dfrac{c}{a}}\\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{c}{a}< 0$: zwei Lösungen
$\dfrac{c}{a}=0: x=0$
$\dfrac{c}{a}>0:$ keine reelle Lösung
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1. Löse diese reinquadratischen Gleichungen.
a)   $x^2=9$
b)   $2x^2=72$
c)   $\dfrac{1}{2}x^2=2$
d)   $3x^2=15$
e)   $x^2-25=0$
f)   $3x^2-192=0$
g)   $-x^2+1=1$
h)   $\dfrac{1}{4}x^2+1=0$
i)   $\dfrac{1}{3}x^2-5=3$
j)   $-\dfrac{1}{4}x^2+16=-9$
2. Gib zu der angegebenen Lösung eine zugehörige reinquadratische Gleichung an.
a)   $\mathbb{L}=\left\{1;-1\right\}$
b)   $\mathbb{L}=\left\{2;-2\right\}$
c)   $\mathbb{L}=\left\{4;-4\right\}$
d)   $\mathbb{L}=\left\{6;-6\right\}$
e)   $\mathbb{L}=\left\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right\}$
f)   $\mathbb{L}=\left\{\sqrt{10};-\sqrt{10}\right\}$
3. Ein Schachbrett ist quadratisch und hat 64 gleichgroße quadratische Felder.
Wie lang ist die Seite eines Feldes, wenn das Schachbrett einen Flächeninhalt von $1.600\,\text{cm}^2$ hat?
4. Ein Stein wird aus einem Flugzeug in $s=500\,$m Höhe fallen gelassen.
Berechne mit der Formel $s=5\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\cdot t^2$ die Fallzeit $t$ bis er am Boden aufschlägt.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
a)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2&=&9&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{9}\\[5pt] x_1&=&3\\[5pt] x_2&=&-3\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-3;3\} \end{array}$
b)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 2x^2&=&72&\scriptsize{ \mid :2}\\[5pt] x^2&=&36&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{36}\\[5pt] x_1&=&6\\[5pt] x_2&=&-6\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-6;6\} \end{array}$
c)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{2}x^2&=&2&\scriptsize{ \mid \cdot 2}\\[5pt] x^2&=&4&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{4}\\[5pt] x_1&=&2\\[5pt] x_2&=&-2\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-2;2\} \end{array}$
d)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 3x^2&=&15&\scriptsize{ \mid :3}\\[5pt] x^2&=&5&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{5}\\[5pt] x_1&=&\sqrt{5}\\[5pt] x_2&=&-\sqrt{5}\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-\sqrt{5};\sqrt{5}\} \end{array}$
e)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-25&=&0&\scriptsize{ \mid +25}\\[5pt] x^2&=&25&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{25}\\[5pt] x_1&=&5\\[5pt] x_2&=&-5\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-5;5\} \end{array}$
f)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 3x^2-192&=&0&\scriptsize{ \mid +192}\\[5pt] 3x^2&=&192&\scriptsize{ \mid :3}\\[5pt] x^2&=&64&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{64}\\[5pt] x_1&=&8\\[5pt] x_2&=&-8\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-8;8\} \end{array}$
g)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} -x^2+1&=&1&\scriptsize{ \mid -1}\\[5pt] -x^2&=&0&\scriptsize{ \mid \cdot(-1)}\\[5pt] x^2&=&0&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{0}\\[5pt] x&=&0\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{0\} \end{array}$
h)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{4}x^2+1&=&0&\scriptsize{ \mid -1}\\[5pt] \dfrac{1}{4}x^2&=&-1&\scriptsize{ \mid \cdot4}\\[5pt] x^2&=&-4 \end{array}$
Diese Gleichung hat keine Lösung. $\mathbb{L}=\{\}$
i)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} \dfrac{1}{3}x^2-5&=&3&\scriptsize{ \mid +5}\\[5pt] \dfrac{1}{3}x^2&=&8&\scriptsize{ \mid \cdot3}\\[5pt] x^2&=&24&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{24}\\[5pt] x_1&=&\sqrt{24}\\[5pt] x_2&=&-\sqrt{24}\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-\sqrt{24};\sqrt{24}\} \end{array}$
j)   $\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} -\dfrac{1}{4}x^2+16&=&-9&\scriptsize{ \mid -16}\\[5pt] -\dfrac{1}{4}x^2&=&-25&\scriptsize{ \mid \cdot(-4)}\\[5pt] x^2&=&100&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{100}\\[5pt] x_1&=&10\\[5pt] x_2&=&-10\\[5pt] \mathbb{L}&=&\{-10;10\} \end{array}$
2. Um mögliche quadratische Gleichungen finden zu können, musst du die Gleichung schrittweise aufbauen. Das machst du, indem du die Lösungsschritte zum Lösen einer quadratischen Gleichung rückwärts durchgehst.
a)   $\mathbb{L}=\left\{1;-1\right\}$
Das bedeutet:
$x_1=1$ und $x_2=-1$ (oder $x_1=-1$ und $x_2=1$)
Die Umkehroperation vom Wurzelziehen ist das Quadrieren:
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_1&=&1&\scriptsize{ \mid ^2}\\[5pt] x_1^2&=&1\\[5pt] \end{array}$
Genauso kannst du für $x_2$ vorgehen:
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_2&=&-1&\scriptsize{ \mid ^2}\\[5pt] x_2^2&=&1\\[5pt] \end{array}$
Du erhältst also:
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2&=&1&\scriptsize{ \mid -1}\\[5pt] x^2-1&=&0\\[5pt] \end{array}$
Das ist die einfachste reinquadratische Gleichung zu der angegebenen Lösung. Diese Gleichung kannst du noch z.B. durch Multiplikation verändern.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x^2-1&=&0&\scriptsize{ \mid \cdot4}\\[5pt] 4x^2-4&=&0\\[5pt] \end{array}$
Eine mögliche reinquadratische Gleichung ist: $4x^2-4=0$.
b)   $\mathbb{L}=\left\{2;-2\right\}$
$x_1=2$ und $x_2=-2$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&4&\scriptsize{ \mid -4}\\[5pt] x_{1,2}^2-4&=&0&\scriptsize{ \mid +7}\\[5pt] x_{1,2}^2+3&=&7 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-4=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $x^2+3=7$.
c)   $\mathbb{L}=\left\{4;-4\right\}$
$x_1=4$ und $x_2=-4$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&16&\scriptsize{ \mid -16}\\[5pt] x_{1,2}^2-16&=&0&\scriptsize{ \mid :3}\\[5pt] \dfrac{1}{3}x_{1,2}^2-\dfrac{16}{3}&=&0 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-16=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{16}{3}=0$.
d)   $\mathbb{L}=\left\{6;-6\right\}$
$x_1=6$ und $x_2=-6$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&36&\scriptsize{ \mid -36}\\[5pt] x_{1,2}^2-36&=&0&\scriptsize{ \mid \cdot(-5)}\\[5pt] -5x_{1,2}^2+180&=&0 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-36=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $-5x^2+180=0$.
e)   $\mathbb{L}=\left\{\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right\}$
$x_1=\frac{1}{2}$ und $x_2=-\frac{1}{2}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&\dfrac{1}{4}&\scriptsize{ \mid -\frac{1}{4}}\\[5pt] x_{1,2}^2-\dfrac{1}{4}&=&0&\scriptsize{ \mid \cdot4}\\[5pt] 4x_{1,2}^2-1&=&0 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-\dfrac{1}{4}=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $4x^2-1=0$.
f)   $\mathbb{L}=\left\{\sqrt{10};-\sqrt{10}\right\}$
$x_1=\sqrt{10}$ und $x_2=-\sqrt{10}$
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} x_{1,2}^2&=&10&\scriptsize{ \mid -10}\\[5pt] x_{1,2}^2-10&=&0&\scriptsize{ \mid -5}\\[5pt] x_{1,2}^2-15&=&-5 \end{array}$
Die einfachste reinquadratische Gleichung ist $x^2-10=0$. Eine weitere mögliche reinquadratische Gleichung ist $x^2-15=-5$.
3. Sei $x$ die Seitenlänge eines kleinen Quadrats. Dann ist:
  • $x^2$: Flächeninhalt eines kleinen Quadrats
  • $64x^2$: Flächeninhalt des gesamten Schachbretts
Folgende reinquadratische Gleichung beschreibt also den Flächeninhalt des Schachbretts:
$64x^2=1600$
Diese musst du nun nach $x$ auflösen.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 64x^2&=&1600&\scriptsize{ \mid :64}\\[5pt] x^2&=&25&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] x&=&\sqrt{25}\\[5pt] x_1&=&5\\[5pt] x_2&=&-5 \end{array}$
Das Ergebnis $x_2=-5$ macht in diesem Kontext keinen Sinn, da es keine negativen Seitenlängen gibt.
Die Seitenlänge eines Schachbrettfelds beträgt 5 cm.
4. Die Strecke (Fallhöhe) ist gegeben. Diese setzt du in die Formel ein und löst sie nach t auf.
$\begin{array}[t]{r@{ = }l@l} 500\;\text{m}&=&5\frac{\text{m}}{\text{sec}^2}\cdot t^2&\scriptsize{ \mid :5\dfrac{\text{m}}{\text{sec}^2}}\\[5pt] 100\;\text{sec}^2&=&t^2&\scriptsize{ \mid \sqrt{\;\;\;}}\\[5pt] t&=&\sqrt{100\;\text{sec}^2}\\[5pt] t_1&=&10\;\text{sec}\\[5pt] t_2&=&-10\;\text{sec}\\[5pt] \end{array}$
Da die gesuchte Größe eine Zeitspanne ist, macht die Lösung $t_2=-10\;\text{sec}$ keinen Sinn.
Der Stein schlägt nach 10 Sekunden auf dem Boden auf.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lernvideos
Download als Dokument:
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt Einzellizenz freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App