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Systeme quadratischer Gleichungen

Spickzettel
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Das quadratische Gleichungssystem zur Bestimmung der gemeinsamen Punkte einer Parabel $p: y=ax^2 +bx +c$ und einer Geraden $g: y=mx+d$ lautet wie folgt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& ax^2 + bx+c \\ \text{II}\quad& y&=& mx + d \\ \end{array}$
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& ax^2 + bx+c \\ \text{II}\quad& y&=& mx + d \\ \end{array}$
#gleichungssystem#schnittpunkt
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Einführungsaufgabe

a)
Bestimme die Schnittpunkte der Parabel $p: y=x^2-3x +2$ und der Geraden $g: y=-x+2 $.
b)
Welche Möglichkeiten gibt es für die Anzahl der Schnittpunkte zwischen einer Parabel und einer Gerade?
#geradengleichung#parabel#schnittpunkt

Aufgabe 1

Bestimme rechnerisch die Koordinaten der Schnittpunkte zu den gegebenen Funktionsgleichungen.
a)
$p: y=x^2-4$ und $g: y=\dfrac{1}{2}x-1$
b)
$p: y=x^2-3x -2$ und $g: y=-5x+2$
c)
$p: y=\dfrac{1}{2}x^2+2x+3$ und $g: y=x+2,5$
d)
$p: y=\dfrac{1}{2} \cdot (x-5)^2$ und $g: y=-2x+2$
#schnittpunkt

Aufgabe 2

Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 1: Abbildung mit Graphen
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 1: Abbildung mit Graphen
a)
Bestimme die Funktionsgleichungen zu den Graphen aus der Abbildung.
b)
Lese die Schnittpunkte der Parabeln mit der Geraden $g$ ab.
c)
Berechne die Schnittpunkte der Parabeln mit der Gerade $g$ und überprüfe die abgelesenen Werte.
#funktionsgleichung#schnittpunkt

Aufgabe 3

Bestimme grafisch die Koordinaten der Schnittpunkte der gegebenen Funktionsgleichungen.
a)
$p: y=\dfrac{1}{2}x^2$ und $g: y=-\dfrac{1}{2}x+1$
b)
$p: y=x^2-3x -1$ und $g: y=-3x-1$
c)
$p: y=(x-1)^2+1$ und $g: y=-x+2$
d)
$p: y=\dfrac{1}{3} \cdot (x-3)^2-2$ und $g: y=\dfrac{1}{3}x-4$
#funktionsgleichung#schnittpunkt
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Du sollst die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der Funktionsgleichung $p: y=x^2-3x+2$ und der Geraden $g$ mit der Funktionsgleichung $g: y=-x+2$ bestimmen. Hierfür hast du zwei verschiedene Möglichkeiten. Du kannst die Koordinaten der Schnittpunkte grafisch oder rechnerisch bestimmen.
1. Rechnerische Lösung:
Bestimme zuerst das quadratische Gleichungssystem für die Parabel $p: y=x^2-3x+2$ und der Geraden $g: y=-x+2$. Schreibe dazu die jeweiligen Funktionsgleichungen untereinander und benenne die jeweilige Gleichung. Für das quadratische Gleichungssystem gilt mit der Funktionsgleichung der Parabel und der Geraden:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& x^2 -3x +2 \\ \text{II}\quad& y&=& -x+2 \\ \end{array}$
Dieses quadratische Gleichungssystem kannst du mit den Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichungssystems lösen. Du hast in diesem Gleichungssystem zwei verschiedene Gleichungen gegeben und hast insgesamt zwei Unbekannte. Zuerst kannst du somit die beiden Gleichungen gleichsetzen und nach $x$ auflösen. Es folgt mit $\text{I}=\text{II}$:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-3x+2&=& -x+2&\quad \scriptsize \mid\; +x\\[5pt] x^2-2x+2&=& 2&\quad \scriptsize \mid\; -2\\[5pt] x^2-2x&=& 0\\[5pt] \end{array}$
$x^2-2x= 0\\[5pt] $
Die Gleichung kannst du nun durch Ausklammern lösen. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-2x&=& 0\\[5pt] x \cdot (x-2)&=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt, dass die erste Lösung $x_1=0$ ist und die zweite Lösung $x_2=2$ ist. Dadurch hast du die $x$-Koordinaten der Schnittpunkte bestimmt. Diese $x$-Koordinaten kannst du anschließend in eine der beiden oberen Funktionsgleichungen einsetzen und daraus die $y$-Koordinate des jeweiligen Schnittpunkts bestimmen. Es folgt mit der Funktionsgleichung für die Gerade $g$:
$\begin{array}[t]{rll} y_1&=& -x_1+2\\[5pt] &=& -0+2\\[5pt] &=& 2\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2&=& -x_2+2\\[5pt] &=& -2+2\\[5pt] &=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit besitzen die Schnittpunkte die Koordinaten $S_1(0 \mid 2)$ und $S_2(2 \mid 0)$.
2. Grafische Lösung:
Du kannst die Schnittpunkte der Parabel $p$ und der Geraden $g$ grafisch bestimmen. Zeichne dazu die Graphen der gegebenen Funktionsgleichungen in ein geeignetes Koordinatensystem und lese anschließend die Koordinaten der Schnittpunkte ab. Hierbei folgt folgende grafische Darstellung:
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 1: Parabel und Gerade
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 1: Parabel und Gerade
Aus der grafischen Darstellung kannst du die Koordinaten der Schnittpunkte ablesen. Es gilt $S_1(0 \mid 2)$ und $S_2(2 \mid 0)$.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Schnittpunkte angeben
Du sollst die Möglichkeiten angeben, welche es für die Anzahl der Schnittpunkte einer Parabel und einer Gerade gibt.
Eine Gerade kann zwei Schnittpunkte besitzen, da eine quadratische Gleichung zwei mögliche Lösungen besitzen kann. Eine Gerade kann auch genau einen Schnittpunkt mit der Parabel besitzen. Dann ist die Gerade eine Tangente zur Parabel. Eine Gerade und eine Parabel können auch keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen, da eine quadratische Gleichung auch nicht lösbar sein kann.
Somit kann eine Gerade und eine Parabel zwei, genau einen oder keinen Schnittpunkt besitzen.
#gleichsetzungsverfahren#gleichungssystem

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte für die Parabel $p$ mit der Funktionsgleichung $p: y=x^2- 4$ und der Gerade $g$ mit der Funktionsgleichung $g: y= \dfrac{1}{2}x-1$ bestimmen. Bestimme dazu zuerst das quadratische Gleichungssystem durch die gegebenen Funktionsgleichungen. Hierbei gilt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& x^2-4 \\ \text{II}\quad& y&=& \dfrac{1}{2}x-1 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -4&=&\dfrac{1}{2}x-1 &\quad \scriptsize \mid\; -\dfrac{1}{2}x+1 \\[5pt] x^2 -\dfrac{1}{2}x-3&=& 0 \end{array}$
$x^2 -\dfrac{1}{2}x-3= 0$
Diese gemischtquadratische Gleichung kannst du mit der Lösungsformel oder auch $a-b-c$-Formel lösen. Die Lösungsformel für eine gemischtquadratische Gleichung mit der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ lautet:
$x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$x_{1,2}=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
Hierbei gilt $a=1$, $b=-\dfrac{1}{2}$ und $c=-3$. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{\left(-\frac{1}{2}\right)^2-4\cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{2} \pm \sqrt{12,25}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{\frac{1}{2} \pm 3,5}{2} \\[5pt] x_1&=& 2 \\[5pt] x_2&=& -1,5 \end{array}$
$x_{1,2}= \dotsc $
Anschließend kannst du die $y$-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen, indem du die berechneten $x$-Koordinaten in eine der gegebene Funktionsgleichung einsetzt. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=&\dfrac{1}{2}x-1 \\[5pt] y_1&=&\dfrac{1}{2}x_1-1 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot 2-1 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2&=&\dfrac{1}{2}x_2-1 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2} \cdot (-1,5)-1 \\[5pt] &=& -1,75 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $S_1(2 \mid 0)$ und $S_2(-1,5 \mid -1,75)$
b)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte für die Parabel $p$ mit der Funktionsgleichung $p: y=x^2-3x- 2$ und der Gerade $g$ mit der Funktionsgleichung $g: y= -5x+2$ bestimmen. Bestimme dazu zuerst das quadratische Gleichungssystem durch die gegebenen Funktionsgleichungen. Es folgt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& x^2-3x-2 \\ \text{II}\quad& y&=& -5x+2 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2 -3x-2&=& -5x+2 &\quad \scriptsize \mid\; +5x-2 \\[5pt] x^2 +2x-4&=& 0 \end{array}$
$x^2 +2x-4= 0 $
Diese gemischtquadratische Gleichung kannst du mit der Lösungsformel oder auch $a-b-c$-Formel lösen.
Hierbei gilt $a=1$, $b=+2$ und $c=-4$. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2-4\cdot 1 \cdot -4}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm 2 \cdot \sqrt{5}}{2} \\[5pt] x_1&=& -1+ \sqrt{5}\\[5pt] x_2&=& -1- \sqrt{5} \end{array}$
$ x_{1,2}=\dotsc$
Anschließend kannst du die $y$-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen, indem du die berechneten $x$-Koordinaten in eine der gegebenen Funktionsgleichung einsetzt. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -5x+2 \\[5pt] y_1&=& -5x_1+2 \\[5pt] &=& -5\cdot (-1+ \sqrt{5})+2 \\[5pt] &=& 5- 5\cdot \sqrt{5}+2 \\[5pt] &=& 7- 5\cdot \sqrt{5} \\[5pt] \end{array}$
$y_1= 7- 5\cdot \sqrt{5}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2&=& -5x_2 + 2 \\[5pt] &=& -5 \cdot(-1- \sqrt{5}) + 2\\[5pt] &=& 7+ 5 \cdot \sqrt{5}\\[5pt] \end{array}$
$ y_2= 7+ 5 \cdot \sqrt{5}$
Somit gilt $S_1(-1+ \sqrt{5} \mid 7- 5\cdot \sqrt{5})$ und $S_2(-1- \sqrt{5} \mid 7+ 5 \cdot \sqrt{5})$.
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte für die Parabel $p$ mit der Funktionsgleichung $p: y=\dfrac{1}{2}x^2+2x +3$ und der Gerade $g$ mit der Funktionsgleichung $g: y= x+2,5$ bestimmem. Bestimme dazu zuerst das quadratische Gleichungssystem durch die gegebenen Funktionsgleichungen. Es folgt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& \dfrac{1}{2}x^2+2x +3 \\ \text{II}\quad& y&=& x+2,5 \\ \end{array}$
$\text{I}: \dotsc$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}x^2+2x +3 &=& x+2,5 &\quad \scriptsize \mid\; -x-2,5 \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^2+x +0,5&=& 0 \end{array}$
$ \dfrac{1}{2}x^2+x +0,5= 0$
Diese gemischtquadratische Gleichung kannst du mit der Lösungsformel oder auch $a-b-c$-Formel lösen.
Hierbei gilt $a=\dfrac{1}{2}$, $b=+1$ und $c=0,5$. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{1^2-4\cdot \frac{1}{2} \cdot 0,5}}{2 \cdot \frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \dfrac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{1-1}}{1} \\[5pt] &=& \dfrac{-\frac{1}{2} \pm \sqrt{0}}{1} \\[5pt] x_1&=& -\dfrac{1}{2}\\[5pt] \end{array}$
$ x_1=-\dfrac{1}{2}$
Somit besitzt die Parabel $p$ und die Gerade $g$ nur einen gemeinsamen Schnittpunkt. Anschließend kannst du die $y$-Koordinate des Schnittpunktes berechnen, indem du die berechnete $x$-Koordinate in eine der gegebenen Funktionsgleichungen einsetzt. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& x+2,5 \\[5pt] y_1&=& x_1+2,5 \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} +2,5 \\[5pt] &=& 2\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $S_1\left(-\dfrac{1}{2} \Bigg| 2 \right)$.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte bestimmen
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte für die Parabel $p$ mit der Funktionsgleichung $p: y=\dfrac{1}{2} \cdot (x-5)^2$ und der Gerade $g$ mit der Funktionsgleichung $g: y= -2x+2$ bestimmen. Bestimme dazu zuerst das quadratische Gleichungssystem durch die gegebenen Funktionsgleichungen. Es folgt:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& \dfrac{1}{2} \cdot (x-5)^2 \\ \text{II}\quad& y&=& -2x+2 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2} \cdot (x-5)^2&=& -2x+2 \\[5pt] \dfrac{1}{2} \cdot (x^2-10x +25)&=& -2x+2 &\quad \scriptsize \mid\; +5x-2 \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^2-5x +12,5&=& -2x+2 &\quad \scriptsize \mid\; +2x-2 \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^2-3x +10,5&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$\dfrac{1}{2}x^2-3x +10,5= 0$
Diese gemischtquadratische Gleichung kannst du mit der Lösungsformel oder auch $a-b-c$-Formel lösen.
Hierbei gilt $a=\dfrac{1}{2}$, $b=-3$ und $c=+10,5$. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{(-3)^2-4\cdot \frac{1}{2} \cdot 10,5}}{2 \cdot \frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{9-21}}{2 \cdot \frac{1}{2}} \\[5pt] &=& \dfrac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2 \cdot \frac{1}{2}} \\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2} = \dotsc$
Da der Ausdruck unter der Wurzel negativ ist kannst du die Wurzel nicht berechnen. Somit besitzt die Parabel $p$ und die Gerade $g$ keinen gemeinsamen Schnittpunkt.
#abc-formel

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Funktionsgleichungen bestimmen
Du sollst die Funktionsgleichungen zu den Graphen aus der Abbildung bestimmen. Betrachte hierzu den Scheitelpunkt der Parabeln, die Nullstellen, die Streckung oder Stauchung und die Verschiebung in $y$-Richtung.
An der Parabel $p$ kannst du erkennen, dass sie Nullstellen bei $x_1=1$ und $x_2=2$ besitzt. Außerdem besitzt die Parabel den Streckungsfaktor $a=1$. Daraus folgt für die Funktionsgleichung der Parabel $p$ in der Linearfaktorform:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& a\cdot (x-x_1) \cdot (x-x_2) \\[5pt] &=& 1\cdot (x-1) \cdot (x-2) \\[5pt] &=& x^2-x -2x +2 \\[5pt] &=& x^2 -3x +2 \\[5pt] \end{array}$
$y=x^2 -3x +2$
Somit gilt $p: y=x^2-3x+2$.
Die Parabel $h$ besitzt einen Scheitelpunkt an dem Punkt $(1,5 \mid 1)$ und der Streckungsfaktor $a$ beträgt $a=\dfrac{1}{2}$. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Parabel $h$ in der Scheitelpunktsform mit dem Scheitelpunkt $S(x_S \mid y_S)$:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& a\cdot (x-x_S)^2 +y_S \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (x-1,5)^2 +1 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2} \cdot (x^2-3x +2,25) +1 \\[5pt] &=& \dfrac{1}{2}x^2-1,5x +2,125 \\[5pt] \end{array}$
$y= \dotsc $
Die Parabel $s$ besitzt einen Scheitelpunkt an dem Punkt $(3 \mid -1)$ und der Streckungsfaktor $a$ beträgt $a=1$. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Parabel $s$ in der Scheitelpunktsform mit dem Scheitelpunkt $S(x_S \mid y_S)$:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& a\cdot (x-x_S)^2 +y_S \\[5pt] &=& 1\cdot (x-3)^2 -1 \\[5pt] &=& x^2-6x +9-1 \\[5pt] &=& x^2-6x +8 \\[5pt] \end{array}$
$y=\dotsc$
Du musst noch die Funktionsgleichung der Geraden $g$ bestimmen. Die Gerade $g$ besitzt die Steigung $m=-1$ und schneidet die $y$-Achse an der Stelle $b=2$. Somit gilt für die Funktionsgleichung der Geraden $g$:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& mx+b \\[5pt] &=& -x +2\\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte ablesen
Du sollst die Schnittpunkte der Parabeln mit der Geraden $g$ ablesen. Betrachte hierfür die in der Aufgabenstellung gegebene Abbildung und lese die Koordinaten der Schnittpunkte ab.
Für die Schnittpunkte der Parabel $p$ mit der Geraden $g$ gilt $S_{p1}(0 \mid 2)$ und $S_{p2}(2 \mid 0)$.
Für den Schnittpunkt der Parabel $h$ mit der Geraden $g$ gilt $S_h(0,5 \mid 1,5)$.
Für die Schnittpunkte der Parabel $s$ mit der Geraden $g$ gilt $S_{s1}(2 \mid 0)$ und $S_{s2}(-1 \mid 3)$.
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte berechnen
Du sollst die Koordinaten der Schnittpunkte der Parabeln mit der Geraden $g$ berechnen. Bestimme somit für die jeweilige Funktionsgleichung einer Parabel und der Geraden das quadratische Gleichungssystem und löse dieses. In der vorherigen Teilaufgabe hast du bereits die Funktionsgleichungen für die Parabeln und für die Gerade bestimmt. Hierbei gilt $p: y=x^2-3x+2$, $h: y=\dfrac{1}{2}x^2-1,5x +2,125$, $s: y=x^2-6x +8$ und $g: y=-x +2$.
Für die Parabel $p$ und die Gerade $g$ ergibt sich das folgende quadratische Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& x^2-3x+2 \\ \text{II}\quad& y&=& -x +2 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-3x+2&=& -x +2 &\quad \scriptsize \mid\; +x-2 \\[5pt] x^2 -2x&=& 0 \\[5pt] x \cdot (x -2)&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$x \cdot (x -2)= 0 $
Somit gilt als mögliche Lösungen für die Gleichung $x_1=0$ und $x_2=2$.
Anschließend kannst du die $y$-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen, indem du die berechneten $x$-Koordinaten in die gegebene Funktionsgleichung einsetzt. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x +2\\[5pt] y_1&=& -0 + 2 \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2&=& -x_2 +2\\[5pt] &=& -2 +2 \\[5pt] &=& 0 \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $S_{p1}(0 \mid 2)$ und $S_{p2}(2 \mid 0)$ und die Koordinaten der Schnittpunkte stimmen mit den abgelesenen Koordinaten der Schnittpunkte der Parabel $p$ und der Geraden $g$ überein.
Für die Parabel $h$ und die Gerade $g$ gilt folgendes quadratisches Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& \dfrac{1}{2}x^2-1,5x +2,125 \\ \text{II}\quad& y&=& -x +2 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{1}{2}x^2-1,5x +2,125&=& -x +2 &\quad \scriptsize \mid\; +x-2 \\[5pt] \dfrac{1}{2}x^2 -0,5x +0,125&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] x^2 -x + 0,25&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ x^2 -x + 0,25= 0$
Diese gemischtquadratische Gleichung kannst du mit der Lösungsformel oder auch $a-b-c$-Formel lösen.
Hierbei gilt $a=1$, $b=-1$ und $c=+0,25$. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{+1 \pm \sqrt{(-1)^2-4\cdot 1 \cdot 0,25}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{+1 \pm \sqrt{0}}{2} \\[5pt] x&=& \dfrac{1}{2} \\[5pt] \end{array}$
$x= \dfrac{1}{2} $
Anschließend kannst du die $y$-Koordinate des Schnittpunkts berechnen, indem du die berechnete $x$-Koordinate in eine der gegebenen Funktionsgleichung einsetzt. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x+2 \\[5pt] y&=& -\dfrac{1}{2} +2 \\[5pt] &=& \dfrac{3}{2} \\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $S_h \left( \dfrac{1}{2} \bigg| \dfrac{3}{2} \right)$ und die Koordinaten entsprechen den abgelesenen Koordinaten.
Für die Parabel $s$ und die Gerade $g$ gilt folgendes quadratisches Gleichungssystem:
$\begin{array}{} \text{I}\quad& y&=& x^2-6x +8 \\ \text{II}\quad& y&=& -x +2 \\ \end{array}$
Mit $\text{I}=\text{II}$ folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x^2-6x +8&=& -x +2 &\quad \scriptsize \mid\; +x-2 \\[5pt] x^2-5x +6&=& 0 \\[5pt] \end{array}$
$ x^2-5x +6= 0 $
Diese gemischtquadratische Gleichung kannst du mit der Lösungsformel oder auch $a-b-c$-Formel lösen.
Hierbei gilt $a=1$, $b=-5$ und $c=+6$. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& \dfrac{+5 \pm \sqrt{(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} \\[5pt] &=& \dfrac{+5 \pm \sqrt{1}}{2} \\[5pt] x_1&=& 3 \\[5pt] x_2&=& 2 \\[5pt] \end{array}$
$x_{1,2}=\dotsc$
Anschließend kannst du die $y$-Koordinaten der Schnittpunkte berechnen, indem du die berechnete $x$-Koordinate in die gegebene Funktionsgleichung einsetzt. Es folgt:
$\begin{array}[t]{rll} y&=& -x+2 \\[5pt] y_1&=& -3 +2 \\[5pt] &=& -1\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} y_2&=& -2 +2 \\[5pt] &=& 0\\[5pt] \end{array}$
Somit gilt $S_{s1}(2 \mid 0)$ und $S_{s2}(-1 \mid 3)$ und damit hast du die abgelesenen Koordinaten der Schnittpunkte bestätigt.
#geradengleichung#parabelgleichung#scheitelpunktform

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte grafisch bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du grafisch die Schnittpunkte der gegebenen Funktionsgleichungen bestimmen. Zeichne dazu die Graphen der gegebenen Funktionsgleichungen in ein geeignetes Koordinatensystem. Du hast hierbei die Parabel $p:y=\dfrac{1}{2}x^2$ und die Gerade $g: y=-\dfrac{1}{2}x+1$ gegeben. Hierdurch ergibt sich folgendes Schaubild für die Funktionsgraphen:
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 2: Funktionsgraphen
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 2: Funktionsgraphen
Aus der Abbildung kannst du die Werte der Koordinaten der Schnittpunkte herauslesen. Für die Koordinaten der Schnittpunkte gilt $S_1(-2 \mid 2)$ und $S_2(1 \mid 0,5)$.
b)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte grafisch bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du grafisch die Schnittpunkte der Graphen der gegebenen Funktionsgleichungen bestimmen. Zeichne dazu die gegebenen Funktionsgleichungen in ein geeignetes Koordinatensystem. Du hast hierbei die Parabel $p:y=x^2-3x-1$ und die Gerade $g: y=-3x-1$ gegeben. Durch die Funktionsgraphen ergibt sich folgendes Schaubild:
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 3: Funktionsgraphen
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 3: Funktionsgraphen
Aus der Abbildung kannst du den Wert der Koordinaten des Schnittpunktes herauslesen. Für die Koordinaten des Schnittpunktes gilt $S(0 \mid -1)$.
c)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte grafisch bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du grafisch die Schnittpunkte der Graphen der gegebenen Funktionsgleichungen bestimmen. Zeichne dazu die gegebenen Funktionsgleichungen in ein geeignetes Koordinatensystem. Du hast hierbei die Parabel $p:y=(x-1)^2+1$ und die Gerade $g: y=-x+2$ gegeben. Durch die Funktionsgraphen ergibt sich folgendes Schaubild:
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 4: Funktionsgraphen
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 4: Funktionsgraphen
Aus der Abbildung kannst du die Werte der Koordinaten der Schnittpunkte herauslesen. Für die Koordinaten der Schnittpunkte gilt $S_1(0 \mid 2)$ und $S_2(1 \mid 1)$.
d)
$\blacktriangleright$  Schnittpunkte grafisch bestimmen
In dieser Teilaufgabe sollst du grafisch die Schnittpunkte der Graphen der gegebenen Funktionsgleichungen bestimmen. Zeichne dazu die gegebenen Funktionsgleichungen in ein geeignetes Koordinatensystem. Du hast hierbei die Parabel $p:y=\dfrac{1}{3} \cdot (x-3)^2 -2$ und die Gerade $g: y=\dfrac{1}{3}x-4$ gegeben. Durch die Funktionsgleichungen ergibt sich folgendes Schaubild:
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 5: Funktionsgraphen
Quadratische Gleichungen: Systeme quadratischer Gleichungen
Abb. 5: Funktionsgraphen
Aus der Abbildung kannst du ablesen, dass die Parabel $p$ und die Gerade $g$ keinen gemeinsamen Schnittpunkt besitzen.
#graph
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