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Wurzelgleichungen

Spickzettel
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Eine Wurzelgleichung ist eine Gleichung bei der die Variable im Term unter eine Wurzel steht. Ein Beispiel hierfür ist $\sqrt{ax^2+bx+c}= d$.
Den Term unter einer Wurzel nennt man Radikand. Du weißt hierbei, dass du die Wurzel nur für Radikanden größer gleich Null berechnen kannst. Gehe beim Lösen einer Wurzelgleichung folgendermaßen vor:
  • Bestimme die Definitionsmenge $D$ der gegebenen Wurzelgleichung. Hierfür mussen alle Radikanden größer gleich Null sein.
  • Quadriere die Wurzelgleichung auf beiden Seiten.
  • Bestimme die Lösungsmenge der quadrierten Wurzelgleichung durch Äquivalenzumformungen.
  • Überprüfe die Werte der Lösungsmenge mit den Werten der Definitionsmenge. Streiche Werte aus der Lösungsmenge, welche nicht in der Definitionsmenge liegen.
#wurzelgleichung#lösungsmenge#definitionsbereich
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Einführungsaufgabe

a)
Was versteht man unter einer Wurzelgleichung?
b)
Bestimme die Defintionsmenge von $\sqrt{4-x}=3$.
c)
Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
#lösungsmenge#wurzelgleichung#definitionsbereich

Aufgabe 1

Bestimme zuerst die Definitions- und anschließend die Lösungsmenge.
b)
$\sqrt{x}+3=7$
d)
$\sqrt{x-4}=5$
f)
$\sqrt{\left(x-1\right)^2}=3$
#wurzelgleichung#definitionsbereich#lösungsmenge

Aufgabe 2

Bestimme die Definitionsmenge und löse danach die Gleichung.
b)
$\sqrt{10-x}=\sqrt{x+2}$
d)
$\frac{1}{3}\cdot \sqrt{4x+8}=\sqrt{x+2}$
#definitionsbereich#wurzelgleichung#lösungsmenge

Aufgabe 3

Berechne die Lösung der Gleichung.
b)
$x-\sqrt{x-4}=10$
d)
$x+\sqrt{2\cdot \left(x+3\right)}=2$
f)
$\sqrt{x+8}=2-x$
#wurzelgleichung#lösungsmenge
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Definition Wurzelgleichung
Kommt in einer Gleichung im Radikanden einer Wurzel die Variable vor, so spricht man von einer Wurzelgleichung. Zum Beispiel ist $\sqrt{x}=5$ eine Wurzelgleichung.
Um die Gleichung lösen zu können, muss jede Wurzel definiert sein.
b)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Um die Defintionsmenge bestimmen zu können, betrachtest du den Radikanden der Wurzel. Dieser muss immer größer gleich Null sein, da die Wurzel sonst nicht definiert ist.
$\begin{array}[t]{rll} 4-x&\geq& 0&\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 4 &\geq& x \end{array}$
Somit gilt für die Definitionsmenge $\mathbb{D}=\{x \mid x\leq 4\}$.
c)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Damit du die Lösungsmenge bestimmen kannst, formst du die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformungen um, bis du den Wert für $x$ erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4-x}&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Quadrieren} \\[5pt] \left(\sqrt{4-x}\right)^2&=& 3^2 \\[5pt] 4-x &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 4 &=& 9+x &\quad \scriptsize \mid\; -9 \\[5pt] -5 &=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4-x}&=& 3 \\[5pt] 4-x &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; +x \\[5pt] 4 &=& 9+x &\quad \scriptsize \mid\; -9 \\[5pt] -5 &=& x \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-5\}$.
#definitionsbereich#wurzelgleichung#lösungsmenge

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte den Radikanden, um die Definitionsmenge bestimmen zu können. Dieser muss größer gleich Null sein, da die Wurzel ansonsten nicht definiert ist.
$\begin{array}[t]{rll} x&\geq& 0 \end{array}$
Die Definitionsmenge ist $\mathbb{D}=\{x \mid x \geq 0\}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Forme mithilfe von Äquivalenzumformungen solange um, bis du den Wert für $x$ erhältst.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}&=& 4 &\quad \scriptsize \mid\; \text{Quadrieren}\\[5pt] x&=& 4^2 \\[5pt] x&=& 16 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{16\}$.
b)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte den Radikanden.
$\begin{array}[t]{rll} x&\geq& 0 \end{array}$
Die Definitionsmenge ist $\mathbb{D}=\{x \mid x \geq 0\}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x}+3&=& 7 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] x+3^2&=& 7^2 \\[5pt] x+9 &=& 49 &\quad \scriptsize \mid\;-9\\[5pt] x &=& 40 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{40\}$.
c)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte den Radikanden.
$\begin{array}[t]{rll} x+2&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x &\geq& -2 \end{array}$
Die Definitionsmenge ist $\mathbb{D}=\{x \mid x \geq -2\}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x+2}&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] x+2&=& 9^2 \\[5pt] x+2 &=& 81 &\quad \scriptsize \mid\;-2\\[5pt] x &=& 79 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{79\}$.
d)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte den Radikanden.
$\begin{array}[t]{rll} x-4&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] x &\geq& 4 \end{array}$
Die Definitionsmenge ist $\mathbb{D}=\{x \mid x \geq 4\}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x-4}&=& 5 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] x-4&=& 5^2 \\[5pt] x-4 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\;+4\\[5pt] x &=& 29 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{29\}$.
e)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte den Radikanden.
$\begin{array}[t]{rll} x-8&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+8 \\[5pt] x &\geq& 8 \end{array}$
Die Definitionsmenge ist $\mathbb{D}=\{x \mid x \geq 8\}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x-8}&=& 12 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] x-8&=& 12^2 \\[5pt] x-8 &=& 144 &\quad \scriptsize \mid\;+8\\[5pt] x &=& 152 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x-8}&=& 12 \\[5pt] x-8 &=& 144 &\quad \scriptsize \mid\;+8\\[5pt] x &=& 152 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{152\}$.
f)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte den Radikanden. Da der Radikand quadriert wird, ist er immer größer gleich Null, weshalb alle Werte für $x$ zulässig sind. Somit ist $\mathbb{D}=\mathbb{R}$.
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
Löse die Gleichung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\left(x-1\right)^2}&=& 3 &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] \left(x-1\right)^2&=& 3^2 \\[5pt] \left(x-1\right)^2&=& 9 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] x-1 &=& \pm 3 &\quad \scriptsize \mid\;+1 \\[5pt] x &=& 1 \pm 3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\left(x-1\right)^2}&=& 3 \\[5pt] \left(x-1\right)^2&=& 9 \\[5pt] x &=& 1 \pm 3 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{1-3;1+3\}=\{-2;4\}$.
#definitionsbereich#wurzelgleichung#lösungsmenge

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte nun wieder die Radikanden. Die Defintionsmenge der Gleichung ist die Schnittmenge der Definitionsmengen der beiden Wurzeln.
$\begin{array}[t]{rll} 8x+32&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-32 \\[5pt] 8x&\geq& -32 &\quad \scriptsize \mid\;:8 \\[5pt] x &\geq& \dfrac{-32}{8} \\[5pt] x &\geq& -4 \end{array}$
$\mathbb{D_2}=\{x \mid x \geq -4\}$.
Die Definitionsmenge ist damit $\mathbb{D}= \mathbb{D_1} \cap \mathbb{D_2} = \{x \mid x \geq 0,5\}$.
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Löse die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{12x-6}&=& \sqrt{8x+32} &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] 12x-6 &=& 8x+32 &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] 12x &=& 8x+38 &\quad \scriptsize \mid\;-8x \\[5pt] 4x &=& 38 &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] x &=& 9,5 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{12x-6}&=& \sqrt{8x+32}\\[5pt] 12x-6 &=& 8x+32 \\[5pt] 4x &=& 38 \\[5pt] x &=& 9,5 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{9,5\}$.
b)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte nun wieder die Radikanden.
$\begin{array}[t]{rll} x+2&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x&\geq& -2 \end{array}$
$\mathbb{D_2}=\{x \mid x \geq -2\}$.
Die Definitionsmenge ist damit $\mathbb{D}= \mathbb{D_1} \cap \mathbb{D_2} = \{-2 \leq x \leq 10\}$.
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Löse die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{10-x}&=& \sqrt{x+2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] 10-x &=& x+2 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] 10 &=& 2x+2 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] 8 &=& 2x &\quad \scriptsize \mid\;:2 \\[5pt] 4 &=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{10-x}&=& \sqrt{x+2} \\[5pt] 10-x &=& x+2 \\[5pt] 8 &=& 2x \\[5pt] 4 &=& x \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{4\}$.
c)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte die Radikanden.
$\begin{array}[t]{rll} x-5&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+5 \\[5pt] x&\geq& 5 \end{array}$
$\mathbb{D_2}=\{x \mid x \geq 5\}$.
Die Definitionsmenge ist damit $\mathbb{D}= \mathbb{D_1} \cap \mathbb{D_2} = \{x \mid x \geq 5\}$.
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Löse die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot \sqrt{x-3}&=& 8 \cdot\sqrt{x-6} &\quad \scriptsize \mid\;:4 \\[5pt] \sqrt{x-3}&=& 2 \cdot\sqrt{x-6} &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] x-3 &=& 2^2 \cdot \left(x-6\right) \\[5pt] x-3 &=& 4 \cdot \left(x-6\right) \\[5pt] x-3 &=& 4x-24 &\quad \scriptsize \mid\;+24\\[5pt] x+21 &=& 4x &\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] 21 &=& 3x &\quad \scriptsize \mid\;:3 \\[5pt] 7 &=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot \sqrt{x-3}&=& 8 \cdot\sqrt{x-6} \\[5pt] x-3 &=& 2^2 \cdot \left(x-6\right) \\[5pt] 21 &=& 3x \\[5pt] 7 &=& x \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{7\}$.
d)
$\blacktriangleright$  Definitionsmenge bestimmen
Betrachte die Radikanden.
$\begin{array}[t]{rll} x+2&\geq& 0 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] x&\geq& -2 \end{array}$
$\mathbb{D_2}=\{x \mid x \geq -2\}$.
Die Definitionsmenge ist damit $\mathbb{D}= \mathbb{D_1} \cap \mathbb{D_2} = \{x \geq -2\}$.
$\blacktriangleright$  Gleichung lösen
Löse die Gleichung mithilfe von Äquivalenzumformung nach $x$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{3} \cdot \sqrt{4x+8}&=& \sqrt{x+2} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot 3 \\[5pt] \sqrt{4x+8}&=& 3 \cdot\sqrt{x+2} &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] 4x+8 &=& 3^2 \cdot \left(x+2\right) \\[5pt] 4x+8 &=& 9 \cdot \left(x+2\right) \\[5pt] 4x+8 &=& 9x+18 &\quad \scriptsize \mid\;-18\\[5pt] 4x-10 &=& 9x &\quad \scriptsize \mid\;-4x \\[5pt] -10 &=& 5x &\quad \scriptsize \mid\;:5 \\[5pt] -2 &=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \frac{1}{3} \cdot \sqrt{4x+8}&=& \sqrt{x+2} \\[5pt] 4x+8 &=& 3^2 \cdot \left(x+2\right) \\[5pt] -10 &=& 5x \\[5pt] -2 &=& x \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-2\}$.
#wurzelgleichung#lösungsmenge#definitionsbereich

Aufgabe 3

Ermittle mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösungsmenge. Gehe vor wie in den Aufgaben zuvor.
a)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x-\sqrt{x}&=& 8 &\quad \scriptsize \mid\;+\sqrt{x} \\[5pt] x&=& 8+\sqrt{x} &\quad \scriptsize \mid\;-8 \\[5pt] x-8 &=& \sqrt{x} &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] \left(x-8\right)^2 &=& x \\[5pt] x^2-16x+64 &=& x &\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] x^2-17x+64 &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x-\sqrt{x}&=& 8 \\[5pt] x^2-17x+64 &=& 0 \end{array}$
Nun kannst du mit der pq-Formel die Lösungsmenge bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\left(\dfrac{-17}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\dfrac{-17}{2}\right)^2-64} \\[5pt] &=& 8,5 \pm \sqrt{\left(-8,5\right)^2-64} \\[5pt] &=& 8,5 \pm \sqrt{72,25-64} \\[5pt] &=& 8,5 \pm \sqrt{8,25} \\[5pt] &\approx& 8,5 \pm 2,87 \\[10pt] x_1&\approx& 8,5-2,87 \quad \approx 5,63 \\[5pt] x_2&\approx& 8,5+2,87 \quad \approx 11,37 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& 8,5 \pm \sqrt{8,25} \\[10pt] x_1&\approx& 5,63 \\[5pt] x_2&\approx& 11,37 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{5,63; 11,37\}$.
b)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x-\sqrt{x-4}&=& 10 &\quad \scriptsize \mid\;+\sqrt{x-4} \\[5pt] x&=& 10+\sqrt{x-4} &\quad \scriptsize \mid\;-10 \\[5pt] x-10 &=& \sqrt{x-4} &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] \left(x-10\right)^2 &=& x-4 \\[5pt] x^2-20x+100 &=& x-5 &\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] x^2-21x+100 &=& -5 &\quad \scriptsize \mid\;+4 \\[5pt] x^2-21x+104 &=& 0 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x-\sqrt{x-4}&=& 10 \\[5pt] x^2-21x+104 &=& 0 \end{array}$
Mit der pq-Formel kannst du die Lösungsmenge bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\left(\dfrac{-21}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\dfrac{-21}{2}\right)^2-104} \\[5pt] &=& 10,5 \pm \sqrt{\left(-10,5\right)^2-104} \\[5pt] &=& 10,5 \pm \sqrt{110,25-104} \\[5pt] &=& 10,5 \pm \sqrt{6,25} \\[5pt] &=& 10,5 \pm 2,5 \\[10pt] x_1&=& 10,5-2,5 \quad = 8 \\[5pt] x_2&=& 10,5+2,5 \quad = 13 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& 10,5 \pm \sqrt{6,25} \\[10pt] x_1&=& 8 \\[5pt] x_2&=& 13 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{8; 13\}$.
c)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x+\sqrt{3x+2}&=& 7 &\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] \sqrt{3x+2}&=& 7-x &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] 3x+2 &=& \left(7-x\right)^2 \\[5pt] 3x+2 &=& 49-14x+x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-3x \\[5pt] 2 &=& 49-17x+x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-2 \\[5pt] 0 &=& x^2-17x+47 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x+\sqrt{3x+2}&=& 7 \\[5pt] x^2-17x+47 &=& 0 \end{array}$
Mit der pq-Formel kannst du die Lösungsmenge bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\left(\dfrac{-17}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\dfrac{-17}{2}\right)^2-47} \\[5pt] &=& 8,5 \pm \sqrt{\left(-8,5\right)^2-47} \\[5pt] &=& 8,5 \pm \sqrt{72,25-47} \\[5pt] &=& 8,5 \pm \sqrt{25,25} \\[5pt] &\approx& 8,5 \pm 5,02 \\[10pt] x_1&\approx& 8,5-5,02 \quad \approx 3,48 \\[5pt] x_2&\approx& 8,5+5,02 \quad \approx 13,52 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& 8,5 \pm \sqrt{25,25} \\[10pt] x_1&\approx& 3,48 \\[5pt] x_2&\approx& 13,52 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{3,48; 13,52\}$.
d)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x+\sqrt{2 \cdot \left(x+3\right)}&=& 2 \\[5pt] x+\sqrt{2x+6}&=& 2 &\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] \sqrt{2x+6}&=& 2-x &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] 2x+6 &=& \left(2-x\right)^2 \\[5pt] 2x+6 &=& 4-4x+x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-2x \\[5pt] 6 &=& 4-6x+x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-6 \\[5pt] 0 &=& x^2-6x-2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x+\sqrt{2 \cdot \left(x+3\right)}&=& 2 \\[5pt] x^2-6x-2 &=& 0 \end{array}$
Mit der pq-Formel kannst du die Lösungsmenge bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\left(\dfrac{-6}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\dfrac{-6}{2}\right)^2+2} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{\left(-3\right)^2+2} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{9+2} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{11} \\[5pt] &\approx& 3 \pm 3,32 \\[10pt] x_1&\approx& 3-3,32 \quad \approx -0,32 \\[5pt] x_2&\approx& 3+3,32 \quad \approx 6,32 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& 3 \pm \sqrt{11} \\[10pt] x_1&\approx& -0,32 \\[5pt] x_2&\approx& 6,32 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-0,32; 6,32\}$.
e)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} x+\sqrt{3 \cdot \left(x+4\right)}&=& -2 \\[5pt] x+\sqrt{3x+12}&=& -2 &\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] \sqrt{3x+12}&=& -2-x &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] 3x+12 &=& \left(-2-x\right)^2 \\[5pt] 3x+12 &=& 4+4x+x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-3x \\[5pt] 12 &=& x^2+x+4 &\quad \scriptsize \mid\;-12 \\[5pt] 0 &=& x^2+x-8 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x+\sqrt{3 \cdot \left(x+4\right)}&=& -2 \\[5pt] x^2+x-8 &=& 0 \end{array}$
Mit der pq-Formel kannst du die Lösungsmenge bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{1}{2}\right)^2+8} \\[5pt] &=& 0,5 \pm \sqrt{\left(0,5\right)^2+8} \\[5pt] &=& 0,5 \pm \sqrt{0,25+8} \\[5pt] &=& 0,5 \pm \sqrt{8,25} \\[5pt] &\approx& 0,5 \pm 2,87 \\[10pt] x_1&\approx& 0,5-2,87 \quad \approx -2,37 \\[5pt] x_2&\approx& 0,5+2,87 \quad \approx 3,37 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& 0,5 \pm \sqrt{8,25} \\[10pt] x_1&\approx& -2,37 \\[5pt] x_2&\approx& 3,37 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-2,37; 3,37\}$.
f)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x+8}&=& 2-x \\[5pt] \sqrt{x+8}&=& 2-x &\quad \scriptsize \mid\;\text{Quadrieren} \\[5pt] x+8 &=& \left(2-x\right)^2 \\[5pt] x+8 &=& 4-4x+x^2 &\quad \scriptsize \mid\;-x \\[5pt] 8 &=& x^2-5x+4 &\quad \scriptsize \mid\;-8 \\[5pt] 0 &=& x^2-5x-4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{x+8}&=& 2-x \\[5pt] x^2-5x-4 &=& 0 \end{array}$
Mit der pq-Formel kannst du die Lösungsmenge bestimmen.
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& -\left(\dfrac{-5}{2}\right) \pm \sqrt{\left(\dfrac{-5}{2}\right)^2+4} \\[5pt] &=& 2,5 \pm \sqrt{\left(2,5\right)^2+4} \\[5pt] &=& 2,5 \pm \sqrt{6,25+4} \\[5pt] &=& 2,5 \pm \sqrt{10,25} \\[5pt] &\approx& 2,5 \pm 3,2 \\[10pt] x_1&\approx& 2,5-3,2 \quad \approx -0,7 \\[5pt] x_2&\approx& 2,5+3,2 \quad \approx 5,7 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x_{1,2}&=& -\dfrac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q} \\[5pt] &=& 2,5 \pm \sqrt{10,25} \\[10pt] x_1&\approx& -0,7 \\[5pt] x_2&\approx& 5,7 \end{array}$
Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{-0,7; 5,7\}$.
#lösungsmenge#pq-formel#wurzelgleichung
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