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Potenzieren

Spickzettel
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Eine Potenz gibt dir an, wie oft du eine Zahl mit sich selbst multiplizierst. Allgemein hat eine Potenz die Form:
$\color{#dc1400}{a}^\color{#87c800}{b}=\underbrace{\color{#dc1400}{a}\cdot \color{#dc1400}{a}\cdot \color{#dc1400}{a}\cdot…\cdot \color{#dc1400}{a}}_{\color{#87c800}{b}\,\text{mal}}$
$\color{#dc1400}{a}^\color{#87c800}{b}=\underbrace{\color{#dc1400}{a}\cdot \color{#dc1400}{a}\cdot \color{#dc1400}{a}\cdot…\cdot \color{#dc1400}{a}}_{\color{#87c800}{b}\,\text{mal}}$
Dabei wird $a$ Basis oder Grundzahl genannt und $b$ Exponent oder Hochzahl. Für $a^b$ liest du „$a$ hoch $b.$“
Vorrangregeln für das Potenzieren
Die Potenz wird in einem Term vor der Punktrechnung und vor der Strichrechung ausgerechnet.
Quadratzahlen
Zahlen mit dem Exponenten $2$ werden Quadratzahlen genannt. Es empfiehlt sich die Quadratzahlen von $1 - 20$ auswendig zu können.
$x$$1$$2$$3$$4$$5$$6$$7$$8$$9$$10$$11$$12$$13$$14$$15$$16$$17$$18$$19$$20$
$x^2$$1$$4$$9$$16$$25$$36$$49$$56$$81$$100$$121$$144$$169$$196$$225$$256$$289$$324$$361$$400$
$x$$y$
$1$$1$
$2$$4$
$3$$9$
$4$$16$
$5$$25$
$6$$36$
$7$$49$
$8$$64$
$9$$81$
$10$$100$
$11$$121$
$12$$144$
$13$$169$
$14$$196$
$15$$225$
$16$$256$
$17$$289$
$18$$324$
$19$$361$
$20$$400$
#potenz#quadratzahl
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EinführungsaufgabeRechnen mit natürlichen Zahlen: Potenzieren

Rechnen mit natürlichen Zahlen: Potenzieren
Abb. 1: Zahlenschloss
Rechnen mit natürlichen Zahlen: Potenzieren
Abb. 1: Zahlenschloss
a)
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es für die Zahlenkombination?
b)
Lukas fällt ein, dass er nur Zahlen kleiner als $5$ für die Zahlenkombination benutzt hat. Wie viele Möglichkeiten gibt es jetzt noch für die Zahlenkombination?

Aufgabe 1

Berechne.
b)
$4^3$
d)
$5^3$
f)
$7^2$
h)
$20^4$

Aufgabe 2

Schreibe den Term als Potenz und bestimme anschließend den Wert.
a)
$3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3$
b)
$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
c)
$7 \cdot 7 \cdot 7 $
d)
$1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1$

Aufgabe 3

Rechnen mit natürlichen Zahlen: Potenzieren
Abb. 2: Sonnenfinsternis
Rechnen mit natürlichen Zahlen: Potenzieren
Abb. 2: Sonnenfinsternis
a)
Wie viele Leute wissen nach $30$ Minuten über die Sonnenfinsternis durch die Erzählungen bescheid?
b)
Wie viele Leute wissen nach einer Stunde insgesamt durch die Erzählungen bescheid?

Aufgabe 4

Bestimme für die Variable $x$ die passende Zahl, sodass die Gleichung gilt.
b)
$2^x=64$
d)
$x^4=81$

Aufgabe 5

Berechne den jeweiligen Wert.
a)
Die dritte Potenz von $4.$
b)
Die fünfte Potenz von $2.$
c)
Die Summe aus der dritten Potenz von $6$ und der zweiten Potenz von $9.$
d)
Das Produkt aus der zweiten Potenz von $3$ und der zehnten Potenz von $1.$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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[2]
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EinführungsaufgabeRechnen mit natürlichen Zahlen: Potenzieren

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten bestimmen
Das Zahlenschloss von Lukas besitzt insgesamt vier Stellen, die jeweils die Zahlen von $0$ bis $9$ anzeigen können. Für jede der $4$ Stellen besitzt er also $10$ Möglichkeiten. Wenn Lukas für die erste Stelle beispielsweise die $1$ einstellt, dann besitzt er für die zweite Stelle erneut $10$ Möglichkeiten. Dies gilt für alle $10$ Zahlen der ersten Stelle.
Somit gibt es insgesamt $10^2=10 \cdot 10$ verschiedene Möglichkeiten für die ersten beiden Stellen. Für alle vier Stellen gibt es damit insgesamt $10^4$ verschiedene Möglichkeiten.
$\begin{array}[t]{rll} 10^4&=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \\[5pt] &=& 100 \cdot 10 \cdot 10 \\[5pt] &=& 1\,000 \cdot 10 \\[5pt] &=& 10\,000 \\[5pt] \end{array}$
Insgesamt gibt es $10\,000$ verschiedene Möglichkeiten für die Zahlenkombination des Fahrradschlosses.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Möglichkeiten bestimmen
Lukas fällt ein, dass er nur Zahlen kleiner als $5$ verwendet hat für die Zahlenkombination. Somit sind für jede Stelle nur noch die Zahlen von $0$ bis $4$ möglich. Damit folgt, dass es für jede Stelle nur noch $5$ verschiedene Möglichkeiten gibt.
Somit gibt es insgesamt $5^4$ verschiedene Möglichkeiten für die Zahlenkombination des Zahlenschlosses.
$\begin{array}[t]{rll} 5^4&=& 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 \\[5pt] &=& 25 \cdot 5 \cdot 5 \\[5pt] &=& 125 \cdot 5 \\[5pt] &=& 625 \\[5pt] \end{array}$
Insgesamt gibt es nur noch $625$ verschiedene Möglichkeiten für die Zahlenkombination des Fahrradschlosses.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 2^3&=& 2 \cdot 2 \cdot 2\\[5pt] &=& 4 \cdot 2\\[5pt] &=& 8 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 4^3&=& 4 \cdot 4 \cdot 4\\[5pt] &=& 16 \cdot 4\\[5pt] &=& 64 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 1^{13}&=& 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \dotsc \\[5pt] &=& 1 \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 5^3&=& 5 \cdot 5 \cdot 5\\[5pt] &=& 25 \cdot 5\\[5pt] &=& 125 \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 3^3&=& 3 \cdot 3 \cdot 3\\[5pt] &=& 9 \cdot 3\\[5pt] &=& 27 \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 7^2&=& 7 \cdot 7 \\[5pt] &=& 49 \\[5pt] \end{array}$
g)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 10^4&=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\\[5pt] &=& 100 \cdot 10 \cdot 10\\[5pt] &=& 1000 \cdot 10\\[5pt] &=& 10000 \end{array}$
h)
$\blacktriangleright$  Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 20^4&=& 20 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 20\\[5pt] &=& 400 \cdot 20 \cdot 20\\[5pt] &=& 8000 \cdot 20 \\[5pt] &=& 16000 \end{array}$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Potenz schreiben und Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3&=& 3^4 \\[5pt] &=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3\\[5pt] &=& 9 \cdot 3 \cdot 3\\[5pt] &=& 27 \cdot 3\\[5pt] &=& 81\\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Potenz schreiben und Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10&=& 10^5 \\[5pt] &=& 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\\[5pt] &=& 100 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10\\[5pt] &=& 1000 \cdot 10 \cdot 10\\[5pt] &=& 10000 \cdot 10\\[5pt] &=& 100000 \\[5pt] \end{array}$
$10^5=100000 $
c)
$\blacktriangleright$  Potenz schreiben und Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 7 \cdot 7 \cdot 7&=& 7^3 \\[5pt] &=& 7 \cdot 7 \cdot 7\\[5pt] &=& 49 \cdot 7\\[5pt] &=& 343\\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Potenz schreiben und Wert bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1&=& 1^7 \\[5pt] &=& 1\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Anzahl bestimmen
Nach $15$ Minuten hat es Lena $4$ Leuten weitererzählt. Somit wissen nach $15$ Minuten insgesamt $4+1=5$ Leute bescheid. Diese $4$ Leute erzählen es jeweils weiteren $4$ Leuten in den nächsten $15$ Minuten. Somit wissen nach $30$ Minuten weitere $4^2$ Leute bescheid. Für die Gesamtanzahl folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 1+ 4 + 4^2&=& 1+4+ 4 \cdot 4 \\[5pt] &=& 1+4+ 16 \\[5pt] &=& 21 \\[5pt] \end{array}$
Damit wissen nach $30$ Minuten insgesamt $21$ Leute über die Sonnenfinsternis durch die Erzählungen bescheid.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl bestimmen
Nach $30$ Minuten wissen insgesamt $21$ Leute bescheid. Innerhalb der nächsten $15$ Minuten erzählen es $4^2$ Leute jeweils weiteren $4$ Leuten weiter. Somit wissen nach $45$ Minuten weitere $4^3$ Leute über die Sonnenfinsternis bescheid. Entsprechend wird es in den nächsten $15$ Minuten weiteren $4^4$ Leuten erzählt. Für die Gesamtanzahl folgt entsprechend:
$\begin{array}[t]{rll} 1+ 4 + 4^2 + 4^3 +4^4 &=& 1+ 4 + 4 \cdot 4 + 4 \cdot 4 \cdot 4 +4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \\[5pt] &=& 1+ 4 + 16 + 16 \cdot 4 +16 \cdot 4 \cdot 4 \\[5pt] &=& 1+ 4 + 16 + 64 +64 \cdot 4 \\[5pt] &=& 1+ 4 + 16 + 64 +256 \\[5pt] &=& 21+ 64 +256 \\[5pt] &=& 85 +256 \\[5pt] &=& 341 \\[5pt] \end{array}$
$ 1+ 4 + 4^2 + 4^3 +4^4=341 $
Somit wissen nach einer Stunde insgesamt $341$ Leute über die Sonnenfinsternis durch die Erzählungen bescheid.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Du musst dir überlegen, welche Zahl zweimal mit sich selbst multipliziert $25$ ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87C800}5^2&=& 5 \cdot 5 \\[5pt] &=& 25 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x=5$ erfüllt.
b)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Überlege dir, welche Zahl du sechsmal mit sich selbst multiplizieren musst, damit das Ergebnis $64$ lautet.
$\begin{array}[t]{rll} 2^{\color{#87C800}6}&=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 8 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 16 \cdot 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 32 \cdot 2 \\[5pt] &=& 64 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x=6$ erfüllt.
c)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Du musst dir überlegen, welche Zahl dreimal mit sich selbst multipliziert $125$ ergibt.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87C800}5^3&=& 5 \cdot 5 \cdot 5\\[5pt] &=& 25 \cdot 5\\[5pt] &=& 125 \end{array}$
Die Gleichung ist für $x=5$ erfüllt.
d)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Überlege dir, welche Zahl du viermal mit sich selbst multiplizieren musst, damit das Ergebnis $81$ lautet.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87C800}3^4&=& 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& 9 \cdot 3 \cdot 3 \\[5pt] &=& 27 \cdot 3 \\[5pt] &=& 81 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung ist für $x=3$ erfüllt.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Die dritte Potenz von $4$ ist $4^3.$
$\begin{array}[t]{rll} 4^3&=& 4 \cdot 4 \cdot 4 \\[5pt] &=& 16 \cdot 4 \\[5pt] &=& 64 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Die fünfte Potenz von $2$ ist $2^5.$
$\begin{array}[t]{rll} 2^5&=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 4 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 8 \cdot 2 \cdot 2 \\[5pt] &=& 16 \cdot 2 \\[5pt] &=& 32 \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Die dritte Potenz von $6$ ist $6^3$ und die zweite Potenz von $9$ ist $9^2.$
$\begin{array}[t]{rll} 6^3+9^2&=& 6 \cdot 6 \cdot 6 + 9 \cdot 9 \\[5pt] &=& 36 \cdot 6 + 81 \\[5pt] &=& 216 + 81 \\[5pt] &=& 297 \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
Die zweite Potenz von $3$ ist $3^2$ und die zehnte Potenz von $1$ ist $1^{10}.$
$\begin{array}[t]{rll} 3^2 \cdot 1^{10} &=& 3 \cdot 3 \cdot 1 \\[5pt] &=& 9 \cdot 1 \\[5pt] &=& 9 \\[5pt] \end{array}$
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