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Primzahlen

Spickzettel
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Eine Primzahl ist eine Zahl die größer als $1$ ist und nur durch sich selbst und $1$ teilbar ist. Somit besitzt eine Primzahl genau zwei Teiler.
Es wurde gezeigt, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Die ersten Primzahlen lauten:
$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $\dotsc$

Primfaktorzerlegung

Eine Zahl kann man in das Produkt von Primzahlen zerlegen. Diese Primzahlen werden Primfaktoren genannt.
Beispielsweise kann man $26$ durch das Produkt $2 \cdot 13$ darstellen. Hierbei sind $2$ und $13$ Primzahlen und damit Primfaktoren der Zahl $26.$
#primzahlen
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Einführungsaufgabe

Abb. 1: Roulette
Abb. 1: Roulette
a)
Marie behauptet, dass sie weniger Möglichkeiten besitzt zu gewinnen als Hanna. Stimmt diese Behauptung?
b)
Marie ändert die Gewinnausschüttung. Sie gewinnt, falls die Zahl des Feldes, in das die Kugel fällt, die Zahl $2$ in der Primfaktorzerlegung enthält. Bei wie vielen Feldern gewinnt Marie?

Aufgabe 1

Bestimme die Primzahlen aus den gegebenen Tabellen.
b)
$17$$23$$5$
$31$$24$$19$
$33$$48$$43$
d)
$89$$94$$111$
$117$$123$$103$
$107$$93$$97$

Aufgabe 2

Schreibe die folgenden Zahlen als Produkt von Primzahlen.
b)
$26$
d)
$78$
f)
$141$

Aufgabe 3

Gib die Primzahlen an, welche in dem entsprechenden Bereich liegen.
b)
Zwischen $30$ und $50$
d)
Zwischen $80$ und $130$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/QUJrYs – European roulette table layout, and wheel with single zero., Betzaar.com, CC BY-SA 3.0.
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$  Behauptung überprüfen
Marie gewinnt, falls die Kugel in einem Feld mit einer Primzahl als Nummer landet. Beim Roulette sind Felder mit den Zahlen von $0$ bis $36$ möglich.
Somit musst du die Primzahlen zwischen $0$ und $36$ bestimmen um die Möglichkeiten für einen Gewinn von Marie zu bestimmen.
Die Primzahlen zwischen $0$ und $36$ lauten:
$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$ und $31.$
Somit gibt es $11$ Primzahlen zwischen $0$ und $36$ und damit $11$ mögliche Gewinnfelder für Marie. Insgesamt gibt es allerdings $18$ rote Felder und somit $18$ Gewinnfelder für Hanna.
Damit besitzt Marie weniger Gewinnfelder als Hanna und somit ist die Behauptung korrekt.
b)
$\blacktriangleright$  Anzahl der Felder bestimmen
Marie gewinnt, falls die Nummer des Feldes eine $2$ in ihrer Primfaktorzerlegung enthält. Die Primfaktorzerlegung einer Zahl ist die Zerlegung der Zahl in Produkte von Primzahlen.
Da alle geraden Zahlen durch $2$ teilbar sind besitzen alle geraden Zahlen die Zahl $2$ in ihrer Primfaktorzerlegung. Damit folgt, dass Marie gewinnt, falls die Kugel in einem Feld landet mit einer geraden Zahl als Nummer. Somit gibt es insgesamt $18$ Möglichkeiten, dass Marie gewinnt.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Primzahlen bestimmen
Primzahlen sind Zahlen, welche nur genau zwei Teiler besitzen. Das bedeutet, dass sie größer als $1$ sind und nur durch $1$ und sich selbst teilbar sind.
$27$, $9$, $21$ sind durch $3$ teilbar und sind somit keine Primzahlen. Außerdem ist $8$ durch $2$ teilbar und ist somit auch keine Primzahl.
Die Primzahlen aus der gegebenen Tabelle lauten $13$, $7$, $37$ und $11.$
b)
$\blacktriangleright$  Primzahlen bestimmen
Primzahlen sind Zahlen, welche nur genau zwei Teiler besitzen. Das bedeutet, dass sie größer als $1$ sind und nur durch $1$ und sich selbst teilbar sind.
$48$ und $24$ sind durch $2$ teilbar und sind damit keine Primzahlen. Außerdem ist $33$ durch $3$ teilbar und ist damit auch keine Primzahl.
Die Primzahlen aus der gegebenen Tabelle lauten $17$, $23$, $5$, $31$, $19$ und $43.$
c)
$\blacktriangleright$  Primzahlen bestimmen
Primzahlen sind Zahlen, welche nur genau zwei Teiler besitzen. Das bedeutet, dass sie größer als $1$ sind und nur durch $1$ und sich selbst teilbar sind.
$72$ und $38$ sind durch $2$ teilbar und sind damit keine Primzahlen. Außerdem ist $27$ durch $3$ teilbar und $49$ ist durch $7$ teilbar. Somit sind $27$ und $49$ keine Primzahlen.
Die Primzahlen aus der gegebenen Tabelle lauten $41$, $79$, $59$, $61$ und $29.$
d)
$\blacktriangleright$  Primzahlen bestimmen
Primzahlen sind Zahlen, welche nur genau zwei Teiler besitzen. Das bedeutet, dass sie größer als $1$ sind und nur durch $1$ und sich selbst teilbar sind.
$94$ ist teilbar durch $2$ und ist damit keine Primzahlen. $117$, $123$, $111$ und $93$ sind durch $3$ teilbar und sind damit auch keine Primzahlen.
Die Primzahlen aus der gegebenen Tabelle lauten $89$, $103$, $107$ und $97.$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Primfaktorzerlegung bestimmen
Du sollst die gegebene Zahl schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen. Sind die Faktoren nicht mehr weiter zerlegbar, dann handelt es sich um eine Primfaktorzerlegung. Den Faktor $1$ sollst du hierbei weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 16&=& 2 \cdot 8 \\[5pt] &=& 2 \cdot 2 \cdot 4 \\[5pt] &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \\[5pt] \end{array}$
Die Zahl $2$ ist eine Primzahl und lässt sich somit nicht weiter zerlegen.
Die Primfaktorzerlegung für die Zahl $16$ lautet $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2.$
b)
$\blacktriangleright$  Primfaktorzerlegung bestimmen
Du sollst die gegebene Zahl schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen. Sind die Faktoren nicht mehr weiter zerlegbar, dann handelt es sich um eine Primfaktorzerlegung. Den Faktor $1$ sollst du hierbei weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 26&=& 2 \cdot 13 \\[5pt] \end{array}$
Die Zahlen $2$ und $13$ sind Primzahlen und lassen sich somit nicht weiter zerlegen.
Die Primfaktorzerlegung für die Zahl $26$ lautet $2 \cdot 13.$
c)
$\blacktriangleright$  Primfaktorzerlegung bestimmen
Du sollst die gegebene Zahl schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen. Sind die Faktoren nicht mehr weiter zerlegbar, dann handelt es sich um eine Primfaktorzerlegung. Den Faktor $1$ sollst du hierbei weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 34&=& 2 \cdot 17 \\[5pt] \end{array}$
Die Zahlen $2$ und $17$ sind Primzahlen und lassen sich somit nicht weiter zerlegen.
Die Primfaktorzerlegung für die Zahl $34$ lautet $2 \cdot 17.$
d)
$\blacktriangleright$  Primfaktorzerlegung bestimmen
Du sollst die gegebene Zahl schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen. Sind die Faktoren nicht mehr weiter zerlegbar, dann handelt es sich um eine Primfaktorzerlegung. Den Faktor $1$ sollst du hierbei weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 78&=& 2 \cdot 39 \\[5pt] &=& 2 \cdot 3 \cdot 13 \\[5pt] \end{array}$
Die Zahlen $2$, $3$ und $13$ sind Primzahlen und lassen sich somit nicht weiter zerlegen.
Die Primfaktorzerlegung für die Zahl $78$ lautet $2 \cdot 3 \cdot 13.$
e)
$\blacktriangleright$  Zahl als Produkt schreiben
Du sollst die gegebene Zahl schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen. Sind die Faktoren nicht mehr weiter zerlegbar, dann handelt es sich um eine Primfaktorzerlegung. Den Faktor $1$ sollst du hierbei weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 112&=& 2 \cdot 56 \\[5pt] &=& 2 \cdot 4 \cdot 14 \\[5pt] &=& 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 \\[5pt] \end{array}$
Die Zahlen $2$ und $7$ sind Primzahlen und lassen sich somit nicht weiter zerlegen.
Die Primfaktorzerlegung für die Zahl $112$ lautet $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7.$
f)
$\blacktriangleright$  Zahl als Produkt schreiben
Du sollst die gegebene Zahl schrittweise in kleinere Faktoren zerlegen. Sind die Faktoren nicht mehr weiter zerlegbar, dann handelt es sich um eine Primfaktorzerlegung. Den Faktor $1$ sollst du hierbei weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 141&=& 3 \cdot 47 \\[5pt] \end{array}$
Die Zahlen $3$ und $47$ sind Primzahlen und lassen sich somit nicht weiter zerlegen.
Die Primfaktorzerlegung für die Zahl $141$ lautet $3 \cdot 47.$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Primzahlen angeben
Du sollst die Primzahlen zwischen $1$ und $20$ angeben. Die Primzahlen zwischen $1$ und $20$ lauten:
$2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$ und $19.$
b)
$\blacktriangleright$  Primzahlen angeben
Du sollst die Primzahlen zwischen $30$ und $50$ angeben. Die Primzahlen zwischen $30$ und $50$ lauten:
$31$, $37$, $41$, $43$ und $47.$
c)
$\blacktriangleright$  Primzahlen angeben
Du sollst die Primzahlen zwischen $50$ und $80$ angeben. Die Primzahlen zwischen $50$ und $80$ lauten:
$53$, $59$, $61$, $67$, $71$, $73$ und $79.$
d)
$\blacktriangleright$  Primzahlen angeben
Du sollst die Primzahlen zwischen $80$ und $130$ angeben. Die Primzahlen zwischen $80$ und $130$ lauten:
$83$, $89$, $97$, $101$, $103$, $107$, $109$, $113$ und $127.$
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