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Rechengesetze bei Termen

Spickzettel
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AssoziativgesetzRechnen mit natürlichen Zahlen: Rechengesetze bei Termen

Das Assoziativgesetz besagt, dass du Summanden beliebig zusammenfassen kannst. Dies gilt auch für die Multiplikation.
Addition: $(\color{#87C800}a + \color{#2D6EC8}b) + \color{#fa7d19}c = \color{#87C800}a + (\color{#2D6EC8}b + \color{#fa7d19}c)$
Multiplikation: $(\color{#87C800}a\cdot \color{#2D6EC8}b)\cdot \color{#fa7d19}c = \color{#87C800}a \cdot (\color{#2D6EC8}b \cdot \color{#fa7d19}c)$

Kommutativgesetz

Nach dem Kommutativgesetz spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge Zahlen oder Variablen addiert bzw. multipliziert werden.
Addition: $\color{#87C800}a + \color{#2D6EC8}b = \color{#2D6EC8}b + \color{#87C800}a$
Multiplikation: $\color{#87C800}a \cdot \color{#2D6EC8}b = \color{#2D6EC8}b \cdot \color{#87C800}a$

Distributivgesetz

Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du einen Faktor ausklammern oder die Klammer auflösen.
Multiplikation: $\color{#87C800} a \cdot (\color{#2D6EC8}b + \color{#fa7d19} c)=\color{#87C800}a \cdot \color{#2D6EC8} b + \color{#87C800}a \cdot \color{#fa7d19} c$
Division: $(\color{#87C800}a+\color{#2D6EC8}b):\color{#fa7d19}c=\color{#87C800}a:\color{#fa7d19}c+\color{#2D6EC8}b:\color{#fa7d19}c$
Das Distributivgesetz gilt auch für die Multiplikation und Division mit der Subtraktion.

Vorrangregeln

  1. Klammern werden zuerst berechnet. Bei mehreren Klammern von innen nach außen rechnen.
  2. Punktrechnung vor Strichrechung.
  3. Sonst wird von links nach rechts gerechnet.
#distributivgesetz#kommutativgesetz#assoziativgesetz
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Aufgaben
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EinführungsaufgabeRechnen mit natürlichen Zahlen: Rechengesetze bei Termen

Rechnen mit natürlichen Zahlen: Rechengesetze bei Termen
Abb. 1: Dirk Nowitzki
Rechnen mit natürlichen Zahlen: Rechengesetze bei Termen
Abb. 1: Dirk Nowitzki
a)
Berechne die Gesamtpunktzahl, die Dirk Nowitzki in diesem Spiel erzielt hat. Stelle dazu einen Term auf.
b)
In einem anderen Spiel erzielte er insgesamt $37$ Punkte durch Zweipunkte - und Dreipunktewürfe. Gib insgesamt drei Möglichkeiten an, wie diese Würfe verteilt waren. Stelle dazu zu jeder Möglichkeit einen Term auf und überprüfe den Term durch Berechnung der Gesamtpunktzahl.

Aufgabe 1

Berechne den Wert des Terms.
a)
$56+9 \cdot 4 -8:4$
b)
$12 \cdot 8 -18 +12 \cdot (16-14)$
c)
$12 +46:2 +18:9 \cdot 7-4 \cdot (12 -3 \cdot 2) $
$12 +46:2 +18 \dotsc $
d)
$9 \cdot (12 -6) +96:16 -(17 \cdot 3)+5 \cdot (11-5) $
$9 \cdot (12 -6) + \dotsc $

Aufgabe 2

Schreibe als Term und berechne anschließend den Wert des Terms.
a)
Subtrahiere vom Produkt der Zahlen $13$ und $12$ die Zahl $41.$
b)
Addiere zum Quotienten der Zahlen $48$ und $4$ die Differenz der Zahlen $21$ und $9.$
c)
Multipliziere die Differenz der Zahlen $58$ und $49$ mit dem Quotienten der Zahlen $121$ und $11.$
d)
Dividiere die Summe der Zahlen $93$ und $37$ durch den Quotienten der Zahlen $117$ und $9.$
e)
Subtrahiere von dem Produkt der Zahlen $13$ und $7$ die Differenz der Zahlen $76$ und $59.$

Aufgabe 3

Rechnen mit natürlichen Zahlen: Rechengesetze bei Termen
Abb. 2: Bonbons
Rechnen mit natürlichen Zahlen: Rechengesetze bei Termen
Abb. 2: Bonbons
a)
Wie viele Bonbons bekommt ein Klassenkamerad? Stelle dazu einen Term auf.
b)
Sie verschenkt zusätzlich $5$ Bonbons an ihre Lehrerin und außerdem sind $3$ Klassenkameraden krank. Stelle für die Anzahl der Bonbons, die jeder Klassenkamerad bekommt, einen neuen Term auf.

Aufgabe 4

Setze passende Klammern, damit die Rechnung stimmt.
a)
$8+13-12 \cdot 4=12$
b)
$102:6-14 \cdot 3=9$
c)
$96-11 \cdot 4 :4 +3\cdot 5+4=40$
d)
$9 \cdot 15-8 : 3:3=7$

Aufgabe 5

Bestimme die fehlenden Zahlen, damit der Term korrrekt ist.
a)
$12 \cdot (8-$$)=36$
b)
$:4-6=2$
c)
$(12 +$$):7=6$
d)
$(13-7) \cdot (9-$$)=48$
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/piyB9f – Dirk Nowitzki, Keith Allison, CC BY-SA 2.0.
[2]
Public Domain.
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EinführungsaufgabeRechnen mit natürlichen Zahlen: Rechengesetze bei Termen

a)
$\blacktriangleright$  Punktzahl berechnen
Insgesamt erzielte Dirk Nowitzki $2$ erfolgreiche Dreipunktwürfe, $13$ Zweipunktwürfe und $21$ Freiwürfe. Zur Bestimmung der Gesamtpunktzahl musst du die jeweiligen Anzahlen an erfolgreichen Würfen mit der Punkteanzahl für den entsprechenden Wurf multiplizieren. Anschließend musst du diese Werte noch zusammen addieren.
Da die Vorrangregel Punkt vor Strich gilt kannst du die Klammern, die die Produkte einschließen weglassen und es folgt für den gesuchten Term:
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 3+13 \cdot 2+ 21 \cdot 1&=& 6+26+ 21 \\[5pt] &=& 32+ 21 \\[5pt] &=& 53 \\[5pt] \end{array}$
$53$
Dirk Nowitzki erzielte insgesamt $53$ Punkte.
b)
$\blacktriangleright$  Möglichkeiten bestimmen
In einem weiteren Spiel erzielte Dirk Nowitzki insgesamt $37$ Punkte durch Zweipunkte- und Dreipunktewürfe. Somit beträgt der Wert des Terms $37.$ Du musst dazu noch die verschiedenen Möglichkeiten für die Anzahlen der jeweiligen Würfe finden.
Eine Möglichkeit ist, dass Dirk Nowitzki insgesamt $17$ Zweipunktewürfe und $1$ Dreipunktewurf erzielt hat. Für einen möglichen Term folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 17 \cdot 2 + 1 \cdot 3&=& 34+ 3 \\[5pt] &=& 37 \\[5pt] \end{array}$
Eine weitere Möglichkeit ist, dass er $14$ Zweipunktewürfe und $3$ Dreipunktewürfe erzielt hat. Für den Term folgt damit:
$\begin{array}[t]{rll} 14 \cdot 2 + 3 \cdot 3&=& 28+ 9 \\[5pt] &=& 37 \\[5pt] \end{array}$
Es wäre auch möglich, dass er $11$ Zweipunktewürfe und $5$ Dreipunktewürfe erzielt hat. Für den Term gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 11 \cdot 2 + 5 \cdot 3&=& 22+ 15 \\[5pt] &=& 37 \\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 56+9 \cdot 4-8:4&=& 56+36-8:4\\[5pt] &=& 56+36-2\\[5pt] &=& 56+34\\[5pt] &=& 90\\[5pt] \end{array}$
$ 90 $
b)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 8 -18 +12 \cdot (16-14)&=& 12 \cdot 8 -18 +12 \cdot 2\\[5pt] &=& 12 \cdot 8 -18 +24\\[5pt] &=& 96 -18 +24\\[5pt] &=& 78+24\\[5pt] &=& 102\\[5pt] \end{array}$
$102 $
c)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 12 +46:2 +18:9 \cdot 7-4 \cdot (12 -3 \cdot 2) &=& 12 +46:2 +18:9 \cdot 7-4 \cdot (12 -6) \\[5pt] &=& 12 +46:2 +18:9 \cdot 7-4 \cdot 6 \\[5pt] &=& 12 +23 +2 \cdot 7-24\\[5pt] &=& 12 +23 +14-24\\[5pt] &=& 35 +14-24\\[5pt] &=& 49 -24\\[5pt] &=& 25\\[5pt] \end{array}$
$25 $
d)
$\blacktriangleright$  Wert berechnen
$\begin{array}[t]{rll} 9 \cdot (12 -6) +96:16 -(17 \cdot 3)+5 \cdot (11-5) &=& 9 \cdot 6 +96:16 -51+5 \cdot 6 \\[5pt] &=& 54 +6 -51+30\\[5pt] &=& 60 -51+30\\[5pt] &=& 9 + 30\\[5pt] &=& 39\\[5pt] \end{array}$
$ 39 $

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Term bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 13 -41&=& 156 -41\\[5pt] &=& 115 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Term bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} 48:4 + 21-9 &=& 12 + 21-9\\[5pt] &=& 12 + 12\\[5pt] &=& 24\\[5pt] \end{array}$
$24 $
c)
$\blacktriangleright$  Term bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} (58 -49) \cdot 121:11 &=& 9 \cdot 11 \\[5pt] &=& 99\\[5pt] \end{array}$
$ 99 $
d)
$\blacktriangleright$  Term bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} (93+37):(117:9)&=& 130: 13 \\[5pt] &=& 10\\[5pt] \end{array}$
$ 10 $
e)
$\blacktriangleright$  Term bestimmen
$\begin{array}[t]{rll} (13 \cdot 7)-(76-59)&=& 91-17 \\[5pt] &=& 74\\[5pt] \end{array}$
$74 $

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Term aufstellen und Anzahl berechnen
Insgesamt hat sie $11$ Packungen mit jeweils $16$ Bonbons gekauft und es befinden sich in ihrer Klasse insgesamt $22$ Schüler. Für den Term folgt somit:
$\begin{array}[t]{rll} 11 \cdot 16 : 22 &=& 176 : 22\\[5pt] &=& 8\\[5pt] \end{array}$
Jeder Klassenkamerad bekommt $8$ Bonbons.
b)
$\blacktriangleright$  Term aufstellen und Anzahl berechnen
Da vier Klassenkameraden krank sind verringert sich der Dividend. Außerdem muss man von der ursprünglichen Anzahl an Bonbons $5$ Stück abziehen, da diese an ihre Lehrerin verteilt werden. Somit folgt:
$\begin{array}[t]{rll} (11 \cdot 16 - 5):(22-3)&=& (176 - 5):19\\[5pt] &=& 171:19\\[5pt] &=& 9\\[5pt] \end{array}$
$ 9 $
Jeder Mitschüler bekommt $9$ Bonbons.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Klammern setzen
$\begin{array}[t]{rll} 8 +(13-12) \cdot 4&=& 8 + 1 \cdot 4\\[5pt] &=& 8 + 4\\[5pt] &=& 12\\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Klammern setzen
$\begin{array}[t]{rll} (102:6 -14) \cdot 3&=& (17 -14) \cdot 3\\[5pt] &=& 3 \cdot 3\\[5pt] &=& 9\\[5pt] \end{array}$
$(102:6 -14) \cdot 3 $
c)
$\blacktriangleright$  Klammern setzen
$\begin{array}[t]{rll} (96-11 \cdot 4) :4 + 3 \cdot (5+4) &=& (96-44):4 + 3 \cdot 9 \\[5pt] &=& 52:4 + 3 \cdot 9 \\[5pt] &=& 13 + 27 \\[5pt] &=& 40\\[5pt] \end{array}$
$(96-11 \cdot 4) :4 + 3 \cdot (5+4)$
d)
$\blacktriangleright$  Klammern setzen
$\begin{array}[t]{rll} 9 \cdot (15-8) : 3 :3&=& 9 \cdot 7 : 3 :3\\[5pt] &=& 63 : 3 :3\\[5pt] &=& 21 :3\\[5pt] &=& 7\\[5pt] \end{array}$
$9 \cdot (15-8) : 3 :3$

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$  Fehlende Zahl bestimmen
Zuerst musst du dir überlegen, welche Zahl du mit $12$ multiplizieren musst, damit das Produkt $36$ lautet. Es gilt $36:12=3.$ Somit muss der Wert innerhalb der Klammer $3$ ergeben.
Anschließend musst du dir überlegen mit welcher Zahl du $8$ subtrahieren musst, damit das Ergebnis $3$ lautet. Mit $8-3=5$ folgt, dass die fehlende Zahl $5$ lauten muss.
$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot (8-\color{#87C800}5)&=& 12 \cdot 3 \\[5pt] &=& 36 \\[5pt] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$  Fehlende Zahl bestimmen
Zuerst musst du dir überlegen, welche Zahl mit $6$ subtrahiert werden muss, damit die Differenz $2$ beträgt. Mit $2+6=8$ folgt, dass die fehlende Zahl dividert durch $4$ gleich $8$ betragen muss. Mit $8 \cdot 4=32$ folgt, dass die fehlende Zahl $32$ ist.
$\begin{array}[t]{rll} \color{#87C800} {32} : 4-6&=& 8-6 \\[5pt] &=& 2 \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$  Fehlende Zahl bestimmen
Zuerst musst du dir überlegen, welche Zahl mit $7$ dividiert $6$ ergibt. Mit $7 \cdot 6=42$ folgt, dass die gesuchte Zahl mit $12$ addiert $42$ ergeben muss. Mit $42 - 12=30$ lautet die fehlende Zahl $30$.
$\begin{array}[t]{rll} (12 + \color{#87C800} {30}):7&=& 42 : 7 \\[5pt] &=& 6 \\[5pt] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$  Fehlende Zahl bestimmen
Das Ergebnis der ersten Klammer lautet $13-7=6$. Anschließend musst du dir überlegen, welche Zahl mit $6$ multipliziert werden muss, damit das Ergebnis $48$ beträgt. Mit $48:6=8$ folgt, dass $9$ subtrahiert mit der fehlenden Zahl $8$ ergeben muss. Mit $9 -8=1$ folgt, dass die gesuchte Zahl $1$ lautet.
$\begin{array}[t]{rll} (13 - 7) \cdot (9- \color{#87C800} 1)&=& 6 \cdot 8 \\[5pt] &=& 48 \\[5pt] \end{array}$
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