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Variable und Gleichungen

Spickzettel
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Eine Variable ist ein Platzhalter für mehrere Zahlen, welche in der Grundmenge $\mathbb{G}$ festgelegt sind. In der Mathematik sind Variablen oft Buchstaben wie $x, y, a, b.$ Die Zahlen aus der Grundmenge können für die Variablen in die Gleichung eingesetzt werden.
Variablen verwendet man in Gleichungen. Eine Gleichung ist ein Term, dem ein Wert zugeordnet wird. Durch Einsetzen der Zahlen aus der Grundmenge in die Gleichung kann man die Lösungen der Gleichung bestimmen. Liefert eine Zahl für die Gleichung eine wahre Aussage so ist sie eine Lösung der Gleichung.
Die Lösungsmenge ist die Menge aller Zahlen, die die Gleichung lösen. Sie kann beliebig viele Elemente enthalten. Die Lösungsmenge kann auch leer sein. Man schreibt die leere Menge durch $\mathbb{L}=\{ \}.$
#variable#lösungsmenge
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EinführungsaufgabeRechnen mit natürlichen Zahlen: Variable und Gleichungen

Rechnen mit natürlichen Zahlen: Variable und Gleichungen
Abb. 1: Pizza
Rechnen mit natürlichen Zahlen: Variable und Gleichungen
Abb. 1: Pizza
a)
Bestimme die Grundmenge und formuliere eine Bedingung, sodass jeder Besucher die gleiche Anzahl an Pizzastücken bekommen kann. Verwende hierzu eine Variable.
b)
Bestimme die Lösungsmenge.

Aufgabe 1

Bestimme für die folgenden Aufgabenstellungen die Grundmenge und die Lösungsmenge.
a)
Ben und Nina würfeln mit einem Würfel. Sie vereinbaren vorher, dass derjenige gewinnt, dessen Augenzahl mit sich selbst multipliziert genauso groß ist wie die Augenzahl mit $3$ multipliziert und anschließend mit $2$ subtrahiert.
b)
An einem Losstand werden Lose mit den Zahlen von $1$ bis $50$ verkauft. Es gewinnen die Lose mit den Nummern, die durch $9$ teilbar sind.
c)
Hanna und Paul würfeln mit zwei Würfeln. Es gewinnt derjenige, dessen Augensumme addiert mit 8 durch 5 teilbar ist.

Aufgabe 2

Gib die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen an. Die Grundmenge lautet $G=\{2, 4, 8, 12 \}.$
a)
$2 \cdot x = 3 \cdot x -2$
b)
$3 \cdot x - 5= 3 + 2 \cdot x$
c)
$x \cdot x= 14 \cdot x - 24$

Aufgabe 3

Rechnen mit natürlichen Zahlen: Variable und Gleichungen
Abb. 2: Fahrrad
Rechnen mit natürlichen Zahlen: Variable und Gleichungen
Abb. 2: Fahrrad
a)
Bestimme die Grundmenge und gib eine passende Gleichung zur Bestimmung der Anzahl der gefahrenen Kilometer am ersten Tag an.
b)
Wie viele Kilometer müssten sie am erstem Tag fahren?

Aufgabe 4

a)
Die erste Zahl liegt zwischen $12$ und $15$. Die zweite Zahl ist um $6$ kleiner als die erste Zahl und die dritte Zahl ist um $4$ größer als die erste Zahl. Die Summe der drei Zahlen ergibt $40.$ Gib die erste Zahl an.
b)
Die erste Zahl liegt zwischen $6$ und $12$. Die zweite Zahl ist gleich der ersten Zahl mit sich selbst multipliziert und die dritte Zahl ist um $34$ kleiner als die erste Zahl. Die Summe der drei Zahlen ergibt $29.$ Gib die erste Zahl an.
c)
Die erste Zahl liegt zwischen $1$ und $5$. Die zweite Zahl ist das doppelte der dritten Zahl und die dritte Zahl ist das vierfache der ersten Zahl. Die Summe der drei Zahlen ist gleich $13.$ Gib die erste Zahl an.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
Public Domain.
[2]
Public Domain.
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Lösungen
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EinführungsaufgabeRechnen mit natürlichen Zahlen: Variable und Gleichungen

a)
$\blacktriangleright$  Grundmenge und Bedingung angeben
Felix besitzt die Auswahl zwischen einer Aufteilung von $8$ bis $12$ Pizzastücken pro Pizza. Die Grundmenge lautet $\mathbb{G}=\{ 8, 9, 10, 11, 12\}.$
Als Variable kannst du beispielsweise $x$ wählen. $x$ bezeichnet die Anzahl der Pizzastücke, in die eine Pizza aufgeteilt wird.
Jeder Teilnehemer soll die gleiche Anzahl an Pizzastücken bekommen. Somit soll die Bedingung
$6 \cdot x$ ist durch $9$ teilbar
gelten.
b)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge angeben
Zur Bestimmung der Lösungsmenge musst du für jede Zahl aus der Grundmenge prüfen, ob die zuvor genannte Bedingung erfüllt ist. Falls dies für eine Zahl erfüllt ist, so ist diese Zahl in der Lösungsmenge.
$x$$6\cdot x$Teilbar durch $9?$
$8$$48$Nein
$9$$54$Ja
$10$$60$Nein
$11$$66$Nein
$12$$72$Ja
Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{9, 12 \}.$
Damit gilt, dass falls Felix eine Pizza in $9$ oder $12$ Stücke aufteilt, dass alle Besucher die gleiche Anzahl an Pizzastücken bekommen.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Grundmenge und Lösungsmenge bestimmen
Ben und Nina würfeln mit einem Würfel. Somit sind die Augenzahlen von $1$ bis $6$ möglich. Damit lautet die Grundmenge $\mathbb{G}=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}.$ Die Gleichung lautet mit einer Variablen $x$:
$x \cdot x = x \cdot 3 -2$
Durch Einsetzen der Zahlen aus der Grundmenge folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1 \cdot 1&=& 1 \cdot 3 -2\\[5pt] 1&=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 2&=& 2 \cdot 3 -2\\[5pt] 4&=& 4 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 3&=& 3 \cdot 3 -2\\[5pt] 9&=& 7 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot 4&=& 4 \cdot 3 -2\\[5pt] 16&=& 10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 5 \cdot 5&=& 5 \cdot 3 -2\\[5pt] 25&=& 13 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 6 \cdot 6&=& 6 \cdot 3 -2\\[5pt] 36&=& 16 \end{array}$
Somit liefert die Gleichung für die Zahlen $1$ und $2$ eine wahre Aussage. Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{1, 2 \}.$
b)
$\blacktriangleright$  Grundmenge und Lösungsmenge bestimmen
Die Lose werden mit den Zahlen von $1$ bis $50$ verkauft. Somit lautet die Grundmenge $\mathbb{G}=\{1,2, \dotsc, 49, 50 \}.$ Es gewinnen die Lose mit den Zahlen, welche durch $9$ teilbar sind.
Somit sind in der Lösungsmenge alle Vielfachen von $9$ zwischen $1$ und $500.$
Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{9, 18, 27, 36, 45 \}.$
c)
$\blacktriangleright$  Grundmenge und Lösungsmenge bestimmen
Hannah und Paul würfeln mit zwei Würfeln und betrachten deren Augensumme. Somit lautet die Grundmenge $\mathbb{G}=\{2, 3, \dotsc , 11, 12 \}.$
Es gewinnt derjenige, dessen Augensumme addiert mit $8$ durch $5$ teilbar ist. Somit lautet die Bedingung:
$x + 8$ ist durch $5$ teilbar.
Durch Einsetzen der Zahlen aus der Grundmenge folgt:
$x$$x+8$Teilbar durch $5?$
$2$$10$Ja
$3$$11$Nein
$4$$12$Nein
$5$$13$Nein
$6$$14$Nein
$7$$15$Ja
$8$$16$Nein
$9$$17$Nein
$10$$18$Nein
$11$$19$Nein
$12$$20$Ja
Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{2, 7, 12\}.$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge angeben
Setze jede Zahl aus der Grundmenge in die gegebene Gleichung ein und überprüfe, ob die Gleichung gilt.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 2&=& 3 \cdot 2 -2 \\[5pt] 4&=& 4 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 4&=& 3 \cdot 4 -2 \\[5pt] 8&=& 10 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 8&=& 3 \cdot 8 -2 \\[5pt] 16&=& 22 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 12&=& 3 \cdot 12 -2 \\[5pt] 24&=& 34 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung liefert nur für die Zahl $2$ eine wahre Aussage. Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{2\}.$
b)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge angeben
Setze jede Zahl aus der Grundmenge in die gegebene Gleichung ein und überprüfe, ob die Gleichung gilt.
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 2 -5&=& 3 + 2 \cdot 2 \\[5pt] 1&=& 7 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 4 - 5&=& 3 + 2 \cdot 4 \\[5pt] 7&=& 11 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 8 - 5&=& 3 + 2 \cdot 8 \\[5pt] 19&=& 19 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 16 - 5&=& 3 + 2 \cdot 16 \\[5pt] 41&=& 35 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung liefert nur für die Zahl $8$ eine wahre Aussage. Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{8\}.$
c)
$\blacktriangleright$  Lösungsmenge angeben
Setze jede Zahl aus der Grundmenge in die gegebene Gleichung ein und überprüfe, ob die Gleichung gilt.
$\begin{array}[t]{rll} 2 \cdot 2 &=& 14 \cdot 2 -24 \\[5pt] 4&=& 4 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 4 \cdot 4 &=& 14 \cdot 4 -24 \\[5pt] 16&=& 32 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 8 \cdot 8 &=& 14 \cdot 8 -24 \\[5pt] 64&=& 88 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 12 \cdot 12 &=& 14 \cdot 12 -24 \\[5pt] 144&=& 144 \\[5pt] \end{array}$
Die Gleichung liefert für die Zahlen $2$ und $12$ eine wahre Aussage. Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{2, 12\}.$

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Grundmenge und Gleichung bestimmen
Laura meinte, dass sie an dem ersten Tag zwischen $45$ und $50$ Kilometer fahren möchte. Die Grundmenge lautet damit $\mathbb{G}=\{45, 46, 47, 48, 49, 50\}.$ Du kannst die Anzahl der gefahrenen Kilometer am ersten Tag mit $x$ bezeichnen.
Du hast außerdem gegeben, dass Laura und Felix jeden Tag die Anzahl der gefahrenen Kilometer verdoppeln möchten. Am zweiten Tag möchten sie $2 \cdot x\,\text{km}$ und am dritten Tag $4 \cdot x\,\text{km}$ fahren.
Die Gleichung für die Gesamtanzahl der gefahrenen Kilometer in den drei Tagen lautet:
$x+ 2 \cdot x + 4 \cdot x =350$
b)
$\blacktriangleright$  Strecke bestimmen
Durch Einsetzen der Zahlen aus der Grundmenge in die zuvor angegebene Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 45+ 2 \cdot 45 + 4 \cdot 45 &=& 350 \\[5pt] 315&=& 350 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 46+ 2 \cdot 46 + 4 \cdot 46 &=& 350 \\[5pt] 322&=& 350 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 47+ 2 \cdot 47 + 4 \cdot 47 &=& 350 \\[5pt] 329&=& 350 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 48+ 2 \cdot 48 + 4 \cdot 48 &=& 350 \\[5pt] 336&=& 350 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 49+ 2 \cdot 49 + 4 \cdot 49 &=& 350 \\[5pt] 343&=& 350 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 50+ 2 \cdot 50 + 4 \cdot 50 &=& 350 \\[5pt] 350&=& 350 \end{array}$
Somit lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ 50\}$ und damit sind sie an dem ersten Tag $50\,\text{km}$ gefahren.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Die erste Zahl liegt zwischen $12$ und $15.$ Somit lautet die Grundmenge $\mathbb{G}=\{12, 13, 14, 15 \}.$
Die erste Zahl kannst du beispielsweise durch die Variable $x$ bezeichnen. Es ist gegeben, dass die zweite Zahl um $6$ kleiner ist als die erste Zahl. Somit gilt für die zweite Zahl $x-6.$ Die dritte Zahl ist um $4$ größer als die erste Zahl. Für die dritte Zahl gilt $x+4.$
Die Summe der drei Zahlen ergibt $40$. Damit folgt für die Gleichung zur Bestimmung des Wertes der ersten Zahl:
$x+x-6+x+4=40$
Durch Einsetzen der Zahlen aus der Grundmenge in die Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 12+12-6+12+4&=& 40 \\[5pt] 34&=& 40 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 13+13-6+13+4&=& 40 \\[5pt] 37&=& 40 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 14+14-6+14+4&=& 40 \\[5pt] 40&=& 40 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 15+15-6+15+4&=& 40 \\[5pt] 43&=& 40 \end{array}$
Die Gleichung liefert nur für die Zahl $14$ eine wahre Aussage. Somit ist die erste Zahl $14.$
b)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Die erste Zahl liegt zwischen $6$ und $10.$ Somit lautet die Grundmenge $\mathbb{G}=\{6, 7, 8, 9, 10 \}.$
Die erste Zahl kannst du beispielsweise durch die Variable $x$ bezeichnen. Es ist gegeben, dass die zweite Zahl gleich der ersten Zahl ist mit sich selbst multipliziert. Somit gilt für die zweite Zahl $x \cdot x.$ Die dritte Zahl ist um $34$ kleiner als die erste Zahl. Für die dritte Zahl gilt $x-34.$
Die Summe der drei Zahlen ergibt $29$. Damit folgt für die Gleichung zur Bestimmung des Wertes der ersten Zahl:
$x+x \cdot x+x-34=29$
Durch Einsetzen der Zahlen aus der Grundmenge in die Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 6+6\cdot 6+6-34&=& 29 \\[5pt] 14&=& 29 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 7+7\cdot 7+7-34&=& 29 \\[5pt] 29&=& 29 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 8+8 \cdot 8+8-34&=& 29 \\[5pt] 46&=& 29 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 9+9\cdot 9+9-34&=& 29 \\[5pt] 65&=& 29 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 10+10 \cdot 10+10-34&=& 29 \\[5pt] 86&=& 29 \end{array}$
Die Gleichung liefert nur für die Zahl $7$ eine wahre Aussage. Somit ist die erste Zahl $7.$
c)
$\blacktriangleright$  Zahl bestimmen
Die erste Zahl liegt zwischen $1$ und $5.$ Somit lautet die Grundmenge $\mathbb{G}=\{1, 2, 3, 4, 5 \}.$
Die erste Zahl kannst du beispielsweise durch die Variable $x$ bezeichnen. Es ist gegeben, dass die dritte Zahl das vierfache der ersten Zahl ist. Somit gilt für die dritte Zahl $4 \cdot x.$ Die zweite Zahl ist das doppelte der dritten Zahl. Für die zweite Zahl gilt entsprechend $8 \cdot x.$
Die Summe der drei Zahlen ist gleich $13.$ Damit folgt für die Gleichung zur Bestimmung des Wertes der ersten Zahl:
$x+ 8 \cdot x + 4 \cdot x=13$
Durch Einsetzen der Zahlen aus der Grundmenge in die Gleichung folgt:
$\begin{array}[t]{rll} 1+8 \cdot 1+4 \cdot 1&=& 13 \\[5pt] 13&=& 13 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 2+8 \cdot 2+4 \cdot 2&=& 13 \\[5pt] 26&=& 13 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 3+8 \cdot 3+4 \cdot 3&=& 13 \\[5pt] 39&=& 13 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 4+8 \cdot 4+4 \cdot 4&=& 13 \\[5pt] 52&=& 13 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 5+8 \cdot 5+4 \cdot 5&=& 13 \\[5pt] 65&=& 13 \end{array}$
Die Gleichung liefert nur für die Zahl $1$ eine wahre Aussage. Somit ist die erste Zahl $1.$
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