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Die Menge der reellen Zahlen

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Die Menge der reelen Zahlen ist eine Vereinigeung der Mengen der rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ und der irrationalen Zahlen $\mathbb{I}$. Das Formelzeichen für die reellen Zahlen ist $\mathbb{R}$. Eine Zahl aus der Menge der natürlichen oder der ganzen Zahlen ist immer eine relle Zahl. Das Schaubild gibt dir einen Überbick wie die verschiedenen Zahlenmengen zusammenhängen:
Reelle Zahlen: Die Menge der reellen Zahlen
Es lassen sich also alle bereits bekannte Zahlen den reellen Zahlen zuordnen.
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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#rationalezahlen#ganzezahlen
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Aufgaben
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Aufgabe 1

Handelt es sich bei dem Wert des Terms um eine rationale oder irrationale Zahl?
b)
$\sqrt{3+4}$
d)
$-\sqrt{25}$
f)
$-\frac{14}{3}$
h)
$\sqrt{\frac{169}{144}}$
j)
$\sqrt{6\cdot 8}$
l)
$\frac{142}{5}$

Aufgabe 2

Berechne und runde auf drei Nachkommastellen. Benutze dafür deinen Taschenrechner.
b)
$\sqrt{4,5\cdot3}$
d)
$-\sqrt{18}$
f)
$\sqrt{\frac{120}{4}}$
h)
$\sqrt{93}$
j)
$\sqrt{3\frac{2}{5}}$
l)
$\sqrt{\frac{142}{5}}$
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Lösungen
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Aufgabe 1

Rationale Zahlen lassen sich als Dezimalbrüche darstellen. Im Gegensatz dazu lassen sich irrationale Zahlen nicht als Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen.
a)
Diese Zahl ist ein Bruch zweier ganzer Zahlen. Somit handelt es sich um eine rationale Zahl.
b)
$\sqrt{3+4}=\sqrt{7}\approx 2,64575131106459…$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{3+4}&=& \sqrt{7}\\[5pt] &\approx& … \end{array}$
Diese Zahl lässt sich nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen, da die Nachkommastellen unperiodisch und unendlich sind.
c)
$\sqrt{16} = 4$
Dies ist eine rationale Zahl, da sie endlich ist.
d)
$-\sqrt{25} = -5$
Dies ist ebenfalls eine rationale Zahl, sie ist wieder endlich.
e)
$5\sqrt{32} = 5\sqrt{4\cdot 7} = 5\cdot 2 \cdot \sqrt{7} = 10\sqrt{7}$
$\begin{array}[t]{rll} 5\sqrt{32}&=& \\[5pt] &=& 5\sqrt{4\cdot 7} \\[5pt] &=& … \end{array}$
Dies ist eine irrationale Zahl, da $\sqrt{7}$ eine irrationale Zahl ist, wie du in Aufgabenteil b) festgestellt hast.
f)
Dies ist eine rationale Zahl, da sie sich als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
g)
$\sqrt{361} = 19$
Dies ist ebenfalls eine rationale Zahl, da sie endlich ist.
h)
$\sqrt{\dfrac{169}{144}} = \dfrac{13}{12}$
Hierbei handelt es sich um eine rationale Zahl, da sie sich als bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
i)
$-\sqrt{132} \approx -11,48912529…$
Diese Zahl ist irrational, da sie unendlich und unperiodisch ist und sich somit nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
j)
$\sqrt{6\cdot8} = \sqrt{48}\approx 6,92820323…$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{6\cdot8}&=& \sqrt{48} \\[5pt] &\approx& … \end{array}$
Dies ist ebenfalls eine irrationale Zahl, sie ist weder endlich noch periodisch.
k)
$\sqrt{32:4} = \sqrt{8} \approx 2,828427125…$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{32:4}&=& \sqrt{8} \\[5pt] &\approx& … \end{array}$
Diese Zahl ist unendlich und unperiodisch und damit irrational.
l)
Dies ist ein Bruch zweier ganzer Zahlen, somit ist diese Zahl rational.

Aufgabe 2

b)
$\sqrt{4,5\cdot3} = \sqrt{13,5} \approx 3,674$
d)
$-\sqrt{18} \approx -4,243$
f)
$\sqrt{\frac{120}{4}}\approx5,477$
h)
$\sqrt{93}\approx9,644$
j)
$\sqrt{3\frac{2}{5}}=\sqrt{\frac{3\cdot2}{5}}=\sqrt{\frac{6}{5}}\approx1,095$
l)
$\sqrt{\frac{142}{5}}\approx11,937$
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