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Intervallhalbierungsverfahren

Spickzettel
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Wenn du eine reelle Zahl näherungsweise bestimmen willst, kannst du das Verfahren der Intervallschachtelung verwenden. Dabei nimmst du zuerst ein Intervall an, in dem sich die gesuchte Zahl auf jeden Fall befindet. Dann wird die Intervalllänge zwischen zwei Zahlen in jedem Schritt halbiert, um die gesuchte Zahl anzunähern.
Dieses Verfahren einfach durchzuführen, es sind aber meist viele Rechenschritte notwendig, bis man ein genaues Ergebnis erziehlt.
#intervall
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Bestimme zwischen welchen beiden natürlichen Zahlen die Wurzel liegt.
b)
$\sqrt{263}$
d)
$\sqrt{131}$
f)
$\sqrt{177}$
h)
$\sqrt{15}$

Aufgabe 1

Vervollständige mit $>$, $<$ oder $=$, sodass der Vergleich wahr ist.
b)
$\sqrt{25}$$4,3$
d)
$\sqrt{\frac{1}{2}}$$\sqrt{\frac{1}{4}}$
f)
$\sqrt{43}$$7$
h)
$\sqrt{15}$$\sqrt{\frac{105}{7}}$

Aufgabe 2

Ziel der Aufgabe ist es, den Wert $\sqrt{12}$ näherungsweise zu bestimmen.
a)
Grenze den gesuchten Wert durch zwei natürliche Zahlen ein.
b)
Bestimme den Mittelwert der beiden festgelegten Grenzen.
c)
Quadriere den berechneten Mittelwert. Ersetze entsprechend die obere oder die untere Grenze.
d)
Wiederhole Aufgabenteil b) und c) zwei mal.

Aufgabe 3

Führe die Schritte des Intervallhalbierungsverfahrens für jede Teilaufgabe 3 mal durch.
b)
$\sqrt{19}$
d)
$\sqrt{42}$
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Die Zahl, die quadriert gerade noch kleiner als die Zahl unter der Wurzel ist, ist die untere natürliche Zahl. Die Zahl, die quadriert gerade größer ist als die Zahl unter der Wurzel, ist die obere natürliche Zahl.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{256}&<&\sqrt{263}&<& \sqrt{289} \\[5pt] \sqrt{16^2}&<&\sqrt{263}&<& \sqrt{17^2} \\[5pt] 16&<&\sqrt{263}&<& 17\\[5pt] \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{121}&<&\sqrt{131}&<& \sqrt{144} \\[5pt] \sqrt{11^2}&<&\sqrt{131}&<& \sqrt{12^2} \\[5pt] 11&<&\sqrt{131}&<& 12\\[5pt] \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{169}&<&\sqrt{177}&<& \sqrt{196} \\[5pt] \sqrt{13^2}&<&\sqrt{6}&<& \sqrt{14^2} \\[5pt] 13&<&\sqrt{6}&<& 14\\[5pt] \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{9}&<&\sqrt{15}&<& \sqrt{16} \\[5pt] \sqrt{3^2}&<&\sqrt{15}&<& \sqrt{4^2} \\[5pt] 3&<&\sqrt{6}&<& 4\\[5pt] \end{array}$

Aufgabe 1

Vervollständige mit $>$, $<$ oder $=$, sodass der Vergleich wahr ist.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{25} &=& 5 \\[5pt] \sqrt{25} &>& 4,3 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{\frac{1}{2}} &\approx& 0,707 \\[5pt] \sqrt{\frac{1}{4}} &=& 0,5 \\[5pt] \sqrt{\frac{1}{2}} &>& \sqrt{\frac{1}{4}} \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{43} &\approx& 6,557 \\[5pt] \sqrt{43} &<& 7 \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{15} &\approx& 3,873 \\[5pt] \sqrt{\frac{105}{7}} &=& \sqrt{15} &\approx& 3,873 \\[5pt] \sqrt{15} &=& \sqrt{\frac{105}{7}} \end{array}$

Aufgabe 2

Bei dieser Aufgabe lernst du Schritt für Schritt wie du Näherungswerte für irrationale Wurzeln berechnen kannst.
a)
$\blacktriangleright$ Wert eingrenzen
Es gilt: $\sqrt{9}<\sqrt{12}<\sqrt{25}$. Daraus folgt, dass der Wert von $\sqrt{12}$ zwischen den natürlichen Zahlen $3$ und $5$ liegen muss, da $\sqrt{9}=3$ und $\sqrt{25}=5$.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{12}&\in& [3;5] \\ \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Mittelwert berechnen
Um den Mittelwert zu bestimmen, addierst du die beiden Zahlen und halbierst diesen Wert.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3+5}{2}&=& 4 \\[5pt] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Mittelwert quadrieren
Nun quadrierst du diese Zahl. Liegt der Wert zwischen dem Radikand und der unteren Grenze, so ersetzt du die untere Grenze durch die ermittelte Zahl. Liegt der Wert zwischen dem Radikand und der oberen Grenze, so ersetzt du die obere Grenze durch die Zahl.
$\begin{array}[t]{rll} 4^2&=& 16 > 12 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{12}&\in& [3;4] \end{array}$
Da gilt $16>12$, musst du die obere Grenze ersetzen.
d)
$\blacktriangleright$ Grenzen anpassen
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3+4}{2}&=& 3,5 \\[5pt] 3,5^2&=& 12,25 > 12 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{12}&\in& [3;3,5] \end{array}$
Da $3,5^2>12$ wird die obere Grenze ersetzt.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{3+3,5}{2}&=& 3,25 \\[5pt] 3,25^2&=& 10,5625 < 12,25 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{12}&\in& [3,25;3,5] \end{array}$
Da $10,5625 < 12$ wird die untere Grenze angepasst. Nun weißt du, dass der Wert von $\sqrt{12}$ zwischen $3,25$ und $3,5$ liegt.

Aufgabe 3

Die Schritte des Intervallhalbierungsverfahrens hast du in der Aufgabe zuvor kennengelernt. Als erstes grenzt du den Wert mit zwei natürlichen Zahlen ein, einer kleineren und einer größeren. Anschließend berechnest du den Mittelwert dieser Grenzen und quadrierst diese Zahl. Liegt der Wert zwischen dem Radikand und der unteren Grenze, so ersetzt du die untere Grenze durch die ermittelte Zahl. Liegt der Wert zwischen dem Radikand und der oberen Grenze, so ersetzt du die obere Grenze durch die Zahl.
a)
$\blacktriangleright$ Intervallhalbierungsverfahren
Als erstes musst du nun den Wert eingrenzen.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{4}<\sqrt{7}<\sqrt{9}\\[5pt] \Rightarrow \sqrt{7}\in[2;3] \\[10pt] \end{array}$
1. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2+3}{2}&=& 2,5 \\[5pt] 2,5^2&=& 6,25 < 7 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{12}&\in& [2,5;3]\\[10pt] \end{array}$
2. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2,5+3}{2}&=& 2,75 \\[5pt] 2,75^2&=& 7,5625 > 7 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{12}&\in& [2,5;2,75]\\[10pt] \end{array}$
3. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{2,5+2,75}{2}&=& 2,625 \\[5pt] 2,625^2&=& 6,8906 < 7 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{12}&\in& [2,625;2,75] \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Intervallhalbierungsverfahren
Nun grenzt du zunächst den Wert ein.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{16}<\sqrt{19}<\sqrt{25}\\[5pt] \Rightarrow \sqrt{19}\in[4;5] \\[10pt] \end{array}$
1. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4+5}{2}&=& 4,5 \\[5pt] 4,5^2&=& 20,25 > 19 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{19}&\in& [4;4,5]\\[10pt] \end{array}$
2. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4+4,5}{2}&=& 4,25 \\[5pt] 4,25^2&=& 18,0625 < 19 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{19}&\in& [4,25;4,5]\\[10pt] \end{array}$
3. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4,25+4,5}{2}&=& 4,375 \\[5pt] 4,375^2&\approx& 19,1406 > 19 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{19}&\in& [4,25;4,375] \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Intervallhalbierungsverfahren
Beginne wieder indem du den Wert eingrenzt.
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{49}<\sqrt{63}<\sqrt{64}\\[5pt] \Rightarrow \sqrt{63}\in[7;8] \\[10pt] \end{array}$
1. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7+8}{2}&=& 7,5 \\[5pt] 7,5^2&=& 56,25 < 63 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{63}&\in& [7,5;8]\\[10pt] \end{array}$
2. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7,5+8}{2}&=& 7,75 \\[5pt] 7,75^2&=& 60,0625 < 63 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{63}&\in& [7,75;8]\\[10pt] \end{array}$
3. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{7,75+8}{2}&=& 7,875 \\[5pt] 7,875^2&\approx& 62,0156 < 63 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{19}&\in& [7,875;8] \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Intervallhalbierungsverfahren
Als erstes grenzt du den Wert ein. $\begin{array}[t]{rll} \sqrt{36}<\sqrt{42}<\sqrt{49}\\[5pt] \Rightarrow \sqrt{42}\in[6;7] \\[10pt] \end{array}$
1. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6+7}{2}&=& 6,5 \\[5pt] 6,5^2&=& 42,25 > 42 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{42}&\in& [6;6,5]\\[10pt] \end{array}$
2. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6+6,5}{2}&=& 6,25 \\[5pt] 6,25^2&=& 39,0625 < 42 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{42}&\in& [6,25;6,5]\\[10pt] \end{array}$
3. Durchführung:
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{6,25+6,5}{2}&=& 6,375 \\[5pt] 6,375^2&\approx& 40,6406 < 42 \\[5pt] \Rightarrow \sqrt{42}&\in& [6,375;6,5] \end{array}$
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