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Rechnen mit reellen Zahlen

Spickzettel
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Die Grundrechenarten können in der Menge der rellen Zahlen genauso verwendet werden wie in der Menge der rationalen Zahlen. Auch die bekannten Rechengesetze wie Kommutativgesetz, Assoziativgesetz und Distributivgesetz gelten für die rellen Zahlen.
Weitere wichtige Regeln sind die Wurzelgesetze:
Addieren und subtrahieren:
Wurzeln mit einem gleichen Radikanten und einem gleichen Wurzelexponenten kannst du addieren bzw. subtrahieren:
$a\sqrt[n]{x}-b\sqrt[n]{x}=(a-b)\sqrt[n]{x}$
$a\sqrt[n]{x}-b\sqrt[n]{x}=(a-b)\sqrt[n]{x}$
Achtung: $\sqrt{a+b}\neq\sqrt{a}+\sqrt{b}$
Multiplizieren und dividieren
Du kannst die Wurzel aus einem Produkt berechnen, indem du zunächst die Wurzel aus den einzelnen Faktoren ziehst und diese Wurzeln dann multiplizierst.
$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$
$\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$
Du kannst die Wurzel aus einem Bruch (oder Quotienten) berechnen, indem du zunächst die Wurzel aus Zähler und Nenner ziehst und diese Wurzeln dann dividierst.
$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$
$\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$
#kommutativgesetz#distributivgesetz#wurzel#assoziativgesetz
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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Überprüfe, ob das Gleichheitszeichen richtig ist.
b)
$\sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{4\cdot3}$
d)
$ \sqrt{15-7} = \sqrt{15} - \sqrt{7} $

Aufgabe 1

Vereinfache so weit wie möglich.
b)
$\sqrt{6} \cdot \sqrt{9}$
d)
$\dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}$
f)
$5\sqrt{18}-2\sqrt{18}$

Aufgabe 2

Vereinfache durch teilweise Wurzel ziehen.
b)
$\sqrt{96}$
d)
$\sqrt{32}$
f)
$\sqrt{147}$

Aufgabe 3

Vereinfache so weit wie möglich.
b)
$\sqrt{9}\cdot \sqrt{2\cdot7}$
d)
$\sqrt{32}:\sqrt{8}$
f)
$\sqrt{14+11}+\sqrt{25}$

Aufgabe 4

Vereinfache diese Terme so weit wie möglich.
b)
$\sqrt{16x^2} + \sqrt{36x^2}$
d)
$\sqrt{3x}\cdot\sqrt{4y^2}$
f)
$\sqrt{9y^2}+\sqrt{4x^2}$

Aufgabe 5

Bestimme die Lösungsmengen.
b)
$81=x^2$
d)
$0,3y^2=10,8$
f)
$8x^2=75+5x^2$
h)
$43 -x^2=-6$

Aufgabe 6

Forme so um, dass der Nenner rational wird und vereinfache so weit wie möglich.
b)
$\dfrac{7}{\sqrt{9-x}}$
d)
$\dfrac{5-\sqrt{x}}{5+\sqrt{x}}$
f)
$\dfrac{19}{\sqrt{12}}$
h)
$\dfrac{x}{5+\sqrt{x}}$

Aufgabe 7

Vereinfache so weit wie möglich und bestimme die Lösungsmenge.
b)
$(5x+2)\cdot(4-x)-36 = (6x-1)\cdot(3-5x)-5x$
$ (5x+2)\cdot(4-x)-36 = … $
d)
$(5+x)\cdot(4-x)=\left(x+7\right)^2-2x^2+1$
$ (5+x)\cdot(4-x)= … $
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

Vereinfache und berechne wenn nötig die Werte, um festzustellen, ob das Gleichheitszeichen korrekt ist.
b)
Das ist die Multiplikationsregel der Wurzelrechnung. Die Multiplikation zweier Quadratwurzeln darfst du zu einer zusammenfassen. Damit gilt die Gleichheit.
d)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{15-7}&=& \sqrt{8} \\[5pt] &\approx& 2,828 \\[5pt] \sqrt{15}-\sqrt{7}&\approx& 1,227 \\[5pt] 2,828&\neq& 1,277 \\[5pt] \end{array}$
Die Subtraktion zweier Quadratwurzeln kann man nicht zusammenfassen. Die Gleichheit gilt nicht.

Aufgabe 1

Wende hier die Wurzelrechenregeln an, die du bereits kennengelernt hast.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{6}\cdot\sqrt{9}&=& \sqrt{6\cdot9} \\[5pt] &=& \sqrt{54} \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{\sqrt{54}}{\sqrt{6}}&=&\sqrt{\dfrac{54}{6}} \\[5pt] &=&\sqrt{9} \\[5pt] &=& 3 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} 5\sqrt{18}-2\sqrt{18}&=&(5-2)\sqrt{18} \\[5pt] &=& 3\sqrt{18} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 5\sqrt{18}-2\sqrt{18}&=& … \end{array}$

Aufgabe 2

Forme den Radikanten so um, dass du teilweise die Wurzel ziehen kannst.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{96}&=& \sqrt{16\cdot 6} \\[5pt] &=&\sqrt{16} \cdot \sqrt{6} \\[5pt] &=& 4\sqrt{6} \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{32}&=& \sqrt{16\cdot 2} \\[5pt] &=&\sqrt{16} \cdot \sqrt{2} \\[5pt] &=& 4\sqrt{2} \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{147}&=& \sqrt{49\cdot 3} \\[5pt] &=&\sqrt{49} \cdot \sqrt{3} \\[5pt] &=& 7\sqrt{3} \end{array}$

Aufgabe 3

Nutze zum vereinfachen die Wurzelrechenregeln und teilweise Wurzelziehen.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{9}\cdot \sqrt{2\cdot7}&=&\sqrt{9}\cdot\sqrt{14} \\[5pt] &=& \sqrt{9\cdot14} \\[5pt] &=& 3\sqrt{14} \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{32}:\sqrt{8}&=&\sqrt{\dfrac{32}{8}} \\[5pt] &=& \sqrt{4} \\[5pt] &=& 2 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{14+11}+\sqrt{25}&=&\sqrt{25}+\sqrt{25} \\[5pt] &=& 2\sqrt{25} \\[5pt] &=& 2\cdot 5 \\[5pt] &=& 10 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{14+11}+\sqrt{25}&=& … \end{array}$

Aufgabe 4

Gehe vor wie in der Aufgabe zuvor. Die Variablen erhalten keine gesonderte Rolle, sondern werden wie Zahlen behandelt.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{16x^2} + \sqrt{36x^2}&=& \sqrt{16 \cdot x^2} + \sqrt{36 \cdot x^2} \\[5pt] &=& 4\cdot x+6 \cdot x\\[5pt] &=& 10x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{16x^2} + \sqrt{36x^2}&=& … \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{3x}\cdot\sqrt{4y^2}&=& \sqrt{3x\cdot 4y^2} \\[5pt] &=& \sqrt{3\cdot 4 \cdot x \cdot y^2} \\[5pt] &=& \sqrt{4y^2 \cdot 3x} \\[5pt] &=& 2y \cdot \sqrt{3x} \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{9y^2}+\sqrt{4x^2}&=& \sqrt{9\cdot y^2}+\sqrt{4\cdot x^2} \\[5pt] &=& 3y+2x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \sqrt{9y^2}+\sqrt{4x^2}&=& … \end{array}$

Aufgabe 5

Um die Lösungsmenge bestimmen zu können, fasst du als erstes so weit wie möglich zusammen und löst dann nach der Variablen auf.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 81&=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] 9&=&x \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} 0,3y^2&=& 10,8 &\quad \scriptsize \mid\;:0,3 \\[5pt] y^2&=& 36 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] y&=& 6 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} 8x^2&=& 75+5x^2&\quad \scriptsize \mid\; -5x^2\\[5pt] 3x^2&=& 75 &\quad \scriptsize \mid\; :3\\[5pt] x^2 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] x&=& 5 \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} 43-x^2&=& -6 &\quad \scriptsize \mid\;+6 \\[5pt] 49-x^2&=& 0 &\quad \scriptsize \mid\;+x^2 \\[5pt] 49 &=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{}\\[5pt] 7 &=& x \end{array}$

Aufgabe 6

Um den Nenner rational zu machen, musst du den Bruch entsprechend mit dem Nenner erweitern. Beachte dabei die binomischen Formeln!
b)
$\begin{array}[t]{rll} && \dfrac{7}{9-\sqrt{x}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(\dfrac{9+\sqrt{x}}{9+\sqrt{x}}\right)\\[5pt] &=& \dfrac{7}{9+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{9+\sqrt{x}}{9+\sqrt{x}}\\[5pt] &=& \dfrac{7\cdot \left(9+\sqrt{x}\right)}{\left(9-\sqrt{x}\right)\cdot \left(9+\sqrt{x}\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{7\cdot 9 + 7\cdot \sqrt{x}}{9^2-\left(\sqrt{x}\right)^2}\\[5pt] &=& \dfrac{63+7\sqrt{x}}{81-x} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} && \dfrac{7}{9-\sqrt{x}} \\[5pt] &=& … \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} && \dfrac{5-\sqrt{x}}{5+\sqrt{x}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \left(\dfrac{5-\sqrt{x}}{5-\sqrt{x}}\right)\\[5pt] &=& \dfrac{5-\sqrt{x}}{5+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{5-\sqrt{x}}{5-\sqrt{x}}\\[5pt] &=& \dfrac{\left(5-\sqrt{x}\right)\cdot \left(5-\sqrt{x}\right)}{\left(5+\sqrt{x}\right)\cdot \left(5-\sqrt{x}\right)} \\[5pt] &=& \dfrac{\left(5-\sqrt{x}\right)^2}{5^2-\left(\sqrt{x}\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{25-10\sqrt{x}+x}{25-x} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} && \dfrac{5-\sqrt{x}}{5+\sqrt{x}}\\[5pt] &=& … \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} &&\dfrac{19}{\sqrt{12}} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{12}} \\[5pt] &=& \dfrac{19}{\sqrt{12}} \cdot \dfrac{\sqrt{12}}{\sqrt{12}} \\[5pt] &=& \dfrac{19 \cdot \sqrt{12}}{\sqrt{12}\cdot \sqrt{12}} \\[5pt] &=& \dfrac{19\cdot \sqrt{4*3}}{12} \\[5pt] &=& \dfrac{19\cdot 2\cdot \sqrt{3}}{12} \\[5pt] &=& \dfrac{38 \sqrt{3}}{12} \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} && \dfrac{x}{5+\sqrt{x}} &\quad \scriptsize \mid\;\cdot \dfrac{5-\sqrt{x}}{5-\sqrt{x}} \\[5pt] &=&\dfrac{x}{5+\sqrt{x}} \cdot \dfrac{5-\sqrt{x}}{5-\sqrt{x}} \\[5pt] &=&\dfrac{x \cdot \left(5-\sqrt{x}\right)}{\left(5+\sqrt{x}\right)\cdot \left(5-\sqrt{x}\right)} \\[5pt] &=&\dfrac{5x-x\cdot\sqrt{x}}{5^2-\left(\sqrt{x}\right)^2} \\[5pt] &=&\dfrac{5x-x\cdot\sqrt{x}}{25-x} \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} && \dfrac{x}{5+\sqrt{x}}\\[5pt] &=& … \end{array}$

Aufgabe 7

Diese Aufgaben sind etwas umfangreicher als die vorherigen. Nicht desto trotz fasst du zuerst so weit wie möglich zusammen und löst dann nach der Variablen auf.
a)
$\begin{array}[t]{rll} \left(3x-1\right)^2+91x^2 &=& -2\cdot(3x-72,5) \\[5pt] 9x^2-6x+1+91x^2&=& \left(-2\right)\cdot 3x -2\cdot \left(-72,5\right) \\[5pt] 100x^2-6x+1 &=& -6x+145 &\quad \scriptsize \mid\; +6x\\[5pt] 100x^2+1 &=& 145 &\quad \scriptsize \mid\; -1\\[5pt] 100x^2 &=& 144 &\quad \scriptsize \mid\; :100\\[5pt] x^2 &=& 1,44 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] x &=& 1,2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \left(3x-1\right)^2+91x^2&=& … \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} (5x+2)\cdot(4-x)-36 &=& (6x-1)\cdot(3-5x)-5x \\[5pt] 5x \cdot 4 + 5x \cdot (-x)+ 2 \cdot 4 + 2 \cdot (-x)-36&=& 6x\cdot 3 + 6x \cdot (-5x)-1\cdot 3 -1 \cdot (-5x)-5x \\[5pt] 20x-5x^2+8-2x-36 &=& 18x-30x^2-3+5x-5x \\[5pt] 18x-5x^2-28 &=& 18x-30x^2-3 &\quad \scriptsize \mid\; -18x\\[5pt] -5x^2-28 &=& -30x^2-3 &\quad \scriptsize \mid\; +30x^2\\[5pt] 25x^2-28&=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; +28\\[5pt] 25x^2 &=& 25 &\quad \scriptsize \mid\; :25\\[5pt] x^2 &=& 1 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] x &=& 1 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} (5x+2)\cdot(4-x)-36 … \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} (x+3)\cdot(x-3)+(4-3x)\cdot x&=& 4x-13 \\[5pt] x^2-3^2+4x-3x\cdot x &=& 4x-13 \\[5pt] x^2-9+4x-3x^2&=& 4x-13 \\[5pt] -2x^2-9+4x &=& 4x-13 &\quad \scriptsize \mid\; -4x\\[5pt] -2x^2-9 &=& -13 &\quad \scriptsize \mid\; +13\\[5pt] -2x^2+4 &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; +2x^2\\[5pt] 4 &=& 2x^2 &\quad \scriptsize \mid\; :2\\[5pt] 2 &=& x^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{}\\[5pt] \sqrt{2} &=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} (x+3)\cdot(x-3)+… \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} (5+x)\cdot(4-x)&=&\left(x+7\right)^2-2x^2+1 &\quad \scriptsize \mid\; \\[5pt] 5\cdot 4+5\cdot (-x)+x\cdot4+x\cdot(-x) &=& x^2+14x+49-2x^2+1 \\[5pt] 20-5x+4x-x^2 &=& -x^2+14x+50 \\[5pt] 20-x-x^2 &=& -x^2+14x+50 &\quad \scriptsize \mid\;+x^2 \\[5pt] 20-x &=& 14x+50 &\quad \scriptsize \mid\;+x \\[5pt] 20 &=& 15x+50 &\quad \scriptsize \mid\; -50\\[5pt] -30 &=& 15x &\quad \scriptsize \mid\; :15\\[5pt] -2 &=& x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} (5+x)\cdot(4-x) &=& … \end{array}$
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