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Potenzen mit gleicher...
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Zinseszins
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Zinseszins

Spickzettel
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Die Zinsrechnung ist eine besondere Form der Prozentrechnung, bei der ein Anfangskapital $K_0$ (entspricht dem Grundwert) betrachtet wird, welches jährlich mit dem Zinssatz (entspricht dem Prozentsatz) $p$ verzinst wird. Dabei fallen nach einem Jahr Zinsen (entspricht dem Prozentwert) in Höhe von $p \,\%$ des Anfangskapitals an. Wenn du Geld über einen Zeitraum von mehr als einem Jahr anlegst, werden die Zinsen die du erhältst mit fortschreitender Zeit weiter verzinst. Dabei spricht man vom Zinseszins.
Das Endkapital inklusive Zins und Zinseszins nach $n$ Jahren erhältst du dabei wie folgt.
$K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
$K_n=K_0\cdot \left(1+ \dfrac{p}{100} \right)^n$
Dabei gilt:
  • $K_0:$ Anfangskapital
  • $K_n:$ Endkapital nach $n$ Jahren
  • $n:$ Anlagezeit in Jahren
  • $p:$ Zinssatz

Beispiel

Ein Kapital von 200 € wird acht Jahre lang mit einem jährl. Zinssatz von $2\,\%$ verzinst. Wie hoch ist das Kapital nach 8 Jahren?
Es gilt:
  • $K_0=200\,\text {€}$
  • $n=8$ Jahre
  • $p=2\,\%$
  • Gesucht: $K_8$
Mit der obigen Formel erhältst du:
$K_8=K_0\cdot\left(1+ \dfrac{p}{100}\right)^n=200\text{ €}\cdot\left(1+ \dfrac{2}{100}\right)^8=200\,\text {€}\cdot(1,02)^8\approx 200\text{ €}\cdot 1,17=234\,\text {€}$
$K_8$ = $K_0\cdot\left(1+ \dfrac{p}{100}\right)^n$
= $200\text{ €}\cdot\left(1+ \dfrac{2}{100}\right)^8$
= $200\,\text {€}\cdot(1,02)^8$
$\approx$ $200\text{ €}\cdot 1,17$
= $234\,\text {€}$
Das heißt, dass das Endkapital nach $8$ Jahren ca. $234\text{ €}$ beträgt.
#zinseszins#zinssatz
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Aufgaben
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1.
Für ein Kapital von $1.000\, €$ zahlt eine Bank $2,5\,\%$ Zinsen. Die Zinsen werden jährlich mitverzinst.
Wie viel Geld steht dir nach $5$ Jahren zur Verfügung?
2.
Angenommen dein Vater hätte bei deiner Geburt auf einem Konto $5.000\, €$ zu einem Zinssatz von $4\,\%$ angelegt.
Wie viel Geld hätte sich dann bis zu deinem $16.$ Lebensjahr auf diesem Konto angespart, wenn die Zinsen jährlich mitverzinst wurden?
3.
Ein Bauplatz kostet $150.000\, €$. Deine Eltern beschließen diesen nicht zu verkaufen, da der Wert des Bauplatzes pro Jahr um $2\,\%$ des Vorjahreswerts steigt.
Wie viel ist der Bauplatz in $10$ Jahren wert?
4.
Du legst $800\, €$ für die nächsten $8$ Jahre zum Zinssatz von $2,8\,\%$ an. Die jährlichen Zinsen werden mitverzinst. Nach $4$ Jahren zahlst du zusätzlich $400\,€$ auf dein Konto ein.
Wie viel Geld hast du nach $8$ Jahren auf deinem Konto angespart?
5.
Nehmen wir an, Deutschland wäre mit 'nur' $2$ Milliarden Euro verschuldet.
Um wie viel Euro würde der Schuldenberg innerhalb von $2$ Jahren anwachsen, wenn Deutschland pro Jahr $17\,\%$ Soll-Zinsen zahlen müsste und die anfallenden Zinsen mitverzinst werden?
6.
Nach $8$ Jahren ist das Geld auf deinem Konto auf $867\, €$ angewachsen. Der Zinssatz betrug $1,8\,\%$.
Wie viel Geld hattest du zu Beginn dieser Laufzeit auf deinem Konto, wenn die Zinsen jährlich mitverzinst wurden?
7.
Du hast vor $5$ Jahren bei einer Bank $1.000\,€$ angelegt. Nun hast du auf dem Konto $1.120\, €$.
Wie viel Prozent Zinsen hat dir die Bank jährlich gewährt, wenn die Zinsen jeweils mitverzinst wurden?
8.
Ein Kapital wächst in $7$ Jahren von $1.230\, €$ auf $1.429\, €$.
Wie hoch muss der jährliche Zinssatz sein?
9.
Ein Kapital von $10.000\, €$ wird mit $10\,\%$ Zinsen pro Jahr verzinst.
Die Zinsen werden mitverzinst. Wie lange würde es dauern, bis sich das Kapital verdoppelt hat?
10.
Du legst bei einer Bank $500\, €$ auf einem Konto an. Im ersten Jahr erhältst du von der Bank $1,7\,\%$ Zinsen, im zweiten Jahr $2,0\,\%$ Zinsen und im dritten Jahr $2,3\,\%$ Zinsen. Zinsen werden mitverzinst.
Wie viel Geld hast du nach $3$ Jahren auf deinem Konto?
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ Fünf Jahre Zinseszins
Verwende die Formel für den Zinseszins, um auszurechnen, wie viel Geld du nach fünf Jahren hast:
$\begin{array}{rl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] K_5=&1.000\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{2,5}{100}\right)^5&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] K_5\approx&1.000\,\text{€}\cdot1,131\\[5pt] K_5\approx&1.131,41\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$ K_5\approx 1.131,41\,€\\[5pt] $
Nach fünf Jahren hast du $1.131,41\,€$ zur Verfügung.
2.
$\blacktriangleright$ Zinseszins bis zum 16. Geburtstag
Benutze einfach wieder die Formel für die Zinseszinsrechnung und setze alle Angaben ein, um das Ergebnis zu berechnen:
$\begin{array}{rl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] K_{16}=&5.000\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{4}{100}\right)^{16}\quad&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] K_{16}\approx&5.000\,\text{€}\cdot1,873\\[5pt] K_{16}\approx&9.364,91\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$ K_{16}\approx 9.364,91\,\text{€} $
Du hättest $9.364,91\,€$ auf dem Konto angespart.
3.
$\blacktriangleright$ Wert des Bauplatzes
Setze hier wieder alle Angaben in die Formel ein, um ausrechnen zu können, wie viel der Bauplatz nach zehn Jahren wert ist:
$\begin{array}{rcl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] K_{10}=&150.000\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{2}{100}\right)^{10}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] K_{10}\approx&150.000\,\text{€}\cdot1,219\\[5pt] K_{10}\approx&182.849,16\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$ K_{10}\approx182.849,16\,\text{€} $
Nach zehn Jahren ist der Bauplatz $182.849,16\, €$ wert.
4.
$\blacktriangleright$ Kontostand nach vier Jahre
Rechne zuerst aus, wie viel Geld du nach vier Jahren auf dem Konto hast:
$\begin{array}{rl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] K_4=&800\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{2,8}{100}\right)^4&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] K_4\approx&800\,\text{€}\cdot1,117\\[5pt] K_4\approx&893,43\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$ K_4\approx 893,43\,\text{€} $
  $\blacktriangleright$ Weitere $\boldsymbol{400 €}$
Addiere nun 400 € zu dem momentanen Kontostand hinzu:
$893,43\, € + 400\, € =1.293,43\, €$
Die Zinseszinsen laufen jetzt noch weitere vier Jahre weiter. Berechne also, wie der Kontostand nach weiteren vier Jahren aussieht:
$\begin{array}{rl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]K_4=&1.293,43\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{2,8}{100}\right)^4&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]K_4\approx&1.293,43\,\text{€}\cdot1,117\\[5pt]K_4\approx&1.444,50\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
$ K_4\approx 1.444,50\,\text{€} $
Es haben sich nach acht Jahren $1.444,50\,€$ auf dem Konto angespart.
5.
$\blacktriangleright$ Deutschlands Schulden
Setze alle gegebenen Werte in die Zinsformel ein und berechne, wie viele Schulden es nach zwei Jahren gibt:
$\begin{array}{rl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]K_2=&2.000.000.000\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{17}{100}\right)^2&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]K_2=&2.000.000.000\,\text{€}\cdot1,3689\\[5pt]K_2=&2.737.800.000\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
$ K_2 = 2.737.800.000\,\text{€} $
$2.737.800.000\, € -2.000.000.000\, € =737.800.000\, €$
Nach zwei Jahren würde Deutschland $737,8~\text{Mio}~€$ Schulden mehr haben.
6.
$\blacktriangleright$ Anfangskapital
Nehme dir die Zinseszinsformel und löse sie nach $K_0$ auf, um das Anfangskapital auszurechnen:
$\begin{array}{rl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize{|:\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n}\\[5pt]K_0=&\dfrac{K_n}{\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]K_0=&\dfrac{867\,\text{€}}{\left(1+\dfrac{1,8}{100}\right)^8}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]K_0\approx&\dfrac{867\,\text{€}}{1,153}\\[5pt]K_0\approx&751,69\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
$ K_0\approx 751,69\,\text{€} $
Das Anfangskapital betrug $751,69\, €$.
7.
$\blacktriangleright$ Zinssatz 1
Setze zuerst die gegebenen Werte in die Zinseszinsformel ein. Löse sie dann nach $p$ auf, um deinen Zinssatz ausrechnen zu können:
$\begin{array}{rl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] 1.120\,\text{€}=&1.000\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^5&\scriptsize{|:1.000\,\text{€}}\\[5pt] \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^5=&\dfrac{1.120\,€}{1.000\,€}&\scriptsize\text{zusammenfassen}\\[5pt] \left(1+\dfrac{p}{100}\right)^5=&1,12&\scriptsize{|\sqrt[5]{\;}}\\ 1+\dfrac{p}{100}\approx&1,023&\scriptsize{|-1}\\[5pt]\dfrac{p}{100}\approx&0,023&\scriptsize{|\cdot 100}\\[5pt]p\approx&2,3\\[5pt]\end{array}$
$ \dfrac{p}{100}\approx 0,023 \scriptsize{|\cdot 100}\\[5pt]p\approx 2,3 $
Der Zinssatz beträgt etwa $2,3\,\%$.
8.
$\blacktriangleright$ Zinssatz 2
Setze wieder zuerst die ganzen Werte in die Zinseszinsformel ein und löse dann nach $p$ auf:
$\begin{array}{rl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]1.429\,\text{€}=&1.230\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^7&\scriptsize{|:1.230\,\text{€}}\\[5pt]\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^7=&\dfrac{1.429\,€}{1.230\,€}&\scriptsize\text{zusammenfassen}\\[5pt]\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^7\approx&1,162&\scriptsize{|\sqrt[7]{\;}}\\[5pt]1+\dfrac{p}{100}\approx&1,022&\scriptsize{|-1}\\[5pt]\dfrac{p}{100}\approx&0,022&\scriptsize{|\cdot 100}\\[5pt]p\approx&2,2\\[5pt]\end{array}$
$ p\approx 2,2 $
Der Zinssatz beträgt etwa $2,2\,\%$.
9.
$\blacktriangleright$ Länge der Laufzeit
Wenn sich das Anfangskapital verdoppeln soll, dann ist $K_n=2\cdot K_0$. Setze diese Werte ein und löse dann mit Hilfe des Logarithmus nach $n$ auf:
$\begin{array}{rl} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]20.000\,\text{€}=&10.000\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^n&\scriptsize{|:10.000\,\text{€}}\\[5pt]\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^n=&\dfrac{20.000\,€}{10.000\,€}&\scriptsize\text{zusammenfassen}\\[5pt](1,1)^n=&2&\scriptsize{|\log}\\[5pt]n\cdot \log(1,1)=&\log(2)&\scriptsize{|:\log(1,1)}\\[5pt]n=&\dfrac{\log(2)}{\log(1,1)}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]n\approx&7,27\\[5pt]\end{array}$
$ n\approx 7,27 $
Es dauert etwa sieben Jahre und drei Monate, bis sich das Anfangskapital verdoppelt hat.
10.
$\blacktriangleright$ Erstes Jahr
Da sich die Zinsen jedes Jahr erhöhen, wirst du die hinzukommende Erträge alle einzeln ausrechnen müssen. Berechne also zuerst die Zinsen nach dem ersten Jahr:
$\begin{array}{rl} Z=&\dfrac{K\cdot p}{100}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]Z=&\dfrac{500\,\text{€}\cdot 1,7}{100}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]Z=&\dfrac{850\,\text{€}}{100}\\[5pt]Z=&8,50\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
$500\, € + 8,50\, € = 508,50\, €$
Nach einem Jahr befinden sich $508,5\, €$ auf dem Konto
$\blacktriangleright$ Zweites Jahr
Der Zinssatz beträgt nun $2,0\,\%$. Berechne auf dieselbe Art wie eben den Kontostand nach dem zweiten Jahr:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} Z=&\dfrac{508,50\,\text{€}\cdot 2}{100}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]Z=&\dfrac{1.017\,\text{€}}{100}\\[5pt]Z=&10,17\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
$508,50\, € +10,17\, € = 518,67\, €$.
$\blacktriangleright$ Drittes Jahr
Zum Schluss ist der Zinssatz $2,3\,\%$:
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} Z=&\dfrac{518,67\,\text{€}\cdot 2,3}{100}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]Z=&\dfrac{1.192,941\,\text{€}}{100}\\[5pt]Z\approx&11,93\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
$518,67\, € +11,93\, € = 530,60\, €$
Nach drei Jahren hast du $530,60\,€$ auf deinem Konto.
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