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Erhöhter und verminderter Grundwert

Spickzettel
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In der Prozentrechnung werden das „Ganze“ als Grundwert $G$, der „Anteil“ als Prozentsatz $p \%$, der „Teil des Ganzen“ als Prozentwert $W$ bezeichnet. Es gilt:
Prozentsatz: $p\%=\dfrac{W}{G} \cdot 100\%$
Prozentsatz: $p\%=\dfrac{W}{G} \cdot 100\%$
Prozentwert: $W=G \cdot \dfrac{p}{100\%}$
Prozentwert: $W=G \cdot \dfrac{p}{100\%}$
Grundwert: $G=W \cdot \dfrac{100\%}{p}$
Grundwert: $G=W \cdot \dfrac{100\%}{p}$
Wobei der Prozentsatz hier immer in % angegeben ist.
Steigt der Grundwert um den Prozentwert, so handelt es sich um einen erhöhten Grundwert:
$\text{Erhöhter Grundwert} = G + W$
$\text{Erhöhter Grundwert} = G + W$
Fällt der Grundwert um den Prozentwert, so handelt es sich um einen verminderten Grundwert:
$\text{Verminderter Grundwert} = G - W$
$\text{Verminderter Grundwert} = G - W$

Beispiel

Ein Neuwagen kostet $20.000€$. Möchte man diesen Wagen in Metallicfarbe kaufen, so steigt der Preis um $5\%$. Zahlt man den ganzen Betrag sofort, so sinkt der Preis auf $90\%$.
a)
Was kostet der Wagen in Metallicfarbe?
Hierbei handelt es sich um einen erhöhten Grundwert, da der Preis steigt. Berechne als erstes den Prozentwert $W$:
$W=G \cdot \dfrac{p\%}{100\%} $$= 20.000 \cdot \dfrac{5\%}{100\%} = 1.000$
Addiere (der Preis steigt) dieses Ergebnis zum Grundwert G:
$20.000+1.000=21.000$
Der Wagen kostet in Metallicfarbe $21.000€.$
b)
Was kostet der Wagen, wenn der gesamte Betrag sofort bezahlt wird?
Hierbei handelt es sich um einen verminderten Grundwert, da der Preis fällt. Der Preis fällt auf $90\%$, somit sinkt er um $100\%-90\% = 10\%$. Berechne als erstes den Prozentwert $W$ und subtrahiere dieses Ergebnis vom Grundwert $G$:
$W=G \cdot \dfrac{p\%}{100\%} $$= 20.000 \cdot \dfrac{10\%}{100\%} = 2.000$
Der Wagen kostet bei sofortiger Zahlung $20.000-2.000=18.000€$.
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1.
Erhöhte Grundwerte
Herr Müller hat $5.000\,€$ in der Lotterie gewonnen. Dieses Geld will er nun sparen, weshalb er es über ein Jahr zu einem Zinssatz von $5\,\%$ anlegen will.
a)
Wie viel Euro erhält er insgesamt nach einem Jahr?
b)
Die Bank macht Herrn Müller nun ein alternatives Angebot bei dem er nach einem Jahr $5.300\,€$ ausgezahlt bekommt. Welchem Zinssatz entspricht dies?
2.
Verminderte Grundwerte
Eine bekannte Modekette verkauft zum Winterschlussverkauf ihre Waren $25\,\%$ reduziert. Franziska kauft daraufhin eine Jacke im Wert von $80\,€$, eine Mütze im Wert von $15\,€$ und Schmuck im Wert von $25\,€$.
a)
Berechne, wie viel sie bezahlen muss.
b)
Da Franziska eine Stammkundin ist, erhählt sie weitere Rabatte und zahlt im Endeffekt nur $80\,€$. Welchen Rabatt hat sie insgesamt bekommen?
3.
Erhöhte und verminderte Grundwerte
Eine Schachtel Pralinen kostet $6\,€$. Normalerweise beinhaltet diese $20$ Pralinen. Zurzeit läuft eine besondere Aktion. Bis Ende des Monats enthält die Schachtel $20\,\%$ mehr Inhalt.
a)
Berechne, wie viele Pralinen in einer Schachtel enthalten sind.
b)
Wie hoch ist der Stückpreis während der Aktion und um wie viel Prozent hat sich der Preis verändert? Handelt es sich hierbei um einen erhöhten oder verminderten Grundwert?
c)
Da die Aktion so erfolgreich war, will der Produzent eine neue Aktion starten. Der Stückpreis soll um ca. $10\,\%$ gesenkt werden. Wie viel Inhalt muss dann in der Schachtel sein?
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1.
Erhöhte Grundwerte 
a)
$\blacktriangleright$ Wert der Anlage berechnen
Da er mehr Geld erhält, berechnest du einen erhöhten Grundwert. Hier entspricht der Grundwert dem angelegten Geld $G=5.000\,€$ und der Prozentsatz dem Zinssatz $p\,\%=5\,\%$. Die Zinsen, die er nach einem Jahr erhält sind somit der Prozentwert. Es gilt:
Prozentwert: $W=G \cdot \dfrac{p}{100\,\%}$
Prozentwert: $W=G \cdot \dfrac{p}{100\,\%}$
Setzt du die Werte ein, so erhältst du:
$W = 5.000 \, € \cdot \dfrac{5\,\%}{100\,\%}$$= 5.000 \,€ \cdot \dfrac{1}{20} $$= 250 \,€.$
Addiere nun den Prozentwert auf den Grundwert, um den erhöhten Grundwert zu erhalten:
$5.000\,€ + 250\,€ $$= 5.250\,€$.
Herr Müller erhält nach einem Jahr insgesamt $5.250\,€$.
b)
$\blacktriangleright$ Zinssatz berechnen
Der erhöhte Grundwert entspricht hier $5.300\,€$. Mit dem Grundwert $G$ kannst du den Prozentwert $W$ berechnen:
$W = \text{Erhöhter Grundwert} - G$$ = 5.300 \,€ - 5.000 \,€ $$= 300\,€$.
Hast du Grund- und Prozentwert gegeben, kannst du mit folgender Formel den Prozentsatz berechnen:
Prozentsatz: $p\,\%=\dfrac{W}{G} \cdot 100\,\%$
Prozentsatz: $p\,\%=\dfrac{W}{G} \cdot 100\,\%$
Setze dazu die Werte ein:
$p\,\%= \dfrac{300 \,€}{5.000\,€} \cdot 100\,\%=6\,\%.$
Somit beträgt der Zinssatz $6\,\%$.
2.
Verminderte Grundwerte 
a)
$\blacktriangleright$ Einkaufspreis berechnen
Da Franziska durch den Rabatt weniger bezahlen muss, handelt es sich um einen verminderten Grundwert. Der Grundwert $G$ berechnet sich aus den einzelnen Werten der Waren:
$G=80\,€ + 15\,€ + 25\,€= 120\,€$.
Sie erhält $25\,\%$ auf den Einkauf, damit berechnet sich der Prozentwert $W$ folgendermaßen:
$W=120\,€ \cdot \dfrac{25\,\%}{100\,\%} $$= 120\,€ \cdot \dfrac{1}{4} = 30\,€.$
Damit kannst du den verminderten Grundwert berechnen:
$\text{Verminderter Grundwert} = 120 \,€ - 30 \,€ $$=90\,€.$
Somit zahlt Franziska insgesamt nur $90\,€$.
b)
$\blacktriangleright$ Rabatt berechnen
Der verminderte Grundwert entspricht hier $80\,€$. Mit dem Grundwert $G$ kannst du den Prozentwert $W$ berechnen:
$W = \text{Verminderter Grundwert} - G $ $= 120 \,€ - 80 \,€ $$= 40\,€.$
Hast du Grund- und Prozentwert gegeben, kannst du mit folgender Formel den Prozentsatz berechnen:
$p\,\%=\dfrac{W}{G} \cdot 100\,\% $$= \dfrac{40 \,€}{120\,€} \cdot 100\,\% $$\approx 33,33\,\%.$
Somit beträgt der insgesamte Rabatt ca. $33,33\,\%$.
3.
Erhöhte und verminderte Grundwerte 
a)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Pralinen berechnen
Da $20\,\%$ mehr Inhalt in der Schachtel sind, berechnest du einen erhöhten Grundwert. Hier sind $G=20$ und $p\,\%=20\,\%$. Es gilt:
$W=G\cdot \dfrac{p\,\%}{100\,\%}=20 \cdot \dfrac{20\,\%}{100\,\%} = 4$
Also ist der Inhalt während der Aktion: $4+ 20 =24.$
In einer Schachtel sind $24$ Pralinen enthalten.
b)
$\blacktriangleright$ Stückpreis berechnen
Berechne zuerst den normalen Stückpreis. Dieser ist der Quotient der Kosten und der Pralinenanzahl:
$\text{Stückpreis} =\dfrac{6\,€}{20\text{ St.}}=0,30\, \dfrac{\,€}{\text{St.}}.$
$\text{Aktionsstückpreis} $$= \dfrac{6\,€}{24\text{ St.}} $$=0,25\, \dfrac{\,€}{\text{St.}}$
Der Stückpreis einer Praline ist somit von $0,30 \,\dfrac{\,€}{\text{St.}}$ auf $0,25\, \dfrac{\,€}{\text{St.}}$ gefallen. Damit handelt es sich um einen verminderten Grundwert. Den Prozentwert kannst du folgendermaßen berechnen:
$W= \text{Verminderter Grundwert} - G $$= 0,30\, \dfrac{\,€}{\text{St.}} - 0,25\, \dfrac{\,€}{\text{St.}} $$= 0,05\, \dfrac{\,€}{\text{St.}}$
Damit kannst du nun auch den Prozentwert berechnen:
$p\,\%= \dfrac{W}{G} \cdot 100\,\% $$= \dfrac{0,05}{0,30} \cdot 100\,\% $$\approx 16,67\,\%$
Somit wird der Preis während der Aktion um $16,67\,\%$ gesenkt.
c)
$\blacktriangleright$ Anzahl der Pralinen berechnen
Gesucht ist die Anzahl an Pralinen. Berechne dazu zuerst den neuen Stückpreis, damit kannst du die Anzahl an Pralinen in der Schachtel berechnen. Den neuen Stückpreis berechnest du folgendermaßen:
$\begin{array}[t]{rll} \text{Stückpreis Neu} &=& \text{Stückpreis Alt} - \text{Prozentwert} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& G - \left( G \cdot \dfrac{p\,\%}{100\,\%} \right) \\[5pt] &=& 0,30\, \dfrac{\,€}{\text{St.}} - 0,03\, \dfrac{\,€}{\text{St.}} \\[5pt] &=& 0,27\, \dfrac{\,€}{\text{St.}} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} \text{Stückpreis Neu}&=& 0,27\, \dfrac{\,€}{\text{St.}} \end{array}$
Der neue Stückpreis beträgt somit $0,27\, \dfrac{\,€}{\text{St.}}$. Eine Schachtel kostet $6\,€$, damit kannst du die Anzahl an Pralinen folgendermaßen berechnen:
$\text{Anzahl an Pralinen} $$= 6\,€ : 0,27\, \dfrac{\,€}{\text{St.}} $$\approx 22,22$
Somit befinden sich $22$ Pralinen in den Packungen.
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