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Aufgaben
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1.
Max möchte sich ein Moped kaufen. Dieses kostet $2.000\,€$. Der Händler bietet Max einen Rabatt von $10\,\%$ falls er bar bezahlt. Max hat $500\, €$ angespart und nimmt für die restliche Summe einen Kredit zu $6\,\%$ auf.
Wie viel muss Max für das Moped bezahlen?
2.
Die Großeltern von Erik haben zu seiner Geburt ein Konto eröffnet und $750\,€$ eingezahlt. Diese Summe wird mit $3\,\%$ jährlich verzinst. Erik möchte nun das Geld auf dem Konto nutzen, um mit $18$ Jahren seinen Führerschein zu machen, welcher $1400\,€$ kostet. Der Fahrlehrer gewährt Erik einen Rabatt von $10\,\%$.
Reicht Erik das Geld?
3.
Herr Müller kauft sich einen neuen Fernseher. Er schließt dazu bei dem Händler eine Finanzierung ab. Ein Jahr lang zahlt er jeden Monat eine Rate in Höhe von $80\,€$ Damit ist $96\,\%$ des Kaufpreis gedeckt. $4\,\%$ musste er als Anzahlung sofort zahlen.
a)
Wie viel musste Herr Müller als Anzahlung bezahlen?
b)
Wie viel würde der Fernseher kosten, wenn der Händler die Mehrwertsteuer für Herrn Müller übernehmen würde?
4.
Ulrike hat $1000\,€$, welche mit $5\,\%$ pro Jahr verzinst werden. Nach zwei Jahren habt sie das Geld ab und renoviert damit ihr Zimmer. Ihre Eltern zahlen $40\,\%$ an der Renovierung.
Wie viel kostet die Renovierung, wenn Ulrike ihre ganzen Ersparnisse verbraucht?
5.
Eine Stereoanlage ist einmalig um $30\%$ reduziert. Normalerweise kostet sie $700\,€$. Tom möchte sich diese Anlage unbedingt kaufen. Er hat $200\,€$ und würde das restliche Geld per Dispokredit zu einem Zinssatz von $15\%$ bekommen.
Lohnt es sich für Tom sein Konto zu überziehen und die Stereoanlage jetzt zu kaufen?
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1.
Schritt 1: Kosten an den Händler
Max wird das Moped bar kaufen, also muss er nur $90\,\%$ des Preises bezahlen:
$\begin{array}{ll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] P&=&\dfrac{2.000\,\text{€}\cdot 90}{100}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] P&=&\dfrac{180.000\,€}{100}\\[5pt] P&=&1.800\,€\\[5pt] \end{array}$
Schritt 2: Kredit von der Bank
Berechne nun, wie viel Geld Max von der Bank leihen muss:
$1.800\,\text{€}-500\,\text{€}=1.300\,\text{€}$
Für diese $1.300\,\text{€}$ muss Max noch $6\,\%$ Zinsen zahlen:
$\begin{array}{llll} P&=&\dfrac{G\cdot p}{100}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] P&=&\dfrac{1.300\,\text{€}\cdot 6}{100}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] P&=&\dfrac{7.800\,\text{€}}{100}\\[5pt] P&=&78\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
Addiere zum Schluss die beiden Kosten zusammen:
$1.800\,\text{€}+78\,\text{€}=1.878\,\text{€}$
Max muss $1.878\,\text{€}$ für das Moped bezahlen.
2.
Schritt 1: Preis nach dem Rabatt
Rechne zuerst aus, wie viel der Führerschein mit dem Rabatt kostet:
$\begin{array}{rl} P=&\dfrac{G\cdot p}{100}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]P=&\dfrac{1.400\,\text{€}\cdot 90}{100}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]P=&\dfrac{126.000\,\text{€}}{100}\\[5pt]P=&1.260\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
Schritt 2: Angesammelte Zinsen
Berechne im Anschluss den Zinseszins, der sich in $18$ Jahren angesammelt hat:
$\begin{array}{ll} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] K_{18}=&750\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{3}{100}\right)^{18}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] K_{18}\approx&750\,\text{€}\cdot1,702\\[5pt] K_{18}\approx&1276,82\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{ll} K_{18}\approx&1276,82\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
Erik hat zu seinem 18. Geburtstag $1276,82\,\text{€}$ auf seinem Konto.
$1276,82\,\text{€}>1260,00\,\text{€}\\[5pt]$
Ihm reicht das Geld für den Führerschein.
3.
a)
$\blacktriangleright$ Preis des Fernsehers
Berechne, wie viel der Fernseher insgesamt kostet:
$\begin{array}{rll} G=&\dfrac{P\cdot 100}{p}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]G=&\dfrac{(80\,\text{€}\cdot 12)\cdot 100}{96}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]G=&\dfrac{96.000\,\text{€}}{96}\\[5pt] G=&1.000\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
$1.000\,\text{€}-960\,\text{€}=40\,\text{€}\\[5pt]$
Herr Müller hat $40\,\text{€}$ als Anzahlung bezahlt.
b)
$\blacktriangleright$ Kosten ohne Mehrwertsteuer
Um den Preis des Fernsehers ohne $19\,\%$ Mehrwertsteuer zu berechnen, nimmst du den Preis von $1.000\,\text{€}$, welcher $119\,\%$ entspricht. Der gesuchte Preis entspricht $100\,\%$:
$\begin{array}{rll} G=&\dfrac{P\cdot 100}{p}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]G=&\dfrac{1.000\,\text{€}\cdot 100}{119}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]G=&\dfrac{100.000\,\text{€}}{119}\\[5pt] G\approx&840,34\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
Der Fernseher kostet $840,34\,\text{€}$, wenn der Händler die Mehrwertsteuer übernehmen würde.
4.
Schritt 1: Ulrikes Ersparnisse
Berechne mit dem Zinseszins, wie viel Ulrike auf ihrem Konto hat:
$\begin{array}{rll} K_n=&K_0\cdot\left(1+\dfrac{p}{100}\right)^n&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] K_2=&1.000\,\text{€}\cdot\left(1+\dfrac{5}{100}\right)^2&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] K_2=&1.000\,\text{€}\cdot1,1025\\[5pt] K_2=&1.102,50\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rll} K_2=&1.102,50\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
Schritt 2: Unterstützung der Eltern
Ulrike zahlt $60\,\%$ für die Renovierung.
$\begin{array}{rll} G=&\dfrac{P\cdot 100}{p}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]G=&\dfrac{1.102,50\,\text{€}\cdot 100}{60}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]G=&\dfrac{110.250\,\text{€}}{60}\\[5pt]G=&1.837,50\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
Die Renovierung kostet $1.837,50\,\text{€}$.
5.
Schritt 1: Reduzierte Stereoanlage
Rechne einfach den Prozentwert des Preises von der reduzierte Stereoanlage aus:
$\begin{array}{rll} P=&\dfrac{G\cdot p}{100}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]P=&\dfrac{700\,\text{€}\cdot 70}{100}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]P=&\dfrac{49.000\,\text{€}}{100}\\[5pt]P=&490\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
Die Stereoanlage kostet momentan $490\,\text{€}$.
Schritt 2: Dispokredit
Berechne, wie viel Tom noch braucht, um sich die Stereoanlage leisten zu können:
$490\,\text{€}-200\,\text{€}=290\,\text{€}$
Um diese $290\,\text{€}$ Kredit von der Bank zu nehmen, wird ihm zusätzlich $15\,\%$ berechnet.
$\begin{array}{rll} P=&\dfrac{G\cdot p}{100}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt]P=&\dfrac{290\,\text{€}\cdot 115}{100}&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt]P=&\dfrac{33.350\,\text{€}}{100}\\[5pt]P=&333,50\,\text{€}\\[5pt]\end{array}$
Tom hätte also $333,50\,\text{€}$ Darlehen bei der Bank.
$200,00\,\text{€}+333,50\,\text{€}=533,50\,\text{€}$
$533,50\,\text{€}<700,00\,\text{€}$
Er muss insgesamt $533,50\,\text{€}$ ausgeben, damit er die Stereoanlage hat. Es lohnt sich also für Tom, sein Konto zu überziehen.
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