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Zuwachssparen und Ratensparen

Spickzettel
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Beim Zuwachssparen wird das Anfangskapital mit sich jährlich erhöhenden Zinsen verzinst.
Anfangskapital: $\,K_0$,Endkapital: $\,K_n$,Zinssatz im Jahr $i$ in $\%$: $\,p_i$.
Anfangskapital: $\,K_0$,
Endkapital: $\,K_n$,
Zinssatz im Jahr $i$ in $\%$: $\,p_i$.
Mit den Zinssätzen $p_i$ kannst du die Zinsfaktoren $q_i$ berechnen: $\,q_i=1+ \dfrac{p_i}{100}$.
Das Endkapital $K_n$ nach $n$ Jahren bei einem Anfangskapital von $K_0$ und den Zinsfaktoren $q_i$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$K_n=K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot \dots \cdot q_n.$
$K_n=K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot \dots \cdot q_n.$
Beim Ratensparen zahlt man in gleichen Zeitabständen eine feste Rate ein, welche zu einem festen Zinssatz verzinst wird. Die erste Rate wird $n$ mal verzinst, die zweite Rate $n-1$ mal verzinst, …, die vorletzte Rate zweimal und die letzte Rate einmal verzinst.
Rate: $\,R$,Endkapital: $\,K_n$,Zinssatz: $\,p$,Zinsfaktor: $\,q=1+ \dfrac{p}{100}$.
Rate: $\,R$,
Endkapital: $\,K_n$,
Zinssatz: $\,p$,
Zinsfaktor: $\,q=1+ \dfrac{p}{100}$.
Das Endkapital $K_n$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$K_n=R \cdot \left( q^n + q^{n-1} + q^{n-2} + \dots + q^{2} + q \right).$

Beispiel

1. Du legst ein Kapital von $2.000\,€$ zu einem Zinssatz von $3\,\%$ über drei Jahre an. Der Zinssatz erhöht sich jährlich um den Prozentwert $0,5\,\%$. Welchen Betrag erhälst du nach den drei Jahren?
Mit den Zinsraten kannst du die Zinsfaktoren berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} p_1&=& 3\,\% &\Rightarrow & q_1 &=& 1,03, \\[5pt] p_2&=& 3,5\,\% &\Rightarrow & q_2 &=& 1,035, \\[5pt] p_3&=& 4\,\% &\Rightarrow & q_3 &=& 1,04. \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} p_1&=& 1,03, \\[5pt] p_2&=& 1,035, \\[5pt] p_3&=& 1,04. \\[5pt] \end{array}$
Jetzt kannst du die Werte in die Formel einsetzen:
$K_3=2.000 \,€ \cdot 1,03 \cdot 1,035 \cdot 1,04 \approx 2.217,38 \,€. $
$K_3\approx 2.217,38 \,€.$
2. Über drei Jahre legst du jährlich $500\,€$ zu einem Zinssatz von $4\,\%$ an. Wie hoch ist der Endbetrag?
Berechne zuerst den Zinsfaktor: $q=1+ \dfrac{4}{100}=1,04$.
Damit kannst du nun die Formel benutzen:
$K_3=500 \,€ \cdot \left( 1,04^3 + 1,04^2 + 1,04 \right) \approx 1.623,23\,€.$
$K_3\approx 1.623,23\,€.$
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Aufgaben
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1.
Zuwachssparen
Herr Peters möchte einen Betrag von $3.000\,€$ über fünf Jahre anlegen. Die Bank bietet ihm folgende Zinssätze an:
Jahr 1Jahr 2Jahr 3Jahr 4Jahr 5
$3 \,\%$$3,3 \,\%$$3,8 \,\%$$4,4 \,\%$$5 \,\%$
Jahr 1$3 \,\%$
Jahr 2$3,3 \,\%$
Jahr 3$3,8 \,\%$
Jahr 4$4,4 \,\%$
Jahr 5$5 \,\%$
Welchen Betrag erhält er nach fünf Jahren?
2.
Zuwachssparen
Herr Fried spart für einen neuen Fernseher. Da er sich das neuste und beste Modell holen will, plant er $4.000\,€$ auszugeben. Dabei bietet ihm seine Bank folgende Zinsen an:
Jahr 1Jahr 2Jahr 3Jahr 4Jahr 5
$2,5 \,\%$$3 \,\%$$3,6 \,\%$$4,3 \,\%$$5 \,\%$
Jahr 1$2,5 \,\%$
Jahr 2$3 \,\%$
Jahr 3$3,6 \,\%$
Jahr 4$4,3 \,\%$
Jahr 5$5 \,\%$
Welchen Betrag muss er anlegen, sodass er sich den Fernseher leisten kann?
3.
Zuwachssparen
Herr Schmidt hat $5.000\,€$ nach drei Jahren von seiner Bank erhalten. Er hatte dazu $4.500\,€$ zu den Zinssätzen $p_1=2,5\,\%$ und $p_3=5\,\%$ angelegt. Wie hoch ist $p_2$?
4.
Zuwachssparen
Frau Müller möchte sich in vier Jahren ein neues Auto kaufen und plant dabei $20.000\,€$ auszugeben. Dazu möchte sie $17.000\,€$ bei ihrer Bank anlegen. Die Bank bietet ihr im ersten Jahr einen Zinssatz von $3\,\%$, der sich sich nach den ersten beiden Jahren um jeweils $0,5\,\%$ erhöht und nach dem dritten Jahr um $1\,\%$.
a)
Reicht das Angebot der Bank aus?
b)
Wie hoch müsste der Zinssatz im vierten Jahr sein, damit sie ca. $20.000\,€$ bekommt?
c)
Eine neueröffnete Konkurrenzbank bietet an einen gleichbleibenden Zinssatz auszuhandeln. Welchen Zinssatz sollte sie aushandeln?
5.
Zuwachssparen
Hans hat bei seiner Bank einen Betrag von $7.000\,€$ für drei Jahre angelegt. Zinsen werden mitverzinst. Nach den drei Jahren ist sein Guthaben um $9\,\%$ angewachsen. Der Zinssatz betrug im ersten Jahr $2,5\,\%$, im zweiten Jahr wurden ihm $210\,€$ Zinsen gutgeschrieben.
Wie hoch war der Zinssatz im dritten Jahr?
6.
Ratensparen
Lena zahlt viermal hintereinander $750\,€$ zum Jahresbeginn auf Konto ein. Dabei hat sie folgende Zinsbedingungen:
  • Der jährliche Zinssatz beträgt $2,5\,\%$.
  • Zinsen werden mitverzinst.
a)
Welchen Betrag hat sie am Ende der Zeit auf ihrem Konto?
b)
Frank möchte denselben Betrag bereits nach zwei Jahren erreichen. Welchen Betrag muss er jährlich einzahlen?
7.
Ratensparen
Famile Meier will innerhalb von vier Jahren den Endbetrag $4.000\,€$ ausgezahlt bekommen. Ihre Bank hat ein Ratensparmodell mit jährlichen Zinsen von $3,5\,\%$. Welchen Betrag muss die Familie anlegen?
8.
Ratensparen
Herr Franz legt über drei Jahre jährlich $6.000\,€$ an. Dabei hat er folgende Zinsbedingungen:
  • Der jährliche Zinssatz beträgt $3,25\,\%$.
  • Zinsen werden mitverzinst.
a)
Welchen Betrag hat er am Ende der Zeit auf seinem Konto?
b)
Welchen zusätzlichen Zinsbetrag würde er erhalten, wenn er jedes Jahr $7.000\,€$ anstatt der $6.000 \, €$ anlegt?
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Lösungen
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1.
$\blacktriangleright$ Endbetrag berechnen
Die Zinsfaktoren ergeben sich aus den Zinsraten folgendermaßen:
$\qquad\qquad$Jahr 1Jahr 2Jahr 3Jahr 4Jahr 5
$p_i$$3 \,\%$$3,3 \,\%$$3,8 \,\%$$4,4 \,\%$$5 \,\%$
$q_i$$1,03$$1,033$$1,038$$1,044$$1,05$
$p_i$$q_i$
Jahr 1$3 \,\%$$1,03$
Jahr 2$3,3 \,\%$$1,033$
Jahr 3$3,8 \,\%$$1,038$
Jahr 4$4,4 \,\%$$1,044$
Jahr 5$5 \,\%$$1,05$
Verwende die Formel für das Zuwachssparen, um auszurechnen, wie viel Geld Herr Peters nach fünf Jahren hat.
$\begin{array}{rl} K_5=& K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 \cdot q_5 &\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =& 3.000\;€ \cdot 1,03 \cdot 1,033 \cdot 1,038 \cdot 1,044 \cdot 1,05&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] \approx& 3.632 \,\text{€} \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_5\approx& 3.632 \,\text{€} \end{array}$
Nach fünf Jahren hat Herr Peters $3.632\,€$ zur Verfügung.
2.
$\blacktriangleright$ Anfangskapital berechnen
Die Zinsfaktoren ergeben sich aus den Zinsraten folgendermaßen:
$\qquad\qquad$Jahr 1Jahr 2Jahr 3Jahr 4Jahr 5
$p_i$$2,5 \,\%$$3 \,\%$$3,6 \,\%$$4,3 \,\%$$5 \,\%$
$q_i$$1,025$$1,03$$1,036$$1,043$$1,05$
$p_i$$q_i$
Jahr 1$2,5 \,\%$$1,025$
Jahr 2$3 \,\%$$1,03$
Jahr 3$3,6 \,\%$$1,036$
Jahr 4$4,3 \,\%$$1,043$
Jahr 5$5 \,\%$$1,05$
Stelle die Formel für das Zuwachssparen nach dem Anfangskapital um und setze dann die Werte ein, um das Anfangskapital zu berechnen:
$\begin{array}{rl} K_5=& K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 \cdot q_5 &\scriptsize:q_1 :q_2 :q_3 :q_4 :q_5\\[5pt] K_0=&\dfrac{K_5}{ q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 \cdot q_5}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =&\dfrac{4.000\,€}{1,025 \cdot 1,03 \cdot 1,036 \cdot 1,043 \cdot 1,05 }\\[5pt] \approx& 3.339,38 \,\text{€} \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_5 \approx& 3.339,38 \,\text{€} \end{array}$
Herr Fried muss ca. $3.339,78 \, €$ anlegen, damit er sich den Fernseher leisten kann.
3.
$\blacktriangleright$ Zinssatz berechnen
Stelle die Formel für das Zuwachssparen nach dem Zinsfaktor $q_2$ um und setze dann die Werte ein, um diesen zu berechnen:
$\begin{array}{rl} K_3=& K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 &\scriptsize :K_0 :q_1 :q_3 \\[5pt] q_2=&\dfrac{K_5}{ K_0 \cdot q_1 \cdot q_3}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =&\dfrac{5.000\,€}{4.500 \,€ \cdot 1,025 \cdot 1,05 }\\[5pt] \approx& 1,0324 \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_3 \approx& 1,0324 \end{array}$
Der Zinssatz des zweiten Jahres $p_2$ beträgt somit ca. $3,24\,\%$.
4.
a)
$\blacktriangleright$ Endbetrag berechnen
Dir sind folgende Zinssätze und dazugehörige Zinsfaktoren gegeben:
$\qquad\qquad$Jahr 1Jahr 2Jahr 3Jahr 4
$p_i$$3 \,\%$$3,5 \,\%$$4 \,\%$$5 \,\%$
$q_i$$1,03$$1,035$$1,04$$1,05$
$p_i$$q_i$
Jahr 1$3 \,\%$$1,03$
Jahr 2$3,5 \,\%$$1,035$
Jahr 3$4 \,\%$$1,04$
Jahr 4$5 \,\%$$1,05$
Verwende die Formel für das Zuwachssparen, um auszurechnen, wie viel Geld Frau Müller nach vier Jahren hat.
$\begin{array}{rl} K_4=& K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 &\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =& 17.000\;€ \cdot 1,03 \cdot 1,035 \cdot 1,04 \cdot 1,05 &\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] \approx& 19.790,15 \,\text{€} \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_4 \approx& 19.790,15 \,\text{€} \end{array}$
Frau Müller hat nach vier Jahren $19.790,15 \, €$ zur Verfügung und somit weniger als die gewünschten $20.000\,€$.
b)
$\blacktriangleright$ Zinssatz berechnen
Hier sollst du nun ausrechnen wie hoch der Zinssatz im vierten Jahr sein müsste, sodass Frau Müller ca. $20.000\,€$ ausgezahlt bekommt. Stelle dazu die Formel des Zuwachssparens nach $q_4$ um und setze das Endkapital auf $20.000\,€$:
$\begin{array}{rl} K_4=& K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 &\scriptsize :K_0 :q_1 :q_2 :q_3 \\[5pt] q_4=&\dfrac{K_4}{ K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot q_3}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =&\dfrac{20.000\,€}{17.000 \,€ \cdot 1,03 \cdot 1,035 \cdot 1,04 }\\[5pt] \approx& 1,0611 \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_4 \approx& 1,0611 \end{array}$
Der Zinssatz des vierten Jahres $p_4$ müsste $6,11\,\%$ betragen, damit sie ca. $20.000\;€$ ausgezahlt bekommt.
c)
$\blacktriangleright$ Zinssatz berechnen
In diesem Fall sind nun alle Zinssätze gleich, das heißt, dass auch alle Zinsfaktoren gleich sind. Somit gilt:
$q_1=q_2=q_3=q_4=q$
Damit können wir nun die Formel für das Zuwachssparen nach dem Zinsfaktor $q$ auflösen:
$\begin{array}{rl} K_4=& K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 \cdot q_4 &\scriptsize q_1=q_2=q_3=q_4=q\\[5pt] K_4=& K_0 \cdot q \cdot q \cdot q \cdot q & \\[5pt] K_4=& K_0 \cdot q^4 &\scriptsize :K_0 \\[5pt] q^4=&\dfrac{K_4}{ K_0 }&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] q^4=&\dfrac{20.000\,€}{17.000 \,€ }\\[5pt] q^4=&\dfrac{20}{17}&\scriptsize\sqrt[4]{}\\[5pt] q=&\sqrt[4]{\dfrac{20}{17}}\\[5pt] \approx& 1,0415 \end{array}$
$\begin{array}{rl} q \approx& 1,0415 \end{array}$
Somit müsste der gleichbleibende Zinssatz ca. $4,15\,\%$ betragen, dass sie ca. $20.000\;€$ ausgezahlt bekommt.
5.
$\blacktriangleright$ Zinssatz berechnen
Deine Aufgabe ist es, den Zinssatz des dritten Jahres zu bestimmen. Berechne dazu zuerst das Endkapital $K_3$ mit den dir gegebenen Daten, danach hast du zwei verschiedene Möglichkeiten den Zinssatz des dritten Jahres zu berechnen.
Berechne zuerst das Endkapital. Das Kapital ist über die gesamten drei Jahre um $9\,\%$ gestiegen, somit gilt:
$K_3=K_0 \cdot 1,09 $$= 7.000\,€ \cdot 1,09 $$= 7.630\,€$
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg A
Berechne hier den Zinssatz des zweiten Jahres. Mit diesem kannst du die Formel des Zuwachssparens benutzen und nach dem Zinssatz des dritten Jahres auflösen.
Dir ist gegeben, dass die Zinsen des zweiten Jahres $210\,€$ betragen. Für die Zinsen des zweiten Jahres gilt folgende Formel aus der Zinsrechnung, welche du nach $p_2$ auflösen kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 210\,€&= K_1 \cdot p_2& \quad \scriptsize \mid\; :K_1 \\[5pt] p_2&= \dfrac{210\,€}{K_1}& \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 210\,€&= K_1 \cdot p_2 \\[5pt] p_2&= \dfrac{210\,€}{K_1} \end{array}$
Das Kapital nach dem ersten Jahr $K_1$ kannst du mit dem gegebenen Zinssatz aus Jahr 1 berechnen:
$K_1=K_0 \cdot q_1 $$= 7.000 \,€ \cdot 1,025 $$= 7.175\,€$
Berechne damit den Zinssatz des zweiten Jahres:
$p_2=\dfrac{210\,€}{K_1} $$=\dfrac{210\,€}{7.175\,€} $$\approx 0,02927$
Nun kannst du die Formel des Zuwachssparens benutzen:
$\begin{array}{rl} K_3=& K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 \cdot q_3 &\scriptsize :K_0 :q_1 :q_2 \\[5pt] q_3=&\dfrac{K_3}{ K_0 \cdot q_1 \cdot q_2 }&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =&\dfrac{7.630\,€}{7.000 \,€ \cdot 1,025 \cdot 1,02927 }\\[5pt] \approx& 1,0332 \end{array}$
$\begin{array}{rl} q_3 \approx& 1,0332 \end{array}$
Der Zinssatz des dritten Jahres beträgt somit ca. $3,32\,\%$.
$\color{#87c800}{\blacktriangleright\blacktriangleright}$  Lösungsweg B
Benutze die Formeln der Zinsrechnung, um den Zinssatz zu berechnen. Berechne dazu das Kapital nach dem ersten sowie nach dem zweiten Jahr.
Das Kapital nach dem ersten Jahr $K_1$ kannst du mit dem gegebenen Zinssatz aus Jahr 1 berechnen:
$K_1=K_0 \cdot q_1 $$= 7.000 \,€ \cdot 1,025 $$= 7.175\,€$
Die Zinsen des zweiten Jahres betrugen $210\,€$, damit ist das Kapital nach zwei Jahren gegeben durch:
$K_2=K_1 + 210\,€ $$= 7.175\,€ + 210\,€ $$= 7.385\,€$
Nun hast du das Kapital nach zwei Jahren sowie nach drei Jahren gegeben und kannst damit den Zinssatz des dritten Jahres berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} K_2 \cdot q_3&= K_3&\scriptsize \mid\;:K_2 \\[5pt] q_3&=\dfrac{K_3}{K_2}&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] q_3&=\dfrac{7.630\,€}{7.000\,€}&\\[5pt] \approx&1,0332 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} q_3\approx&1,0332 \end{array}$
Der Zinssatz des dritten Jahres beträgt somit ca. $3,32\,\%$.
6.
a)
$\blacktriangleright$ Endbetrag berechnen
Verwende die Formel für das Ratensparen, um auszurechnen, wie viel Geld sie nach vier Jahren hat. Berechne dazu zuerst den Zinsfaktor:
$q=1+\dfrac{p}{100}$$=1+\dfrac{2,5}{100}=1,025$
Mit der monatlichen Rate $R=750\,€$ kannst du nun die Formel benutzen:
$\begin{array}{rl} K_4=& R \cdot \left( q^4 + q^3+ q^{2} + q \right)&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =& 750\,€ \cdot \left( 1,025^4 + 1,025^3+ 1,025^{2} + 1,025 \right)&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] \approx&3.192,25\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_4 \approx&3.192,25\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
Nach vier Jahren hat sie $3.192,25 \,€$ zur Verfügung.
b)
$\blacktriangleright$ Rate berechnen
Stelle hier die Formel des Ratensparens nach der Rate $R$ um und verwende den Endbetrag $3.192,25\,\text{€}$ aus Aufgabenteil a). Beachte hierbei, dass Frank nur zwei Jahre spart, somit gilt hier $K_2=3.192,25\,€$.
$\begin{array}{rl} K_2=& R \cdot \left( q^{2} + q \right)&\scriptsize:\left( q^{2} + q \right)\\[5pt] R=& \dfrac{K_2}{ q^{2} + q }&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =& \dfrac{3.192,25\,€}{ 1,025^{2} + 1,025 }&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] \approx&1.537,97\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rl} R\approx&1.537,97\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
Frank müsste somit ca. $1.537,97\,\text{€}$ anlegen, um nach zwei Jahren auf denselben Betrag wie Lena zu kommen.
7.
$\blacktriangleright$ Rate berechnen
Verwende die Formel für das Ratensparen und stelle diese nach der jährlichen Rate $R$ um:
$\begin{array}{rl} K_4=& R \cdot \left( q^4 + q^3 + q^{2} + q \right)&\scriptsize:\left( q^4 + q^3 + q^{2} + q \right)\\[5pt] R=& \dfrac{K_4}{ q^4 + q^3 + q^{2} + q }&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =& \dfrac{4.000\,€}{ 1,035^4 + 1,035^3 + 1,035^{2} + 1,035 }&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] \approx&916,91\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rl} R\approx&916,91\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
Familie Meier müsste somit jährlich ca. $916,91\,\text{€}$ anlegen, um nach vier Jahren auf den Endbetrag $4.000\,€$ zu kommen.
8.
a)
$\blacktriangleright$ Endbetrag berechnen
Verwende die Formel für das Ratensparen, um auszurechnen, wie viel Geld er nach drei Jahren hat.
$\begin{array}{rl} K_3=& R \cdot \left( 1,0325^3+ 1,0325^{2} + 1,0325 \right)&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =& 6.000\,€ \cdot \left( 1,0325^3+ 1,0325^{2} + 1,0325 \right)&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] \approx&19.195,56\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_3 \approx&19.195,56\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
Nach vier Jahren hat er $19.195,56 \,€$ zur Verfügung.
b)
$\blacktriangleright$ Rate berechnen
Verwende hierzu wieder die Formel für das Ratensparen mit der neuen Rate $R=7.000\,€$.
$\begin{array}{rl} K_3=& R \cdot \left( 1,0325^3+ 1,0325^{2} + 1,0325 \right)&\scriptsize\text{Werte einsetzen}\\[5pt] =& 7.000\,€ \cdot \left( 1,0325^3+ 1,0325^{2} + 1,0325 \right)&\scriptsize\text{ausrechnen}\\[5pt] \approx&22.394,82\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}{rl} K_3 \approx&22.394,82\,\text{€}\\[5pt] \end{array}$
Berechne jetzt die Zinsbeträge, die er jeweils erhalten hat, und berechne damit den zusätzlichen Betrag, den er erhalten würde.
Zinsbetrag mit $6.000\,€$: $\;K_3 - 3\cdot 6.000\,€ = 19.195,56 \,€ - 18.000\,€=1.195,56\,€$,
Zinsbetrag mit $7.000\,€$: $\;K_3 - 3\cdot 7.000\,€ = 22.394,82 \,€ - 21.000\,€=1.394,82\,€$.
Zinsbetrag mit $6.000\,€$:
$\begin{array}{rl} & K_3 - 3\cdot 6.000\,€\\[5pt] =& 19.195,56 \,€ - 18.000\,€\\[5pt] =&1.195,56\,€\\[5pt] \end{array}$
Zinsbetrag mit $7.000\,€$:
$\begin{array}{rl} & K_3 - 3\cdot 7.000\,€\\[5pt] =& 22.394,82 \,€ - 21.000\,€\\[5pt] =& 1.394,82\,€\\[5pt] \end{array}$
Zusätzlicher Zinsbetrag:
$1.394,82\,€-1.195,56\,€=199,26\,€$
Somit ist der zusätzliche Zinsbetrag den er erhalten würde $199,26\,€$.
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