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Kugel

Spickzettel
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Erklärung


Stereometrie: Kugel
Stereometrie: Kugel

Vorgehen

Mit folgenden Formeln kannst du die Größen einer Kugel berechnen:
  • Volumen: $V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r³$
  • Oberfläche: $A_O=4\cdot\pi\cdot r²$

Beispiel

Wir wollen die Oberfläche und das Volumen einer Kugel mit Radius $r=3$ cm berechnen.
Volumenberechnung:
$V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r³=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot (3\text{ cm})³$
$V=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot (27\text{ cm})³=113,1\text{ cm}³$
Oberflächenberechnung:
$A_O=4\cdot\pi\cdot r²=4\cdot\pi\cdot (3\text{ cm})²$
$A_O=4\cdot\pi\cdot 9\text{ cm}²=113,1\text{ cm}²$
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Bearbeite die folgenden Aufgaben.
Tipp:
Achte darauf, dass du für das bessere
Verständnis stets eine Skizze erstellst.
1.
Berechne das Volumen einer Kugel mit dem Radius $r=5cm$.
2.
Von einer Kugel ist dir bekannt, dass diese einen Kreisumfang von $100cm$ besitzt.
Berechne den Radius $r$ sowie das Volumen der Kugel.
3.
Stereometrie: Kugel
Stereometrie: Kugel
4.
Der Ball für die Fußball WM 2010 hat den Namen Jabulani, was soviel heißt wie „feiern“. Der Fußball hat einen Durchmesser von 22 cm. In Kapstadt sind die WM Bälle ab 1970 als übergroße Modelle ausgestellt. Der Durchmesser des Modells beträgt 2,20 m.
Stereometrie: Kugel
Stereometrie: Kugel
Quelle: www.wikipedia.de - Laim
a)
Welche Oberfläche hat der Fußball?
b)
Um welchen Faktor ist das Volumen des Modells größer?
5.
Der Äquatorumfang der Erde beträgt ungefähr 40.000 km. Die Landfläche hat einen Anteil von $29,3\%$ an der Gesamtoberfläche. Die Erde kann hier als ideale Kugel betrachtet werden.
Stereometrie: Kugel
Stereometrie: Kugel
a)
Wie tief müsstest du auf deiner Reise zum Mittelpunkt der Erde graben?
b)
Gib die Größe der Landfläche in km$²$ an.
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Lösungen
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1.
Volumen
Die allgemeine Formel für das Volumen einer Kugel lautet: $V_K=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$.
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in diese Formel ein.
$ \begin{array}[t]{rll} V_K=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3&\quad\scriptsize\mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_K=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot \left(5cm\right)^3\\[5pt] V_K=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 125cm^3\\[5pt] V_K\approx&523,6cm^3\\[5pt] \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_K\approx&523,6cm^3\\[5pt] \end{array} $
Damit du dir das Volumen besser vorstellen kannst, rechne doch das Ergebnis in Liter um. Ein Liter entspricht $1dm^3$, deshalb musst du das Ergebnis zuerst in $dm^3$ umwandeln. Dividiere das Volumen durch $1.000$ und aus $cm^3$ werden $dm^3$.
$V_K=\dfrac{523,6cm^3}{1.000}\approx0,5dm^3\approx0,5$ Liter.
2.
Volumen
Damit du den Radius $r$ berechnen kannst, musst du die allgemeine Formel für den Kreis (Geometrie in der Ebene) nach dem gesuchten Radius $r$ umstellen.
$ \begin{array}[t]{rll} u_K=&2\cdot \pi \cdot r&\quad\scriptsize\mid : 2\pi\\[5pt] \dfrac{u_K}{2\pi}=&r\\[5pt] r=&\dfrac{u_K}{2\pi}&\quad\scriptsize\mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] r=&\dfrac{100cm}{2\pi}\\[5pt] r\approx&15,9cm \end{array} $
Berechne als nächstes das Volumen. Die allgemeine Formel für das Volumen einer Kugel lautet: $V_K=\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3$. Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in diese Formel ein.
$ \begin{array}[t]{rll} V_K=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3&\quad\scriptsize\mid \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_K\approx&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot \left(15,9cm\right)^3\\[5pt] V_K\approx&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 4.019,7cm^3\\[5pt] V_K\approx&16.837,7cm^3 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_K\approx&16.837,7cm^3 \end{array} $
Damit du dir das Volumen besser vorstellen kannst, rechne doch das Ergebnis in Liter um. Ein Liter entspricht $1dm^3$, deshalb musst du das Ergebnis zuerst in $dm^3$ umwandeln. Dividiere das Volumen durch $1.000$ und aus $cm^3$ werden $dm^3$.
$V_K=\dfrac{16.837,7cm^3}{1.000}\approx16,8dm^3\approx16,8$ Liter.
3.
a)
Volumen
Der Radius der Kugel entspricht $\frac{a}{2}$.
$ \begin{array}[t]{rll} V_K=&\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3\\[5pt] V_K=&\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot (\frac{a}{2})^3\\[5pt] V_K=&\frac{4}{3}\cdot\pi\cdot \frac{a^3}{8}&\scriptsize \text{kürzen}\\[5pt] V_K=&\frac{1}{3}\cdot\pi\cdot \frac{a^3}{2}\\[5pt] V_K=&\frac{\pi}{6}\cdot a^3 \end{array} $
Das Volumen in Abhängigkeit von $a$ lautet $V_K=\frac{\pi}{6}\cdot a^3$.
b)
Faktor k
Bestimme zunächst die Würfeloberfläche. Die Grundfläche des Würfels entspricht $A_G=a^2$.
$ \begin{array}[t]{rll} A_{O_W}=&6\cdot A_G\\[5pt] A_{O_W}=&6\cdot a^2 \end{array} $
Setze nun in die Oberflächenformel für die Kugel die Variable a ein.
$ \begin{array}[t]{rll} A_{O_K}=&4\cdot r^2\cdot \pi\\[5pt] A_{O_K}=&4\cdot (\frac{a}{2})^2\cdot \pi\\[5pt] A_{O_K}=&4\cdot \frac{a^2}{4}\cdot \pi&\scriptsize \text{kürzen}\\[5pt] A_{O_K}=&a^2\cdot \pi \end{array} $
Setze die beiden Ergebnisse gleich. Erweitere $A_{O_K}$ um den Faktor k, da du herausfinden willst um welchen Faktor die Kugeloberfläche kleiner als die Würfeloberfläche ist.
$ \begin{array}[t]{rll} k\cdot A_{O_K}=&A_{O_W}&\scriptsize \text{umstellen}\\[5pt] k=&\dfrac{A_{O_W}}{A_{O_K}}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] k=&\dfrac{6\cdot a^2}{\pi \cdot a^2}&\scriptsize \text{kürzen}\\[5pt] k=&\dfrac{6}{\pi} \end{array} $
Die Kugeloberfläche ist um den Faktor $k=\frac{6}{\pi}$ kleiner als die Würfeloberfläche.
4.
a)
Oberfläche
Berechnen zuerst mittels Formel die Oberfläche der Kugel. Setze dazu den Wert aus der Aufgabenstellung ein. Gegeben ist der Durchmesser $d=22\text{ cm}$, daher beträgt der Radius $r=11\text{ cm}$.
$ \begin{array}[t]{rll} A_{O_K}=&4\cdot r^2\cdot \pi\\[5pt] A_{O_K}=&4\cdot (11\text{ cm})^2\cdot \pi\\[5pt] A_{O_K}=&1.520,53\text{ cm}^2 \end{array} $
b)
Faktor k
Bestimme nun da Volumen des Fußballs und des Modells. Dazu setzt du die gegeben Werte in die allgemein Formel für das Volumen einer Kugel ein.
$ \begin{array}[t]{rll} V_F=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3&\quad\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_F=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot \left(11\text{ cm}\right)^3\\[5pt] V_F=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 1.331\text{ cm}^3\\[5pt] V_F\approx&5.575,28\text{ cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_F\approx&5.575,28\text{ cm}^3 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_M=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot r^3&\quad\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_M=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot \left(1.1\text{ m}\right)^3\\[5pt] V_M=&\dfrac{4}{3}\cdot\pi\cdot 1.331cm^3\\[5pt] V_M\approx&5,57528\text{ m}^3 \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} V_M\approx&5,57528\text{ m}^3 \end{array} $
Setze nun die beiden Ergebnisse gleich. Erweitere $V_F$ um den Faktor $k$. Doch zunächst musst du $\text{ m}^3$ in $\text{ cm}^3$ umrechnen. $1\text{ m}^3$ entspricht $1.000.000 \text{ cm}^3$, daher wird $V_M$ mit dem Faktor 1.000.000 multipliziert.
$V_M\cdot 1.000.000 $$= 5,57528 \cdot 1.000.000 $$= 5.575.280 \text{ cm}^3$
$ \begin{array}[t]{rll} V_F\cdot k=&V_M&\scriptsize \text{nach $k$ auflösen}\\[5pt] k=&\dfrac{V_M}{V_F}&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] k=&\dfrac{5.575.280 \text{ cm}^3}{5.575,28\text{ cm}^3} \end{array} $
$ \begin{array}[t]{rll} k=&\dfrac{5.575.280 \text{ cm}^3}{5.575,28\text{ cm}^3} \end{array} $
Das Volumen des Modells ist um den Faktor $k=1000$ größer als der Fußball.
5.
a)
Radius r
Der Radius entspricht der Länge, die angibt wie tief man bis zum Mittelpunkt der Erde graben müsste. Damit du den Radius $r$ berechnen kannst, musst du die allgemeine Formel für den Kreis (Geometrie in der Ebene) nach dem gesuchten Radius $r$ umstellen.
$ \begin{array}[t]{rll} u_K=&2\cdot \pi \cdot r&\quad\scriptsize\mid : 2\pi\\[5pt] \dfrac{u_K}{2\pi}=&r\\[5pt] r=&\dfrac{u_K}{2\pi}&\quad\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] r=&\dfrac{40.000\text{ km}}{2\pi}\\[5pt] r=&6.366,2\text{ m} \end{array} $
Man müsste $6.366,2 \text{ m}$ bis zum Erdmittelpunkt graben.
b)
Oberfläche
$ \begin{array}[t]{rll} A_{O_K}=&4\cdot r^2\cdot \pi\\[5pt] A_{O_K}=&4\cdot (6.366,2\text{ km})^2\cdot \pi\\[5pt] A_{O_K}=&509.296.182,1\text{ km}^2 \end{array} $
Da der Anteil der Landfläche $29,3\%$ beträgt, wird die gesamte Oberfläche mit dem Faktor $0,293$ multipliziert.
$509.296.182,1\text{ km}^2\cdot 0,293 $$=149.223.781,4\text{ km}^2$
Die Landoberfläche beträgt $149.223.781,4\text{ km}^2$.
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