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Allgemeines Prisma

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Prismen: Allgemeines Prisma
Abb. 1: Prisma mit sechsseitiger Grundfläche
Prismen: Allgemeines Prisma
Abb. 1: Prisma mit sechsseitiger Grundfläche
#volumen#prisma
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Einführungsaufgabe

Prismen: Allgemeines Prisma
Abb. 1: Prisma
Prismen: Allgemeines Prisma
Abb. 1: Prisma

Aufgabe 1

Berechne den Oberflächeninhalt und das Volumen der geraden Prismen.

Aufgabe 2

Zeichne jeweils das Netz der geraden Prismen, wenn die Grundfläche und die Höhe gegeben sind.
a)
Rechteck mit $a=3\,\text{cm}$, $b=5\,\text{cm}$
Höhe $h=8\,\text{cm}$
b)
Gleichseitiges Sechseck mit Seitenlänge $a=2\,\text{cm}$
Höhe $h=4\,\text{cm}$
c)
Dreieck mit Grundseite $a=3\,\text{cm}$ und Höhe $h_a=4\,\text{cm}$
Höhe $h=6\,\text{cm}$

Aufgabe 3

Du siehst hier einen Futtertrog, welchen Daniel für seine Schafe mit Futter füllen möchte. Wie viele $30\,\text{l}$-Säcke benötigt er, um den Futtertrog randvoll zu füllen?

Aufgabe 4

Gegeben ist ein Prisma mit quadratischer Grundfläche. Das Volumen des $60\,\text{cm}$ hohen Prismas beträgt $37.500\,\text{cm}^3$. Die Oberfläche hat eine Größe von $7.250\,\text{cm}^2$.
a)
Berechne den Flächeninhalt der Mantelfläche.
b)
Berechne die Seitenlänge der Grundfläche.

Aufgabe 5

Gegeben sei ein regelmäßiges Sechseck mit einer Seitenlänge von $3\,\text{cm}$. Daraus entstehe ein gerades Prisma mit eine Höhe von $5\,\text{cm}$.
a)
Zeichne das Netz dieses Prismas.
b)
Berechne den Oberflächeninhalt des Prismas.
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Netz zeichnen
Bedenke beim Zeichnen des Netzes eines Prismas immer, dass es zwei Grundflächen und eine Mantelfläche gibt und wie diese verbunden sein müssen, damit man den Körper zusammenfalten kann. Ein Beispiel für ein Netz siehst du hier. Es gibt verschieden Möglichkeiten das Netz zu zeichnen.
Prismen: Allgemeines Prisma
Abb. 1: Netz des Prismas
Prismen: Allgemeines Prisma
Abb. Zahl: Netz des Prismas
b)
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Für die Volumenberechnung des Prismas benutzt du die Volumenformel. Beachte, dass die Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck ist. Um dessen Flächeninhalt ausrechnen zu können, benötigst du zuerst dessen Höhe.
$V= A_G\cdot h$
$V= A_G\cdot h$
$\begin{array}[t]{rll} h_g &=& \sqrt{\left(3\,\text{cm}\right)^2 - \left(1,5\right)\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{9\,\text{cm}^2 - 2,25\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{6,75\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 2,6 \,\text{cm} \\[10pt] A_G&=& \dfrac{a \cdot h_g}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{3\,\text{cm} \cdot 2,6\,\text{cm}}{2}\\[5pt] &=& \dfrac{7,8\,\text{cm}^2}{2}\\[5pt] &=& 3,9\,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& A_G \cdot h \\[5pt] &=& 3,9\,\text{cm}^2 \cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &=& 35,1\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Prismas beträgt $35,1\,\text{cm}^3$.
c)
$\blacktriangleright$ Oberfläche berechnen
Um die Oberfläche des Prismas berechnen zu können, benutzt du die Oberflächenformel. Hierbei bezeichnet $u$ den Umfang der Grundfläche.
$O= 2 \cdot A_G + u \cdot h $
$O= 2 \cdot A_G + u \cdot h $
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot 3,9\,\text{cm}^2 + \left(3 \cdot 3\,\text{cm} \right) \cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7,8\,\text{cm}^2 + 9\,\text{cm} \cdot 9\,\text{cm} \\[5pt] &=& 7,8\,\text{cm}^2 + 81 \,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 88,8 \,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& … \end{array}$
Der Oberflächeninhalt des Prismas hat eine Größe von $88,8 \,\text{cm}^2$.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Prisma berechnen
Für die Berechnung von Volumen und Oberflächeninhalt nutzt du die in der Aufgabe zuvor kennengelernte Formeln. Die Grundfläche ist bei diesem Prisma quadratisch.
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 25\,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot 25\,\text{cm}^2 + \left( 4 \cdot 5\,\text{cm}\right) \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 50\,\text{cm}^2 + 20\,\text{cm} \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 50\,\text{cm}^2 + 240\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 290 \,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& A_G \cdot h \\[5pt] &=& 25\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 300 \,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& 5\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 25\,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& … \\[10pt] V&=& A_G \cdot h \\[5pt] &=& 25\,\text{cm}^2 \cdot 12\,\text{cm} \\[5pt] &=& 300 \,\text{cm}^3 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Prisma berechnen
Bei dieser Aufgabe ist die Grundfläche ein Trapez. Benutze die entsprechende Formel für den Flächeninhalt der Grundfläche.
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& \frac{1}{2} \cdot \left(16\,\text{cm}+10\,\text{cm}\right) \cdot 20\,\text{cm} \\[5pt] &=& \frac{1}{2} \cdot 26\,\text{cm} \cdot 20\,\text{cm} \\[5pt] &=& 260\,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot 260\,\text{cm}^2 + \left( 16\,\text{cm}+20\,\text{cm}+10\,\text{cm}+21\,\text{cm}\right) \cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] &=& 520\,\text{cm}^2 + 67\,\text{cm} \cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] &=& 520\,\text{cm}^2 + 469\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 989 \,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& A_G \cdot h \\[5pt] &=& 260\,\text{cm}^2 \cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] &=& 1.820 \,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& … \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& …\\[10pt] V&=& A_G \cdot h \\[5pt] &=& 260\,\text{cm}^2 \cdot 7\,\text{cm} \\[5pt] &=& 1.820 \,\text{cm}^3 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Prisma berechnen
Die Grundfläche ist bei diesem Prisma ein Dreieck. Berechne erst dessen Fläche und anschließend die Oberfläche und das Volumen des Prismas.
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& \dfrac{a \cdot h_g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{7\,\text{mm} \cdot 16\,\text{mm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{112\,\text{mm}^2}{2} \\[5pt] &=& 56\,\text{mm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot 56\,\text{mm}^2 + \left( 16\,\text{mm}+7\,\text{mm}+17,5\,\text{mm}\right) \cdot 25\,\text{mm} \\[5pt] &=& 112\,\text{mm}^2 + 40,5\,\text{mm} \cdot 25\,\text{mm} \\[5pt] &=& 112\,\text{mm}^2 + 1.012,5\,\text{mm}^2 \\[5pt] &=& 1.124,5\, \text{mm}^2 \\[10pt] V&=& A_G \cdot h \\[5pt] &=& 56\,\text{mm}^2 \cdot 25\,\text{mm} \\[5pt] &=& 1.400 \,\text{mm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& \dfrac{a \cdot h_g}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{7\,\text{mm} \cdot 16\,\text{mm}}{2} \\[5pt] &=& \dfrac{112\,\text{mm}^2}{2} \\[5pt] &=& 56\,\text{mm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& … \\[10pt] V&=& A_G \cdot h \\[5pt] &=& 56\,\text{mm}^2 \cdot 25\,\text{mm} \\[5pt] &=& 1.400 \,\text{mm}^3 \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Prisma berechnen
Hier ist die Grundfläche ein Parallelogramm. Berechne zuerst seinen Flächeninhalt und danach die Oberfläche und das Volumen des Prismas.
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& 4\,\text{m}\cdot 3\,\text{m} \\[5pt] &=& 12\,\text{m}^2\\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot 12\,\text{m}^2 + \left(2\cdot 4\,\text{m}+2 \cdot 3,5\,\text{m}\right) \cdot 10\,\text{m} \\[5pt] &=& 24\,\text{m}^2 + \left(8\,\text{m}+7\,\text{m}\right) \cdot 10\,\text{m} \\[5pt] &=& 24\,\text{m}^2 + 15\,\text{m} \cdot 10\,\text{m} \\[5pt] &=& 24\,\text{m}^2 + 150\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 174\,\text{m}^2 \\[10pt] V&=& A_G \cdot h \\[5pt] &=& 12\text{m}^2 \cdot 10\text{m} \\[5pt] &=& 120 \text{m}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& 4\,\text{m}\cdot 3\,\text{m} \\[5pt] &=& 12\,\text{m}^2\\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& … \\[10pt] V&=& A_G \cdot h \\[5pt] &=& 12\text{m}^2 \cdot 10\text{m} \\[5pt] &=& 120 \text{m}^3 \end{array}$

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Netz zeichnen
Hier siehst du ein Netz für das Prisma mit rechteckiger Grundfläche.
b)
$\blacktriangleright$ Netz zeichnen
Hier siehst du ein Netz für das Prisma, welches ein Sechseck als Grundfläche hat.
b)
$\blacktriangleright$ Netz zeichnen
Hier siehst du ein Netz für das Prisma mit dreieckiger Grundfläche.

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Um herauszufinden, wie viele Säcke Futter Daniel benötigt, musst du als erstes das Volumen des Futtertroges bestimmen. Es ist ein gerades Prisma mit trapezförmiger Grundfläche. Anschließend wandelst du dieses in Liter um und kannst dann die Anzahl der Säcke berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& \frac{1}{2}\cdot\left(40\,\text{cm}+30\,\text{cm}\right) \cdot 30\,\text{cm} \\[5pt] &=& \frac{1}{2}\cdot 70\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \\[5pt] &=& 35\,\text{cm}\cdot 30\,\text{cm} \\[5pt] &=& 1.050\,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& 1050\,\text{cm}^2 \cdot 200\,\text{cm} \\[5pt] &=& 210.000\,\text{cm}^3 \\[5pt] &=& 210\,\text{l} \\[10pt] \dfrac{210\,\text{l}}{30\,\text{l}}&=& 7 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=& …\\[10pt] V&=& … \\[10pt] \dfrac{210\,\text{l}}{30\,\text{l}}&=& 7 \end{array}$
Daniel benötigt $7$ von den $30\,\text{l}$-Säcken um den Futtertrog randvoll zu füllen.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Mantelfläche berechnen
Damit du die Mantelfäche berechnen kannst, benötigst du die Grundfläche. Diese ermittelst du mithilfe der Volumenformel. Anschließend kannst du die Oberflächenformel so umstellen, dass du damit die Mantelfläche berechnen kannst.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_G \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :h\\[5pt] A_G&=&\dfrac{V}{h} \\[5pt] &=& \dfrac{37.500\,\text{cm}^3}{60\,\text{cm}} \\[5pt] &=& 625\,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + A_M &\quad \scriptsize \mid\; -2\cdot A_G\\[5pt] A_M &=& O - 2 \cdot A_G \\[5pt] &=& 7.250\,\text{cm}^2-2 \cdot 625\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 7.250\,\text{cm}^2-1.250\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 6.000\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& A_G \cdot h \\[5pt] … &=& …\\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + A_M \\[5pt] … &=& … \end{array}$
Die Mantelfläche des Prismas hat eine Größe von $6.000\,\text{cm}^2$.
b)
$\blacktriangleright$ Seitenlänge bestimmen
Als letztes sollst du noch die Seitenlänge der Grundfläche berechnen. Da diese quadratisch ist, musst du nur die Quadratwurzel der Grundfläche berechnen und erhältst somit die Seitenlänge der Grundfläche.
$\begin{array}[t]{rll} a&=& \sqrt{A_G} \\[5pt] &=& \sqrt{625\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 25\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlänge der Grundfläche beträgt $25\,\text{cm}$.

Aufgabe 5

a)
$\blacktriangleright$ Netz zeichnen
Du siehst hier ein Netz für das Prismas.
b)
$\blacktriangleright$ Oberfläche berechnen
Die Oberfläche des Prismas kannst du mithilfe der Oberflächenformel berechnen. Für den Flächeninhalt der Grundseite unterteilst du das Sechseck in sechs kongruente gleichseitige Dreiecke. Von einem solchen Dreieck kannst du den Flächeninhalt berechnen. Die Höhe des Dreiecks berechnest du mit dem Phytagoras.
$\begin{array}[t]{rll} h_g&=&\sqrt{\left(3\,\text{cm}\right)^2-\left(1,5\,\text{cm}\right)^2} \\[5pt] &=&\sqrt{9\,\text{cm}^2-2,25\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& \sqrt{6,75\,\text{cm}^2} \\[5pt] &\approx& 2,6\,\text{cm} \\[10pt] A_G&=& 6 \cdot \dfrac{a \cdot h_g}{2} \\[5pt] &=& 3 \cdot \left(a \cdot h_g\right) \\[5pt] &=& 3 \cdot \left(3\,\text{cm} \cdot 2,6\,\text{cm}\right) \\[5pt] &=& 3 \cdot 7,8\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 23,4 \,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& 2 \cdot 23,4\,\text{cm}^2 + \left(6 \cdot 3\,\text{cm}\right) \cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 46,8\, \text{cm}^2 + 18\,\text{cm} \cdot 5\,\text{cm} \\[5pt] &=& 46,8\,\text{cm}^2+90\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 136,8\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} h_g&=& … \\[10pt] A_G&=& 6 \cdot \dfrac{a \cdot h_g}{2} \\[5pt] &=& 3 \cdot \left(a \cdot h_g\right) \\[5pt] &=& 3 \cdot \left(3\,\text{cm} \cdot 2,6\,\text{cm}\right) \\[5pt] &=& 3 \cdot 7,8\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 23,4 \,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G + u \cdot h \\[5pt] &=& … \end{array}$
Der Oberflächeninhalt des Prismas beträgt $136,8\,\text{cm}^2$.
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