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Würfel und Quader

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Prismen: Würfel und Quader
Abb. 1: Quader
Prismen: Würfel und Quader
Abb. 1: Quader
#rechteck#volumen#quadrat#flächeninhalt
Bildnachweise [nach oben]
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Einführungsaufgabe

Anna würde gerne ihrer Freundin Laura ein Paket zu ihrem Geburtstag schicken. Das Paket hat eine Länge von $a=60\,\text{cm}$, eine Breite von $b=30\,\text{cm}$ und eine Höhe von $h=40\,\text{cm}$. Bevor Anna allerdings anfängt das Paket zu füllen, muss sie erst wissen, wie groß sein Fassungsvermögen ist.
a)
Berechne das Volumen des Paketes.
b)
Wie viel Geschenkpapier benötigt Anna, um das gesamte Paket darin einzupacken?

Aufgabe 1

Berechne die Oberfläche und das Volumen der Quader.

Aufgabe 2

Welche Aussagen über Würfel sind wahr?
a)
Ein Würfel hat $16$ Ecken.
b)
Ein Würfel ist ein besonderer Quader, bei dem alle Seiten gleich lang sind.
c)
Das Volumen des Würfels berechnet sich wie folgt : $V=a^3$
d)
Es gibt Würfel, die keine Prismen sind.
e)
Ein Würfel besitzt sechs kongruente Seitenflächen.
f)
Ein Würfel hat $24$ Kanten.

Aufgabe 3

Prismen: Würfel und Quader
Abb. 4: Zauberwürfel
Prismen: Würfel und Quader
Abb. 4: Zauberwürfel

Aufgabe 4

Gegeben sei ein Würfel. Dieser Würfel hat die Kantenlänge $a$.
a)
Die Kantenlänge sei nun $a=5\,\text{cm}$. Berechne die Oberfläche und das Volumen.
b)
Die Kantenlänge sei nun $a=10\,\text{cm}$. Wie verändern sich Oberfläche und Volumen des Würfels?
c)
Wie verändern sich die Oberfläche und das Volumen bei dreifacher und vierfacher Kantenlänge?
Bildnachweise [nach oben]
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https://goo.gl/UPMEqw – Rubik's Cube, Antony ***, CC BY-NC-ND 2.0.
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Das Volumen eines Quaders berechnet sich aus dem Produkt von Länge, Breite und Höhe.
$V=a\cdot b \cdot h$
$V=a\cdot b \cdot h$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& a \cdot b \cdot h \\[5pt] &=& 60\,\text{cm} \cdot 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm} \\[5pt] &=& 72.000\,\text{cm}^3 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Oberfläche berechnen
Um zu wissen, wie viel Geschenkpapier Anna braucht, musst du die Oberfläche des Quaders berechnen. Die Oberfläche eines Quaders setzt sich aus sechs Seiten zusammen, wobei zwei sich gegenüberliegende Seiten immer kongruent zueinander sind. Für die Oberfläche ergibt sich dann folgende Formel:
$O= 2 \cdot \left(ab + ah + bh\right)$
$O= 2 \cdot \left(ab + ah + bh\right)$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \left(ab + ah + bh \right) \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(60\,\text{cm}\cdot 30\,\text{cm}+ 60\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm}+ 30\,\text{cm} \cdot 40\,\text{cm}\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(1.800\,\text{cm}^2+2.400\,\text{cm}^2+1.200\,\text{cm}^2\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot 5.400\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 10.800 \,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 1,08 \,\text{m}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \left(ab + ah + bh \right) \\[5pt] &=& … \end{array}$
Anna benötigt $1,08\,\text{m}^2$ Geschenkpapier, um das gesamte Paket darin einzupacken.

Aufgabe 1

Um die beiden Größen zu berechnen, nutzt du die Formeln, welche du in der Aufgabe zuvor kennengelernt hast.
a)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Quader berechnen
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \left(ab + ah + bh\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} + 3\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} + 4\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm}\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(12\,\text{cm}^2+30\,\text{cm}^2+40\,\text{cm}^2\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot 82\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 164\,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& a \cdot b \cdot h \\[5pt] &=& 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& 120\,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \left(ab + ah + bh\right) \\[5pt] &=& … \\[10pt] V&=& a \cdot b \cdot h \\[5pt] &=& 3\,\text{cm} \cdot 4\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& 120\,\text{cm}^3 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Quader berechnen
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \left(ab + ah + bh\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} + 5\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} + 2\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm}\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(10\,\text{cm}^2+40\,\text{cm}^2+16\,\text{cm}^2\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot 66\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 132\,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& a \cdot b \cdot h \\[5pt] &=& 5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 80\,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \left(ab + ah + bh\right) \\[5pt] &=& …\\[10pt] V&=& a \cdot b \cdot h \\[5pt] &=& 5\,\text{cm} \cdot 2\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 80\,\text{cm}^3 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Quader berechnen
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \left(ab + ah + bh\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} + 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} + 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm}\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot \left(64\,\text{cm}^2+64\,\text{cm}^2+64\,\text{cm}^2\right) \\[5pt] &=& 2 \cdot 192\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 384\,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& a \cdot b \cdot h \\[5pt] &=& 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 216\,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \left(ab + ah + bh\right) \\[5pt] &=& … \\[10pt] V&=& a \cdot b \cdot h \\[5pt] &=& 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \cdot 8\,\text{cm} \\[5pt] &=& 216\,\text{cm}^3 \end{array}$

Aufgabe 2

a)
"Ein Würfel hat $16$ Ecken."
Diese Aussage ist falsch. Ein Würfel ist ein Prisma mit einer quadratischen Grundfläche. Somit hat ein Würfel $8$ Ecken.
b)
"Ein Würfel ist ein besonderer Quader, bei dem alle Seiten gleich lang sind."
Diese Aussage ist richtig. Ein Würfel ist ein Sepzialfall des Quaders, bei dem alle Seiten gleich lang sind.
c)
"Das Volumen eines Würfels berechnet sich wie folgt: $V=a^3$."
Diese Aussage ist richtig. Ein Würfel ist ein Quader und somit berechnet sich das Volumen als Produkt von Länge, Breite und Höhe. Da alle Seiten gleich lang sind, lässt sich das Volumen so berechnen.
d)
"Es gibt Würfel, die keine Prismen sind."
Diese Aussage ist falsch. Grundfläche und Deckfläche sind bei einem Würfel immer deckungsgleich.
e)
"Ein Würfel besitzt sechs kongruente Seitenflächen."
Diese Aussage ist richtig. Ein Würfel hat die Eigenschaft, dass alle Seiten gleich lang sind und sich rechtwinklig schneiden. Somit sind alle Seitenflächen kongruent.
f)
"Ein Würfel hat $24$ Kanten."
Diese Aussage ist falsch. Ein Würfel besteht aus zwei quadratischen Flächen, die an den Eckunkten miteinander verbunden sind. Somit besitzt ein Würfel immer $12$ Kanten.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Zur Berechnung für das Volumen des Würfels benötigst dessen Seitenlänge. Diese kannst du berechnen, wenn du die Oberflächenformel umstellst.
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 6 \cdot a^2 &\quad \scriptsize \mid\;:6 \\[5pt] a^2&=& \dfrac{O}{6} &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{} \\[5pt] a&=& \sqrt{\dfrac{O}{6}} \\[10pt] a &=& \sqrt{\dfrac{O}{6}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{194,94\,\text{cm}^2}{6}} \\[5pt] &=& \sqrt{32,49\,\text{cm}^2} \\[5pt] &=& 5,7\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 6 \cdot a^2 \\[5pt] … &=& … \end{array}$
Die Seitenlänge kannst du nun verwenden um das Volumen zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& a^3 \\[5pt] &=& \left(5,7\,\text{cm}\right)^3 \\[5pt] &\approx& 185,19\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Zauberwürfels beträgt $185,19\,\text{cm}^3 $.
b)
$\blacktriangleright$ Seitenlänge bestimmen
Überlege, wie viele der kleinen Würfel sich auf einer Kante befinden. Dann musst du nur die Kantenlänge des Zauberwürfels durch die Anzahl der Würfel dividieren.
$\begin{array}[t]{rll} \dfrac{a}{3}&=& \dfrac{5,7\,\text{cm}}{3} \\[5pt] &=& 1,9\,\text{cm} \\[5pt] \end{array}$
Die Kante eines kleinen Würfels hat eine Länge von $1,9\,\text{cm}$.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Oberfläche und Volumen berechnen
Die Oberfläche und das Volumen berechnest du mit den Formeln für Würfel.
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 6 \cdot a^2 \\[5pt] &=& 6 \cdot \left(5\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] &=& 6 \cdot 25\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 150\,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& a^3 \\[5pt] &=& \left(5\,\text{cm}\right)^3 \\[5pt] &=& 125\,\text{cm}^3 \end{array}$
Die Oberfläche hat einen Flächeninhalt von $150\,\text{cm}^2$ und das Volumen beträgt $125\,\text{cm}^3$.
b)
$\blacktriangleright$ Oberfläche und Volumen berechnen
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 6 \cdot a^2 \\[5pt] &=& 6 \cdot \left(10\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] &=& 6 \cdot 100\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 600\,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& a^3 \\[5pt] &=& \left(10\,\text{cm}\right)^3 \\[5pt] &=& 1.000\,\text{cm}^3 \end{array}$
Die Oberfläche vervierfacht sich, während sich das Volumen verachtfacht.
c)
$\blacktriangleright$ Auswirkungen der Veränderung der Seitenlänge bestimmen
Um die Veränderung sehen zu können, setzt du für $a$ nun entsprechend $2a$ und $3a$ ein.
Seitenlängea3a4a
O$O= 6 \cdot a^2$$\begin{array}[t]{rll} O&=& 6 \cdot \left(3a\right)^2 \\ &=& 6 \cdot 9 \cdot a^2 \\ &=& 9 \cdot 6 \cdot a^2 \\ &=& 9 \cdot O_{alt} \end{array}$ $\begin{array}[t]{rll} O&=& 6 \cdot \left(4a\right)^2 \\ &=& 6 \cdot 16 \cdot a^2 \\ &=& 16 \cdot 6 \cdot a^2 \\ &=& 16 \cdot O_{alt} \end{array}$
V$\begin{array}[t]{rll} V&=& a^3 \end{array}$$\begin{array}[t]{rll} V&=& \left(3a\right)^3 \\ &=& 27 a^3 \\ &=& 27 \cdot V_{alt} \end{array}$$\begin{array}[t]{rll} V&=& \left(4a\right)^3 \\ &=& 64 \cdot a^3 \\ &=& 64 \cdot V_{alt} \end{array}$
Du siehst, dass bei dreifacher Kantenlänge sich die Oberfläche verneunfacht. Dies liegt daran, dass bei der Oberflächenformel die Seitenlänge quadriert wird. Bei der Volumenformel wird die Seitenlänge allerdings mit 3 potenziert, weshalb eine Verdreifachung der Seitenlänge eine Volumenvergrößerung um das $27$-fache bewirkt.
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