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Zusammengesetzte Körper

Spickzettel
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Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper

Vorgehen

Zerlege den Körper in möglichst einfache Teilkörper, wie Würfel, Quader und andere Prismen und mache dir gegebenenfalls eine Skizze zu jedem der Teilkörper. Überlege dir dann welche Flächen bei der Berechnung der Oberfläche wegfallen und welche berechnet werden müssen.

Beispiel

Berechne das Volumen des oben skizzierten Hauses mit den folgenden Längen:
  • Kantenlänge des Würfels: $a = 12\,$m
  • Höhe des Dachs: $h= 6\,$m
Berechne also die Volumina des Würfels $V_{\text{Würfel}}$ und des Dachs $V_{\text{Dach}}$ einzeln mit der entsprechenden Formel:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Würfel}}&=& a^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& (12\text{ m})^3 &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1.728 \text{ m}^3&\quad \scriptsize \\[10pt] V_{\text{Dach}}&=& \dfrac{1}{2}\cdot h \cdot a \cdot a &\quad \scriptsize \\[5pt] &=&\dfrac{1}{2}\cdot 6 \text{ m}\cdot 12 \text{ m} \cdot 12 \text{ m} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 432\text{ m}^3&\quad \scriptsize \\[10pt] V_{\text{Haus}}&=& V_{\text{Würfel}} +V_{\text{Dach}} &\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 1.728 \text{ m}^3+ 432\text{ m}^3&\quad \scriptsize \\[5pt] &=& 2.160\text{ m}^3&\quad \scriptsize \\[5pt] \end{array}$
Für den Oberflächeninhalt müsstest du folgende Seitenflächen berechnen:
  • Die Bodenfläche des Würfels
  • Die vier Seitenflächen des Würfels
  • Die Vorder- und Rückseite des Dachs
  • Die beiden Seitenflächen des Dachs
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Aufgaben
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1.
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
2.
Der abgebildete Körper hat die Maße $a=30$ cm und $b=h=15$ cm.
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Berechne das Volumen und die Oberfläche des Körpers.
3.
Der Grundkörper einer Innensechskant-Schraube ist im Zweitafelbild abgebildet.
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Inbus) - Afrank99
Wie schwer ist die Schraube, wenn sie aus Edelstahl mit einer Dichte von $7,9 \text{g/cm}³$ gefertigt wurde?
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
4.
Aus einem Betonwürfel wurde ein Zylinder herausgearbeitet. Er soll als Topf eines kleinen Bonsai Baumes dienen. Die Seitenlänge des Würfels beträgt $30$ cm. Die Grundfläche der Aussparung hat einen Radius von $12$ cm und ist $15$ cm hoch.
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Welches Volumen hat der Topf?
5.
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Der gefärbte Teil der Figur zeigt den Axialschnitt eines Rotationskörpers. Es gilt: $a=1$ cm
a)
Welche Oberfläche hat der Körper?
b)
Berechne das Volumen des Körpers.
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Lösungen
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1.
Volumen und Oberfläche
Um mit den gegebenen Werten rechnen zu können, rechne zunächst alle Maßeinheiten in Zentimeter um.
$ \begin{array}{rll} 1\text{dm}=&10\text{cm}\\[5pt] 8\text{dm}=&80\text{cm}\\[5pt] 50\text{mm}=&5\text{cm} \end{array} $
Bei den Tischbeinen handelt es sich um 4 gleichgroße Quader. Mithilfe der allgemeinen Formel für das Volumen eines Quaders kannst du das Volumen der Tischbeine berechnen:
$V_{\text{Q}}=a\cdot b\cdot c$
$V_{\text{Q}}=a\cdot b\cdot c$
Du musst es noch mit 4 multiplizieren. Benutze die allgemeine Formel auch für die Berechnung des Volumens der Tischplatte.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Beine}}=&4\cdot a\cdot b\cdot c&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Beine}}=&4\cdot 10\text{cm}\cdot 10\text{cm}\cdot 80\text{cm}\\[5pt] V_{\text{Beine}}=&32.000\text{cm}^3 \end{array} $
$ V_{\text{Beine}}= 4\cdot a\cdot b\cdot c $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Platte}}=&a\cdot b\cdot c&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Platte}}=&160\text{cm}\cdot 80\text{cm}\cdot 5\text{cm}\\[5pt] V_{\text{Platte}}=&64.000\text{cm}^3 \end{array} $
$ V_{\text{Platte}}= a\cdot b\cdot c $
Addiere die beiden Ergebnisse.
$V_{\text{Platte}}+V_{\text{Beine}}=32.000\text{cm}^3+64.000\text{cm}^3=96.000\text{cm}^3=96\text{dm}^3$
$ V_{\text{Platte}}+V_{\text{Beine}} $
Der Tisch besitzt ein Volumen von $96\text{dm}^3$.
Bestimme jetzt die Größe der Oberfläche des Tisches. Hierfür kannst du die allgemeine Formel für die Oberfläche eines Quaders verwenden.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{O}_\text{Platte}}=&2\cdot (a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c)&\scriptsize \text{Werte einsetzen}.\\[5pt] A_{\text{O}_\text{Platte}}=&2\cdot (160\text{cm}\cdot 80\text{cm}+160\text{cm}\cdot 5\text{cm}+80\text{cm}\cdot 5\text{cm})\\[5pt] A_{\text{O}_\text{Platte}}=&28.000\text{cm}^2 \end{array} $
$A_{\text{O}_\text{Platte}}= 2\cdot (a\cdot b+a\cdot c+b\cdot c) $
Berechne nun die Mantelfläche der Tischbeine. Die Grund- und Deckflächen können vernachlässigt werden, da die Grundfläche schon in der Oberfläche der Tischplatte miteinbezogen wurde und die Deckfläche nicht zur Oberfläche des Tisches gehört.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{Beine}}=&4\cdot 2 \cdot (a\cdot c+b\cdot c)&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Beine}}=&4\cdot 2 \cdot (10\text{cm}\cdot 80\text{cm}+10\text{cm}\cdot 80\text{cm})\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Beine}}=&12.800\text{cm}^2 \end{array} $
$ A_{\text{M}_\text{Beine}}= 4\cdot 2 \cdot (a\cdot c+b\cdot c) $
Rechne deine erhaltenen Ergebnisse zusammen.
$A_{\text{O}_\text{Platte}}+A_{\text{M}_\text{Beine}}=28.000\text{cm}^2+12.800\text{cm}^2=40.800\text{cm}^2=408\text{dm}^2$
$ A_{\text{O}_\text{Platte}}+A_{\text{M}_\text{Beine}} $
Die Oberfläche des Tisches ist $40.800\text{cm}^2$ groß.
2.
Volumen und Oberfläche
Der Körper setzt sich zusammen aus einem Pyramidenstumpf und einem Würfel, aus dem eine Pyramide herausgetrennt wurde.
Setze die Werte aus der Aufgabenstellung in die Volumenformel ein. Davor musst du die Grund- und Deckfläche noch berechnen
$ \begin{array}{rll} A_{\text{G}_\text{Stumpf}}=&a^2&\scriptsize \text{Wert einsetzen}\\[5pt] A_{\text{G}_\text{Stumpf}}=&(30\text{cm})^2\\[5pt] A_{\text{G}_\text{Stumpf}}=&900\text{cm}^2 \end{array} $
$A_{\text{G}_\text{Stumpf}}= a^2$
$ \begin{array}{rll} A_{\text{D}_\text{Stumpf}}=&b^2&\scriptsize \text{Wert einsetzen}\\[5pt] A_{\text{D}_\text{Stumpf}}=&(15\text{cm})^2\\[5pt] A_{\text{D}_\text{Stumpf}}=&225\text{cm}^2 \end{array} $
$A_{\text{D}_\text{Stumpf}}= b^2$
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Stumpf}}=&\dfrac{h}{3} \left(A_{\text{G}_\text{Stumpf}} + A_{\text{D}_\text{Stumpf}} + \sqrt{A_{\text{G}_\text{Stumpf}}\cdot A_{\text{D}_\text{Stumpf}}}\right)&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Stumpf}}=&\dfrac{15\text{cm}}{3} \left(900\text{cm}^2 + 225\text{cm}^2 + \sqrt{900\text{cm}^2\cdot 225\text{cm}^2}\right)\\[5pt] V_{\text{Stumpf}}=&7.875\text{cm}^3 \end{array} $
$V_{\text{Stumpf}}=7.875\text{cm}^3$
Berechne nun das Volumen des Würfels mithilfe der Formel: $V_{\text{Würfel}}=b^3$
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Würfel}}=&b^3&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Würfel}}=&(15\text{cm})^3\\[5pt] V_{\text{Würfel}}=&3.375\text{cm}^3 \end{array} $
$ V_{\text{Würfel}}=b^3$
Berechne nun das Volumen der herausgetrennten Pyramide:
$\begin{array}[t]{rll} V_{\text{Pyramide}}&=& \frac{1}{3} \cdot G\cdot h\\[5pt] &=& \frac{1}{3}\cdot 225\text{cm}^2 \cdot 15\text{cm} \\[5pt] &=&1.125\text{cm}^3 \end{array}$
$ V_{\text{Pyramide}} = 1.125\text{cm}^3$
Addiere die Ergebnisse.
$V_{\text{Stumpf}}+V_{\text{Würfel}}-V_{\text{Pyramide}}=7.875\text{cm}^3+3.375\text{cm}^3-1.125\text{cm}^3=10.125\text{cm}^3$
$ V_{\text{Stumpf}}+V_{\text{Würfel}}-V_{\text{Pyramide}}=…$
Die Figur besitzt ein Volumen von $10.125\text{cm}^3$.
Bestimme jetzt noch die Oberfläche der Figur. Beginne mit der Oberfläche des Stumpfes, die Deckfläche musst du jedoch vernachlässigen, da sie nicht zur Oberfläche der Figur gehört. Berechne die Höhe der Seitenfläche $h_a$.
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Um die Höhe der Seitenfläche $h_a$ bestimmen zu können, musst du zunächst die Seite $c$ berechnen.
$ \begin{array}{rll} c=&\frac{a-b}{2}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] c=&\frac{30\text{cm}-15\text{cm}}{2}\\[5pt] c=&7,5\text{cm} \end{array} $
$ c=\frac{a-b}{2} $
Nun kannst du mittels des Satzes des Pythagoras die Höhe $h_a$ bestimmen. Hierfür verschiebst du die Höhe. Es entsteht die Seite $h'$.
$ \begin{array}{rll} h_a^2=&h'^2+c^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] h_a^2=&(15\text{cm})^2+(7,5\text{m})^2\\[5pt] h_a^2=&281,25\text{cm}^2&\scriptsize \mid \sqrt{\;\;}\\[5pt] h_a\approx&16,77\text{cm} \end{array} $
$h_a^2=h'^2+c^2 $
Um die Seitenflächen zu berechnen, kannst du dir die Formel für den Flächeninhalt eines Trapezes ($A_{\text{Trapez}}=\frac{1}{2}\cdot (a+b) \cdot h_a$) zur Hilfe nehmen. Jedoch musst du diese mit 4 multiplizieren, da der Pyramidenstumpf 4 Seitenflächen besitzt.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{Stumpf}}=&4\cdot \frac{1}{2}\cdot (a+b) \cdot h_a\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Stumpf}}=&2\cdot (a+b) \cdot h_a&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Stumpf}}\approx&2\cdot (30\text{cm}+15\text{cm}) \cdot 16,77\text{cm}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Stumpf}}\approx&1.509,3\text{cm}^2 \end{array} $
$ A_{\text{M}_\text{Stumpf}}= 4\cdot \frac{1}{2}\cdot (a+b) \cdot h_a $
Die Grundfläche $A_{\text{G}_\text{Stumpf}}$ hast du bereits berechnet. Bestimme nun noch die Oberfläche des Würfels, wobei du die Grundfläche und die Deckfläche vernachlässigen musst, da diese nicht zur Oberfläche der Figur gehört.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{O}_\text{Würfel}}=&4\cdot b^2&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] A_{\text{O}_\text{Würfel}}=&4\cdot (15\text{cm})^2\\[5pt] A_{\text{O}_\text{Würfel}}=&900\text{cm}^2 \end{array} $
$ A_{\text{O}_\text{Würfel}}=4\cdot b^2 $
Dadurch, dass die Pyramide aus dem Würfel herausgetrennt ist, musst du auch die Größe Seitenflächen der Pyramide berechnen. Berechne dazu die Höhe $h_s$ der Pyramidenseitenflächen mit Hilfe des Satzes des Pythagoras:
$\begin{array}[t]{rll} h_s^2&=& \left(\frac{b}{2}\right)^2 + b^2 \\[5pt] h_s^2&=& (7,5\text{cm})^2 +(15\text{cm})^2 \\[5pt] h_s^2&=& 281,25\text{cm}^2 &\quad \scriptsize \mid\;\sqrt{\;} \\[5pt] h_s&\approx&16,77\text{cm} \end{array}$
Berechne nun die Oberfläche der Pyramidenseitenflächen:
$\begin{array}[t]{rll} A_{\text{O}_\text{Pyramide}}&=& 4\cdot \frac{1}{2}\cdot b\cdot h_s \\[5pt] &\approx& 2\cdot 15\text{cm}\cdot 16,77\text{cm}\\[5pt] &=& 503,1 \text{cm}^2 \end{array}$
Fasse nun deine berechneten Ergebnisse zusammen.
$A_\text{O}=A_{\text{M}_\text{Stumpf}}+A_{\text{G}_\text{Stumpf}}+A_{\text{O}_\text{Würfel}} +A_{\text{O}_\text{Pyramide}} =1.509,34\text{cm}^2+900\text{cm}^2+900\text{cm}^2+ 503,1 \text{cm}^2=3.812,44\text{cm}^2$
$A_\text{O}=A_{\text{M}_\text{Stumpf}}+A_{\text{G}_\text{Stumpf}}+A_{\text{O}_\text{Würfel}}+ A_{\text{O}_\text{Pyramide}}$
Die Oberfläche ist $3.812,44\text{cm}^2$ groß.
3.
Gewicht der Schraube
Um das Gewicht der Schraube zu erhalten, musst du zuerst ihr Volumen bestimmen. Dazu teilst du sie in 4 einzelne Teile. Berechne zuerst das Volumen des Schraubenstiftes.
$ \begin{array}{rll} V_\text{Stift}=&A_\text{G}\cdot h\\[5pt] V_\text{Stift}=&\pi \cdot r^2\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Stift}=&\pi \cdot (1,5a)^2\cdot 17a\\[5pt] V_\text{Stift}=&\pi \cdot (3\text{mm})^2\cdot 34\text{mm}\\[5pt] V_\text{Stift}=&961,33\text{mm} \end{array} $
$ V_\text{Stift}=A_\text{G}\cdot h $
Nun kannst du das Volumen des Kopfes bestimmen (die Vertiefung wird zunächst vernachlässigt).
$ \begin{array}{rll} V_\text{Kopf}=&A_\text{G}\cdot h\\[5pt] V_\text{Kopf}=&\pi \cdot r^2\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Kopf}=&\pi \cdot (2,5a)^2\cdot 3a\\[5pt] V_\text{Kopf}=&\pi \cdot (5\text{mm})^2\cdot 6\text{mm}\\[5pt] V_\text{Kopf}=&471,24\text{mm}^3 \end{array} $
$ V_\text{Kopf}=A_\text{G}\cdot h $
Um die Vertiefung der Innensechskantschraube zu berechnen, unterteilst du sie in 2 Teile. Bestimme zunächst das Volumen des Prismas. Ein regelmäßiges Sechseck stellt die Grundseite dar. Danach berechnest du das Volumen einer Pyramide.
$ \begin{array}{rll} V_\text{Prisma}=&A_\text{G} \cdot h\\[5pt] V_\text{Prisma}=&\frac{3}{2}\cdot (2,5a)^2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2a&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Prisma}=&\frac{3}{2}\cdot (5\text{mm})^2 \cdot \sqrt{3} \cdot 4\text{mm}\\[5pt] V_\text{Prisma}=&259,81\text{mm}^3 \end{array} $
$ V_\text{Prisma}=A_\text{G} \cdot h $
$ \begin{array}{rll} V_\text{Pyramide}=&\frac{1}{2}\cdot A_\text{G}\cdot h\\[5pt] V_\text{Pyramide}=&\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot(2,5a)^2 \cdot \sqrt {3} \cdot 0,5a&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Pyramide}=&\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{2}\cdot(5\text{mm})^2 \cdot \sqrt {3} \cdot 1\text{mm}\\[5pt] V_\text{Pyramide}=&32,48\text{mm}^3 \end{array} $
$ V_\text{Pyramide}=\frac{1}{2}\cdot A_\text{G}\cdot h $
Addiere nun die beiden Ergebnisse um das Volumen der gesamten Vertiefung zu erhalten.
$ \begin{array}{rll} V_\text{Innensechskant}=&V_\text{Prisma}+V_\text{Pyramide}&\scriptsize \text{Ergebnisse einsetzen}\\[5pt] V_\text{Innensechskant}=&259,81\text{mm}^3+32,48\text{mm}^3\\[5pt] V_\text{Innensechskant}=&292,29\text{mm}^3 \end{array} $
$ V_\text{Innensechskant}=V_\text{Prisma}+V_\text{Pyramide} $
Um das Volumen der Schraube zu erhalten, addiere das Volumen des Stiftes und des Kopfes, vergiss jedoch nicht das Volumen der Vertiefung abziehen.
$ \begin{array}{rll} V_\text{Schraube}=&V_\text{Stift}+(V_\text{Kopf}-V_\text{Innensechskant})&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_\text{Schraube}=&961,33\text{mm}+(471,24\text{mm}^3-292,29\text{mm}^3)\\[5pt] V_\text{Schraube}=&1140,28\text{mm}^3 \end{array} $
$ V_\text{Schraube}\\=V_\text{Stift}+(V_\text{Kopf}-V_\text{Innensechskant})$
Rechne nun Kubikmillimeter in Kubikzentimeter um.
$1140,28\text{mm}^3\mathrel{\widehat{=}}1,14\text{cm}^3$
Damit du das Gewicht der Schraube erhälst, multipliziere die Dichte mit dem Volumen der Schraube.
$ \begin{array}{rll} m_\text{Schraube}=&V_\text{Schraube}\cdot \rho&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] m_\text{Schraube}=&1,14\text{cm}^3\cdot 7,9 \frac{\text{g}}{\text{cm}^3}\\[5pt] m_\text{Schraube}=&9\text{g} \end{array} $
$ m_\text{Schraube}=V_\text{Schraube}\cdot \rho$
Die Schraube besitzt ein Gewicht von $9\text{g}$.
4.
Volumen des Topfes
Berechne zunächst das Volumen des Würfels mithilfe der Formel: $V_{\text{Würfel}}=a^3$.
Danach kannst du das Volumen der zylinderförmigen Aussparung mit der Formel: $V_{\text{Zylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h$ bestimmen.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Würfel}}=&a^3&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Würfel}}=&(30\text{cm})^3\\[5pt] V_{\text{Würfel}}=&27.000\text{cm}^3 \end{array} $
$ V_{\text{Würfel}}=a^3 $
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Zylinder}}=&\pi \cdot r^2\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Zylinder}}=&\pi \cdot (12\text{cm})^2\cdot 15\text{cm}\\[5pt] V_{\text{Zylinder}}=&6.785,84\text{cm}^3 \end{array} $
$ V_{\text{Zylinder}}=\pi \cdot r^2\cdot h $
Bestimme nun das Volumen des Topfes durch Subtraktion.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Topf}}=&V_{\text{Würfel}}-V_{\text{Zylinder}}&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Topf}}=&27.000\text{cm}^3-6.785,84\text{cm}^3\\[5pt] V_{\text{Topf}}=&20.214,16\text{cm}^3 \end{array} $
$ V_{\text{Topf}}=V_{\text{Würfel}}-V_{\text{Zylinder}}$
Der Topf besitzt ein Volumen von $20.214,16\text{cm}^3$.
5.
a)
Oberfläche
Unterteile die Figur zunächst in 3 einzelne Teile (Viertelkreis bzw. Halbkugel (A), Rechteck bzw. Zylinder (B), rechtwinkliges Trapez bzw. Kegelstumpf (C)).
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Stereometrie: Zusammengesetzte Körper
Der Radius der Halbkugel beträgt $1\text{cm}$. Mit der Formel für die Oberfläche einer Kugel ($A_O=4\cdot\pi\cdot r²$) lässt sich auch die Mantel einer Halbkugel (Fläche ohne Grundseite) bestimmen. Jedoch musst du diese noch mit $\frac{1}{2}$ multiplizieren, da es sich lediglich um eine halbe Kugel handelt.
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{HK}}=&\frac{1}{2}\cdot 4\cdot\pi\cdot r²\\[5pt] A_{\text{M}_\text{HK}}=&2\cdot\pi\cdot r²\\[5pt] A_{\text{M}_\text{HK}}=&2\cdot \pi \cdot (1\text{cm})^2\\[5pt] A_{\text{M}_\text{HK}}=&2\pi \text{cm}^2\approx 6,28\text{cm}^2 \end{array} $
$ A_{\text{M}_\text{HK}}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot\pi\cdot r^2 $
Den Zylinder (B) berechnest du mittels der allgemeinen Formel für den Mantel ($A_{\text{M}_\text{Z}}=u\cdot h$). Die Höhe beträgt $2\text{cm}$ und der Radius $1\text{cm}$.
$ \begin{array}{rll} u=&\pi \cdot 2r&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] u=&\pi \cdot 2 \cdot 1\text{cm}\\[5pt] u=&2\pi\text{cm} \end{array} $
$ u=\pi \cdot 2r $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{Z}}=&u\cdot h&\scriptsize \text{einsetzen}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Z}}=&2\pi\text{cm}\cdot 2\text{cm}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{Z}}=&12,57\text{cm}^2 \end{array} $
$ A_{\text{M}_\text{Z}}=u\cdot h $
Bestimme nun die Mantelfläche des Kegelstumpf und die Grundfläche. Der Radius $R$ der Grundfläche ist $2\text{cm}$ lang, der Radius $r$ der Deckfläche $1\text{cm}$ und die Höhe besitzt eine Länge von $2\text{cm}$.
Die Länge der Schrägen (Mantellinie $m$) beträgt $\sqrt{5}$, da $\sqrt{(1\text{cm})^2+(2\text{cm})^2}$ (Satz des Pythagoras).
$ \begin{array}{rll} A_{\text{M}_\text{KS}}=&(R+r) \cdot \pi \cdot m&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{\text{M}_\text{KS}}=&(2\text{cm}+1\text{cm}) \cdot \pi \cdot \sqrt{5}\text{cm}\\[5pt] A_{\text{M}_\text{KS}}=&21,07\text{cm}^2 \end{array} $
$ A_{\text{M}_\text{KS}}=(R+r) \cdot \pi \cdot m $
$ \begin{array}{rll} A_{\text{G}_\text{KS}}=&\pi \cdot r^2&\scriptsize \text{einsetzen} \\[5pt] A_{\text{G}_\text{KS}}=&\pi \cdot (2\text{cm})^2\\[5pt] A_{\text{G}_\text{KS}}=&12,57\text{cm}^2 \end{array} $
$ A_{\text{G}_\text{KS}}= \pi \cdot r^2$
Rechne nun die Ergebnisse zusammen und du erhälst die gesamte Oberfläche.
$ \begin{array}{rll} A_\text{O}=&A_{\text{M}_\text{HK}}+A_{\text{M}_\text{Z}}+A_{\text{M}_\text{KS}}+A_{\text{G}_\text{KS}}&\scriptsize \text{Ergebnisse einsetzen}\\ A_\text{O}=&6,28\text{cm}^2+12,57\text{cm}^2+21,07\text{cm}^2+12,57\text{cm}^2\\ A_\text{O}=&52,49\text{cm}^2 \end{array} $
$ A_\text{O}\\=A_{\text{M}_\text{HK}}+A_{\text{M}_\text{Z}}+A_{\text{M}_\text{KS}}+A_{\text{G}_\text{KS}}$
Die Figur besitzt eine Oberfläche von $52,49\text{cm}^2$.
b)
Volumen
Um die Teilaufgabe b zu lösen, gehe ähnlich wie in Teilaufgabe a vor.
Berechne zunächst das Volumen der Halbkugel. Indem du die Formel für das Volumen einer Kugel zusätzlich mit $\frac{1}{2}$ multiplizierst.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{HK}}=&\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\cdot \frac{1}{2}\\[5pt] V_{\text{HK}}=&\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot r^3&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{HK}}=&\frac{2}{3} \cdot \pi \cdot (1\text{cm})^3\\[5pt] V_{\text{HK}}=&2,09\text{cm}^3 \end{array} $
$V_{\text{HK}}=\frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3\cdot \frac{1}{2}$
Bestimme nun mittels Formel das Volumen des Zylinders.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{Z}}=&A_{\text{G}_\text{Z}}\cdot h\\[5pt] V_{\text{Z}}=&\pi \cdot r^2\cdot h&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{Z}}=&\pi \cdot (1\text{cm})^2\cdot 2\text{cm}\\[5pt] V_{\text{Z}}=&6,28\text{cm}^3 \end{array} $
$V_{\text{Z}}= A_{\text{G}_\text{Z}}\cdot h$
Auch das Kegelstumpfvolumen wird mithilfe einer Formel berechnet.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{KS}}=&\dfrac{h\cdot \pi}{3}\cdot (R^2+ R \cdot r+r^2)&\scriptsize \text{Werte einsetzen}\\[5pt] V_{\text{KS}}=&\dfrac{(2\text{cm}\cdot \pi}{3}\cdot ((2\text{cm})^2+ 2\text{cm} \cdot 1\text{cm}+(1\text{cm})^2)\\[5pt] V_{\text{KS}}=&14,66 \end{array} $
$ V_{\text{KS}}=\dfrac{h\cdot \pi}{3}\cdot (R^2+ R \cdot r+r^2) $
Zum Schluss addiere die Ergebnisse.
$ \begin{array}{rll} V_{\text{gesamt}}=&V_{\text{HK}}+V_{\text{Z}}+V_{\text{KS}}&\scriptsize \text{Ergebnisse einsetzen}\\[5pt] V_{\text{gesamt}}=&2,09\text{cm}^3+6,28\text{cm}^3+14,66\text{cm}^3\\[5pt] V_{\text{gesamt}}=&23,03\text{cm}^3 \end{array} $
$ V_{\text{gesamt}}=V_{\text{HK}}+V_{\text{Z}}+V_{\text{KS}}$
Das Volumen beträgt $23,03\text{cm}^3$.
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