Inhalt
Smarter Learning!
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Realschule
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 10
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Realschulabschluss
VERA 8
Realschulabsc...
Prüfung
wechseln
Realschulabschluss
VERA 8
Smarter Learning!
Schneller lernen mit deinem SchulLV-Zugang
  • Zugang zu über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen von 2004-2019
  • Alle Bundesländer und Schularten, empfohlen von über 2.300 Schulen in Deutschland
  • Digitales Schulbuch: Über 1.700 Themen mit Aufgaben und Lösungen
  • Monatlich kündbar, lerne solange du möchtest
Jetzt Zugang freischalten!
Inhaltsverzeichnis
Lernbereich Digitales Schulbuch
Trigonometrie
Rechtwinkliges Dreiec...
Einführung
Satz des Pythagoras
Kathetensatz
Höhensatz
Satz des Thales
Sinus, Kosinus und Ta...
Flächeninhalt und Umf...
Vermischte Aufgaben
Allgemeines Vieleck
Berechnungen in Körpe...
Streckenzug
Raumdiagonale
Funktionswerte spezie...
Formvariable
Stereometrie
Prismen
Einführung
Würfel
Quader
Vermischte Aufgaben
Zylinder
Kugel
Pyramide
Kegel
Zusammengesetzte Körp...
Daten
Statistische Erhebung...
Absolute und relative...
Listen und Häufigkeit...
Arithmetisches Mittel...
Median und Quartile
Spannweite und mittle...
Diagramme
Vermischte Aufgaben
Diagramme erstellen u...
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Algebra
Schnittwinkel im Koor...
Quadratische Funktion...
Wiederholung lineare ...
Einführung
Funktionsgraphen zeic...
Funktionsgleichungen ...
Schnittpunkte
Parallele und orthogo...
Vermischte Aufgaben
Allgemeine Parabelfor...
Achsenschnittpunkte
Punktberechnung und P...
Schnittstellen zweier...
Herleitung von Funkti...
Modellierungsaufgaben
Wachstum
Lineares Wachstum
Quadratisches Wachstu...
Exponentielles Wachst...
Exponentieller Zerfal...
Sachrechnen
Erhöhter und verminde...
Zinsrechnung
Zinsrechnen
Vermischte Aufgaben
Zuwachssparen und Rat...
Orthogonale Affinität
Daten und Zufall
Diagramme
Säulendiagramm
Balkendiagramm
Liniendiagramm
Kreisdiagramm
Streifendiagramm
Boxplot
Vermischte Aufgaben
Kombinatorik
Wahrscheinlichkeitsre...
Einstufige Zufallsexp...
Ergebnis und Ereignis
Gesetz der großen Zah...
Zufallsvariable und E...
Mehrstufige Zufallsex...
Zinseszins

Zylinder

Spickzettel
Download als Dokument:PDF

Erklärung

Ein Zylinder ist ein Prisma mit einem Kreis als Grundfläche.
Stereometrie: Zylinder
Stereometrie: Zylinder
Grundfläche: $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_G&=&\pi\cdot r^2 \end{array}$
Mantelfläche: $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_M&=&u\cdot h&=&2\cdot\pi\cdot r\cdot h \end{array}$
Volumen: $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} V&=&A_G\cdot h&=&\pi\cdot r^2\cdot h \end{array}$
Oberfläche: $\begin{array}[t]{@{\extracolsep{4pt}}lll} A_O&=&2\cdot A_G + A_M \\ &=& 2\cdot\pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r\cdot h \end{array}$
Grundfläche:
Mantelfläche:
Volumen:
Oberfläche:

Beispiel

Ein Zylinder hat den Radius $r=5 \text{ cm}$ und die Höhe $h=3\text{ cm}$.
Volumen: $V$$=A_G\cdot h$$=\pi\cdot r^2\cdot h$$=\pi\cdot 25\text{ cm}^2\cdot 3\text{ cm}\approx235,62\text{ cm}^3$
Oberfläche:
$A_O$ = $2\cdot A_G+ A_M=2\cdot \pi\cdot r^2+2\cdot\pi\cdot r\cdot h$
= $2\cdot\pi\cdot 25\text{ cm}^2+2\cdot\pi\cdot5 \text{ cm}\cdot3\text{ cm}\approx251,33\text{ cm}^2$
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Aufgaben
Download als Dokument:PDF
1.
Malte hat drei Zylinder gezeichnet. Er ist sich nicht sicher, ob er die Zylinder korrekt gezeichnet und beschriftet hat. Helfe ihm dabei die Fehler zu finden. Für die Beschriftung gilt $r=$ Radius und $h=$ Höhe.
b)
Stereometrie: Zylinder
Stereometrie: Zylinder
c)
Stereometrie: Zylinder
Stereometrie: Zylinder
2.
Berechne das Volumen eines Zylinders mit dem Radius $r=2\text{ cm}$ und der Höhe $h=4\text{ cm}$.
3.
Ein Folienstift hat eine Höhe von 13,5 cm und einen Umfang von 4,4 cm.
Wie groß ist die Oberfläche dieses Stifts?
4.
Ein Zylinder hat das Volumen 785,40 cm$^3$ und ist 10 cm hoch.
Welche Grund- und Oberfläche hat dieser Körper?
5.
Stereometrie: Zylinder
Stereometrie: Zylinder
6.
Stereometrie: Zylinder
Stereometrie: Zylinder
7.
Stereometrie: Zylinder
Stereometrie: Zylinder
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Lösungen
Download als Dokument:PDF
1.
Fehler finden
Malte hat nur einen Fehler gemacht. Er hat lediglich bei der Zeichnung b) den Radius $r$ und die Höhe $h$ vertauscht. Sowohl die Zeichnung a) als auch c) sind fehlerfrei.
2.
Volumen bestimmen
Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Berechnung des Volumens ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&\pi \cdot r^2 \cdot h&\scriptsize\text{einsetzen} \\ V&=&\pi \cdot \left(2\,\text{cm}\right)^2 \cdot 4\,\text{cm}\\ V&=&\pi \cdot 4\,\text{cm}^2 \cdot 4\,\text{cm}\\ V&=&50,27\,\text{cm}^3 \end{array}$
Das Volumen des Zylinders beträgt $50,27\,\text{cm}^3$.
3.
Oberfläche des Stifts bestimmen
Berechne zuerst die Grundfläche des Stifts. Bestimme dann die Mantelfläche und zum Schluss kannst du dann diese Flächen zur Oberfläche zusammen addieren.
1. Schritt: Grundfläche berechnen
Bestimme zuerst den Radius des Kreises und berechne danach dessen Fläche.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} u&=&2\cdot \pi \cdot r&\scriptsize \mid\;:2\pi\\ r&=&\dfrac{u}{2\cdot\pi}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ r&=&\dfrac{4,4\,\text{cm}}{2\cdot\pi}\\ r&=&0,7\,\text{cm} \end{array}$
Nun berechnest du die Fläche des Kreis.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{G}&=&\pi \cdot r^2&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{G}&=&\pi \cdot \left(0,7\,\text{cm}\right)^2\\ A_\text{G}&=&\pi \cdot 0,49\,\text{cm}^2\\ A_\text{G}&=&1,54\,\text{cm}^2 \end{array}$
2. Schritt: Mantelfläche berechnen
Setze die gegebenen Werte in die Formel zur Berechnung der Mantelfläche ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{M}&=&u\cdot h&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{M}&=&4,4\,\text{cm}\cdot 13,5\,\text{cm}\\ A_\text{M}&=&59,4\,\text{cm}^2 \end{array}$
3. Schritt: Oberfläche berechnen
Setze nun die berechneten Werte in die Formel zur Berechnung der Oberfläche ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&2\cdot A_\text{G}+A_\text{M}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{O}&2\cdot 1,54\,\text{cm}^2 + 59,4\,\text{cm}^2\\ A_\text{O}&62,48\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&62,48\,\text{cm}^2 \end{array}$
Die Oberfläche des Stifts beträgt $62,48\,\text{cm}^2$.
4.
$\blacktriangleright\;$ Die Grundfläche des Zylinders bestimmen
Stelle die allgemeine Volumenformel nach der Grundfläche um und berechne diese.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&A_\text{G}\cdot h&\scriptsize \mid\;:h\\ A_\text{G}&=&\dfrac{V}{h}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{G}&=&\dfrac{785,4\,\text{cm}^3}{10\,\text{cm}}\\ A_\text{G}&=&78,54\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Zylinder hat eine Grundfläche von $78,54\,\text{cm}^2$.
$\blacktriangleright\;$ Oberfläche bestimmen
Berechne zuerst den Radius der Grundfläche. Dann kannst du die Mantelfläche und anschließend die Oberfläche bestimmen.
1. Schritt: Radius berechnen
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{G}&=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \mid\;:r\\ r^2&=&\dfrac{A_\text{G}}{\pi}&\scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\ r&=&\sqrt{\dfrac{A_\text{G}}{\pi}}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ r&=&\sqrt{\dfrac{78,54\,\text{cm}^2}{\pi}}\\ r&=&\sqrt{25\,\text{cm}^2}=5\,\text{cm} \end{array}$
2. Schritt: Mantelfläche bestimmen
$\begin{array}[t]{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{M}&=&2\cdot\pi\cdot r\cdot h&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{M}&=&2\cdot\pi\cdot 5\,\text{cm}\cdot 10\,\text{cm}\\ A_\text{M}&=&314,16\,\text{cm}^2 \end{array}$
3. Schritt: Oberfläche berechnen
$\begin{array}[t]{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&2\cdot A_\text{G}+A_\text{M}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{O}&=&2\cdot 78,54\,\text{cm}^2 + 314,16\,\text{cm}^2\\ A_\text{O}&=&471,24\,\text{cm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&471,24\,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Körper hat eine Oberfläche von $471,24\,\text{cm}^2$.
5.
Durchmesser des Glases bestimmen
Behandle in dieser Aufgabe das Wasser in dem Glas wie einen Zylinder. Der Wasser-Zylinder hat denselben Durchmesser wie das Glas.
Die Höhe des Wasser-Zylinders beträgt $\frac{2}{3}\cdot 10\,\text{cm}=6,67\,\text{cm}$. Da das Volumen des Wassers gegeben ist, kannst du mit Hilfe der Volumenformel die Grundfläche des Zylinders bestimmen. Berechne danach mit Hilfe der Kreisformel den Durchmesser des Glases.
1. Schritt: Grundfläche berechnen
Stelle zuerst die allgemeine Volumenformel nach der Grundfläche um und berechne diese.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&A_\text{G}\cdot h&\scriptsize \mid\;:h\\ A_\text{G}&=&\dfrac{V}{h}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ A_\text{G}&=&\dfrac{189\,\text{cm}^3}{6,67\,\text{cm}}\\ A_\text{G}&=&28,336\,\text{cm}^2 \end{array}$
2. Schritt: Durchmesser bestimmen
Stelle die Kreisformel nach dem Radius um und bestimme diesen.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{G}&=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \mid\;:\pi\\ r^2&=&\dfrac{A_\text{G}}{\pi}&\scriptsize \mid\;\sqrt{\;}\\ r&=&\sqrt{\dfrac{A_\text{G}}{\pi}}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ r&=&\sqrt{\dfrac{28,336\,\text{cm}^2}{\pi}}\\ r&=&\sqrt{9\,\text{cm}}=3\,\text{cm} \end{array}$
Der Durchmesser des Glases beträgt $2\cdot3\,\text{cm}=6\,\text{cm}$.
6.
a)
Volumen bestimmen
Stelle die Formel zur Berechnung der Oberfläche nach der Höhe um und berechne diese. Danach kannst du das Volumen des Eimers bestimmen.
1. Schritt: Höhe berechnen
Stelle die Formel nach der Höhe um. Beachte, dass der Abfalleimer keine Deckfläche hat!
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} A_\text{O}&=&\pi \cdot r^2 + 2\cdot \pi \cdot r \cdot h&\scriptsize \mid\;- \pi \cdot r^2\\ A_\text{O}-\pi \cdot r^2&=&2\cdot \pi \cdot r \cdot h&\scriptsize \mid\;: 2\cdot \pi \cdot r\\ h&=&\dfrac{A_\text{O}-\pi \cdot r^2}{2\cdot \pi \cdot r}&\scriptsize\text{einsetzen}\\ h&=&\dfrac{4.476,66\,\text{cm}^2-\pi \cdot \left(15\,\text{cm}\right)^2}{2\cdot \pi \cdot 15\,\text{cm}}\\ h&=&\dfrac{4.476,66\,\text{cm}^2-\pi \cdot 225\,\text{cm}^2}{2\cdot \pi \cdot 15\,\text{cm}}\\ h&=&\dfrac{4.476,66\,\text{cm}^2-706,85\,\text{cm}^2}{2\cdot \pi \cdot 15\,\text{cm}}\\ h&=&\dfrac{4.476,66\,\text{cm}^2-706,85\,\text{cm}^2}{94,25\,\text{cm}}\\ h&=&\dfrac{3769,81\,\text{cm}^2}{94,25\,\text{cm}}=40\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} h&=&=40\,\text{cm} \end{array}$
Der Abfalleimer ist $40\,\text{cm}$ hoch.
2. Schritt: Volumen berechnen
Setze nun die Werte in die Volumenformel ein.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot r^2 \cdot h&\scriptsize\text{einsetzen}\\ V&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot \left(15\,\text{cm}\right)^2 \cdot 40\,\text{cm}\\ V&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 225\,\text{cm}^2 \cdot 40\,\text{cm}\\ V&=&\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 9.000\,\text{cm}^3\\ V&=&\pi \cdot 3.000\,\text{cm}^3=9.424,78\,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} V&=&=9.424,78\,\text{cm}^3 \end{array}$
Der Abfalleimer hat ein Volumen von $9.424,78\,\text{cm}^3$.
b)
Verkaufspreis des Eimers berechnen
Der Abfalleimer hat eine Oberfläche von $4.476,77\,\text{cm}^2$. Somit werden $4.476,77\,\text{cm}^2$ Blech für die Herstellung benötigt.
Da $1\,\text{m}^2\quad 1.000\,\text{cm}^2$ entspricht, entsprechen $4.476,77\,\text{cm}^2\quad 4,477\,\text{m}^2$.
Somit kostet das Blech für den Eimer $4,477\,\text{m}^2\cdot 10\frac{\,\text{€}}{\,\text{m}^2}=44,77\,\text{€}$.
Bestimme nun mit Hilfe des Dreisatzes den Verkaufspreis.
$\begin{array}{@{\hspace{-.2pt}}r@{ = }l@{\hspace{1cm}}l} 100\;\% &\mathrel{\widehat{=}}& 44,77\;€ &\mid\; :100\\ 1\;\% &\mathrel{\widehat{=}}& 0,4477\;€ &\mid\; \cdot 50\\ 50\;\% &\mathrel{\widehat{=}}& 22,385\;€\\ \end{array}$
Der Verkaufspreis des Abfalleimers liegt bei $44,77\,\text{€}+22,385\,\text{€}=67,16\,\text{€}$.
7.
a)
Volumen bestimmen
Setze die gegebenen Werte in die Formel für die Berechnung des Volumens ein.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} V=&\pi\cdot r^2\cdot h &\scriptsize \text{einsetzen} \\ V=&\pi\cdot (2,5\,\text{m})^2\cdot 5\,\text{m}&\scriptsize\\ V=&31,25\,\text{m}^3\cdot\pi &\scriptsize\\ V\approx&98,17\,\text{m}^3&\scriptsize \end{array}$
Das Silo fasst ca. $98,17\,\text{m}^3$ Futter.
b)
Zu streichende Fläche bestimmen
Berechne zuerst die Deckfläche des Silos und anschließend die Mantelfläche. Zum Schluss kannst du dann diese Flächen addieren und erhältst die zu streichende Fläche.
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{\text{Deckfläche}}=&\pi\cdot r^2&\scriptsize \text{einsetzen} \\ A_{\text{Deckfläche}}=&\pi\cdot (2,5\,\text{m})^2&\scriptsize\\ A_{\text{Deckfläche}}=&\pi\cdot6,25\,\text{m}^2&\scriptsize\\ A_{\text{Deckfläche}}\approx&19,63\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{\text{Mantelfläche}}=&2\cdot\pi\cdot r\cdot h&\scriptsize \text{einsetzen} \\ A_{\text{Mantelfläche}}=&2\cdot\pi\cdot 2,5\,\text{m}\cdot 5\,\text{m}&\scriptsize\\ A_{\text{Mantelfläche}}=&25\,\text{m}^2\cdot\pi&\scriptsize\\ A_{\text{Mantelfläche}}\approx&78,54\,\text{m}^2&\scriptsize \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{\text{Deckfläche}}=&… \end{array}$
$\begin{array}{rl@{\hspace{1cm}}l} A_{\text{Mantelfläche}}=&… \end{array}$
Die zu streichende Fläche beträgt $A_{\text{Deckfläche}}+A_{\text{Mantelfläche}}$
$=19,63\,\text{m}^2+78,54\,\text{m}^2=98,17\,\text{m}^2$.
Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
Jetzt freischalten
Infos zu SchulLV PLUS
Ich habe bereits einen Zugang
Zugangscode einlösen
Login
Folge uns auf
SchulLV als App