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Zylinder und Kugel

Spickzettel
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Geometrie im Raum: Zylinder und Kugel
Abb. 1: Kugel und Zylinder
Geometrie im Raum: Zylinder und Kugel
Abb. 1: Kugel und Zylinder
#zylinder#flächeninhalt#kugel#volumen
Bildnachweise [nach oben]
[1]
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Einführungsaufgabe

Geometrie im Raum: Zylinder und Kugel
Abb. 1: Getränkedose
Geometrie im Raum: Zylinder und Kugel
Abb. 1: Getränkedose

Aufgabe 1

Tim und seine Band möchten in der Stadt Werbung für ihr Konzert machen. Tim sieht eine Litfaßsäule, welche einen Durchmesser von $1,5\,\text{m}$ hat und $2,5\,\text{m}$ hoch ist. Diese möchte er vollständig mit den Plakaten seiner Band bekleben. Ein Plakat hat eine Größe von $0,58\,\text{m}^2$. Wie viele Plakate kann Tim rein theoretisch auf die Litfaßsäule kleben?

Aufgabe 2

Geometrie im Raum: Zylinder und Kugel
Abb. 2: Zylinder
Geometrie im Raum: Zylinder und Kugel
Abb. 2: Zylinder
a)b)c)d)
r$3\,\text{cm}$$6\,\text{m}$$2,5\,\text{m}$
h$10\,\text{cm}$
u
AG$615,75\,\text{mm}^2$
AM$439,82\,\text{mm}^2$
O$227,77\,\text{m}^2$
V$904,78\,\text{m}^3$

Aufgabe 3

Der Fussball der Weltmeisterschaft 2014, bei der Deutschland den Titel gewann, hat einen Radius von $r=11\,\text{cm}$. Berechne das Volumen und die Oberfläche des Balles.

Aufgabe 4

Tankstellen lagern Erdgas meistens in kugelförmigen Tanks. Solch ein Tank habe einen Durchmesser von $20\,\text{m}$.
a)
Berechne das Volumen und die Oberfläche des Tanks.
b)
Wie verändern sich Volumen und Oberfläche, wenn der Radius verdoppelt wird?

Aufgabe 5

Berechne den Radius der Kugel.
d)
$V=268\,\text{cm}^3$
e)
$V=7.238\,\text{l}$
f)
$O=9.161\,\text{dm}^2$

Aufgabe 6

Die Lunge eines Menschen besteht zum Großteil aus kleinen Bläschen, sogenannten Lungenbläschen. Solch ein Lungenbläschen hat einen Durchmesser von $0,2\,\text{mm}$. Man geht davon aus, dass die Lunge eines erwachsenen Menschen aus etwa $300$ Millionen Lungenbläschen besteht.
a)
Was viel Liter fassen diese Lungenbläschen insgesamt?
b)
Wie groß ist die Gesamtoberfläche aller Lungenbläschen in Quadratmeter?
Bildnachweise [nach oben]
[1]
https://goo.gl/Fll6DX – P1010213, Kade Liang, CC BY-ND 2.0.
[2]
© 2016 – SchulLV.
[3]
https://goo.gl/zuRv73 – Brazuca, Gerard Reyes, CC BY-NC-ND 2.0.
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Volumen berechnen
Um das Volumen der Dose berechnen zu können, verwendest du die Volumenformel für Zylinder.
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
$V=\pi \cdot r^2 \cdot h$
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \pi \cdot r^2 \cdot h\\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(\dfrac{67\,\text{mm}}{2}\right)^2 \cdot 142\,\text{mm} \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(33,5\,\text{mm}\right)^2 \cdot 142\,\text{mm} \\[5pt] &=& \pi \cdot 1.122,25\,\text{mm}^2 \cdot 142\,\text{mm} \\[5pt] &\approx& 500.642 \,\text{mm}^3 \\[5pt] &=& 500,642 \,\text{ml} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V &=& \pi \cdot r^2 \cdot h\\[5pt] &=& … \end{array}$
Die Dose fässt $500,642 \,\text{ml}$.

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Mantelfläche berechnen
Damit du bestimmen kannst, wie viele Plakate Tim auf die Litfaßsäule kleben kann, musst du deren Mantelfläche berechnen. Anschließend dividierst du diese durch die Größe eines Plakates und erhältst somit die Anzahl der Plakate. Denke daran, dass Tim nur ganze Plakate aufkleben kann.
$\begin{array}[t]{rll} A_M&=& 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right) \cdot h\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{1,5\,\text{m}}{2}\right) \cdot 2,5\,\text{m}\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 0,75\,\text{m} \cdot 2,5\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 11,78\,\text{m}^2 \\[10pt] \dfrac{11,78\,\text{m}^2}{0,58\,\text{m}^2}&\approx& 20,31 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_M&=& 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\[5pt] &=& … \end{array}$
Tim kann theoretisch $20$ Plakate auf die Litfaßsäule kleben.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Zylinder berechnen
Mithilfe von $r$ und $h$ kannst du alle fehlenden Angaben berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} u&=& 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 3\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 18,85\,\text{cm} \\[10pt] A_G&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(3\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 28,27\,\text{cm}^2 \\[10pt] A_M&=& 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 3\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 188,5 \,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G+ A_M \\[5pt] &=& 2 \cdot 28,27\,\text{cm}^2 + 188,5\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 56,54\,\text{cm}^2+188,5\,\text{cm}^2 \\[5pt] &=& 245,04 \,\text{cm}^2 \\[10pt] V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(3\,\text{cm}\right)^2 \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& \pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 282,74\,\text{cm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} u&=& 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 3\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 18,85\,\text{cm} \\[10pt] A_G&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(3\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 28,27\,\text{cm}^2 \\[10pt] A_M&=& 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 3\,\text{cm} \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 188,5 \,\text{cm}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G+ A_M \\[5pt] &=& … \\[10pt] V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(3\,\text{cm}\right)^2 \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &=& \pi \cdot 9\,\text{cm}^2 \cdot 10\,\text{cm} \\[5pt] &\approx& 282,74\,\text{cm}^3 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Zylinder berechnen
Mit der Volumenformel kannst du $h$ bestimmen und anschließend alle fehlenden Werte berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :\pi\\[5pt] \dfrac{V}{\pi} &=& r^2 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :r^2\\[5pt] \dfrac{V}{\pi\cdot r^2}&=& h \\[10pt] h &=& \dfrac{V}{\pi\cdot r^2} \\[5pt] &=& \dfrac{904,78\,\text{m}^3}{\pi\cdot \left(6\,\text{m}\right)^2} \\[5pt] &=& \dfrac{904,78\,\text{m}^3}{\pi\cdot 36\,\text{m}^2} \\[5pt] &\approx& 8\,\text{m} \\[10pt] u&=& 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 6\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 37,7\,\text{m} \\[10pt] A_G&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(6\,\text{m}\right)^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot 36\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 113,1\,\text{m}^2 \\[10pt] A_M&=& 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 6\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 301,59 \,\text{m}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G+ A_M \\[5pt] &=& 2 \cdot 113,1\,\text{m}^2 + 301,59\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 226,2\,\text{m}^2+301,59\,\text{m}^2 \\[5pt] &=& 527,79 \,\text{m}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h\\[5pt] … &=& … \\[10pt] u&=& 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 6\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 37,7\,\text{m} \\[10pt] A_G&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(6\,\text{m}\right)^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot 36\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 113,1\,\text{m}^2 \\[10pt] A_M&=& 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 6\,\text{m} \cdot 8\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 301,59 \,\text{m}^2 \\[10pt] O&=& 2 \cdot A_G+ A_M \\[5pt] &=& … \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Zylinder berechnen
Die beiden Angaben helfen dir die Oberfläche ausrechnen zu können. Anschließend berechnest du mithilfe von $A_G$ den Radius, dann mit der Oberflächenformel $h$ und danach alle weiteren Angaben.
$O_{Zylinder}=2 \cdot \pi \cdot r \cdot \left(r+h\right)$
$O_{Zylinder}=2 \cdot \pi \cdot r \cdot \left(r+h\right)$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot A_G+ A_M \\[5pt] &=& 2 \cdot 615,75\,\text{mm}^2 + 439,82\,\text{mm}^2 \\[5pt] &=& 1.231,5\,\text{mm}^2+439,82\,\text{mm}^2 \\[5pt] &=& 1.671,32 \,\text{mm}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot A_G+ A_M \\[5pt] &=& … \end{array}$
Als nächstes berechnest du $r$ mit der Formel für die Grundfläche.
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=&\pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] \dfrac{A_G}{\pi}&=& r^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{A_G}{\pi}} &=& r \\[10pt] r &=& \sqrt{\dfrac{A_G}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{615,75\,\text{mm}^2}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt{196\,\text{mm}^2} \\[5pt] &=& 14\,\text{mm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} A_G&=&\pi \cdot r^2 \\[5pt] … &=& … \end{array}$
Nun kannst du mit der Oberflächenformel $h$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \left(r+h\right) &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] \dfrac{O}{2} &=& \pi \cdot r \cdot \left(r+h\right) &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] \dfrac{O}{2\cdot \pi} &=& r \cdot \left(r+h\right) &\quad \scriptsize \mid\; :r \\[5pt] \dfrac{O}{2\cdot \pi \cdot r} &=& r+h &\quad \scriptsize \mid\; -r \\[5pt] \dfrac{O}{2\cdot \pi \cdot r} -r &=& h \\[10pt] h&=& \dfrac{O}{2\cdot \pi \cdot r} -r \\[5pt] &=& \dfrac{1.671,32\,\text{mm}^2}{2 \cdot \pi \cdot 14\,\text{mm}} -14\,\text{mm} \\[5pt] &=& \dfrac{1.671,32\,\text{mm}^2}{87,96\,\text{mm}} -14\,\text{mm} \\[5pt] &=& 19\,\text{mm}-14\,\text{mm} \\[5pt] &=& 5\,\text{mm} \\[10pt] u&=& 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 14\,\text{mm} \\[5pt] &\approx& 87,96\,\text{mm} \\[10pt] V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(14\,\text{mm}\right)^2 \cdot 5\,\text{mm} \\[5pt] &=& \pi \cdot 196\,\text{mm}^2 \cdot 5\,\text{mm} \\[5pt] &\approx& 3.078,76\,\text{mm}^3 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 2 \cdot \pi \cdot r \cdot \left(r+h\right) \\[5pt] … &=& … \\[10pt] u&=& 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 14\,\text{mm} \\[5pt] &\approx& 87,96\,\text{mm} \\[10pt] V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& … \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Eigenschaften Zylinder berechnen
Die Angabe der Oberfläche kannst du verwenden um $h$ zu bestimmen. Danach berechnest du die fehlenden Werte wie zuvor.
$\begin{array}[t]{rll} h&=& \dfrac{O}{2\cdot \pi \cdot r} -r \\[5pt] &=& \dfrac{227,77\,\text{m}^2}{2 \cdot \pi \cdot 2,5\,\text{m}} -2,5\,\text{m} \\[5pt] &=& \dfrac{227,77\,\text{m}^2}{15,71\,\text{m}} -2,5\,\text{m} \\[5pt] &=& 14,5\,\text{m}-2,5\,\text{m} \\[5pt] &=& 12\,\text{m} \\[10pt] u&=& 2 \cdot \pi \cdot r \\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 2,5\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 15,71\,\text{m} \\[10pt] A_G&=& \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(2,5\,\text{m}\right)^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot 6,25\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 19,63\,\text{m}^2 \\[10pt] A_M&=& 2 \cdot \pi \cdot r \cdot h\\[5pt] &=& 2 \cdot \pi \cdot 2,5\,\text{m} \cdot 12\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 188,5 \,\text{m}^2 \\[10pt] V&=& \pi \cdot r^2 \cdot h \\[5pt] &=& \pi \cdot \left(2,5\,\text{m}\right)^2 \cdot 12\,\text{m} \\[5pt] &=& \pi \cdot 6,25\,\text{m}^2 \cdot 12\,\text{m} \\[5pt] &\approx& 235,62\,\text{m}^3 \end{array}$

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Volumen und Oberfläche berechnen
Du kannst das Volumen und die Oberfläche des Balles mit den entsprechenden Formeln für Kugeln berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kugel}&=&\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] O_{Kugel}&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot d^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{Kugel}&=&\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] O_{Kugel}&=& 4\cdot \pi \dot r^2 \\[5pt] &=& \pi \cdot d^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(11\,\text{cm}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 1.331\,\text{cm}^3 \\[5pt] &\approx& 5.575,28\,\text{cm}^3 \\[10pt] O&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot \left(11\,\text{cm}\right)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot 121\,\text{cm}^2 \\[5pt] &\approx& 1.520,53 \,\text{cm}^2 \end{array}$
Der Fussball hat ein Volumen von $5.575,28\,\text{cm}^3$ und eine Oberfläche von $1.520,53 \,\text{cm}^2$.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$ Volumen und Oberfläche berechnen
Das Volumen und die Oberfläche berechnest du wie in den vorherigen Aufgaben mit den enstprechenden Formeln.
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{20\,\text{m}}{2}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(10\,\text{m}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 1.000\,\text{m}^3 \\[5pt] &\approx& 4.188,79\,\text{m}^3 \\[10pt] O&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot \left(\dfrac{20\,\text{m}}{2}\right)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot \left(10\,\text{m}\right)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot 100\,\text{m}^2 \\[5pt] &\approx& 1.256,64 \,\text{m}^2 \end{array}$
Das Volumen beträgt $4.188,79\,\text{m}^3$ und die Oberfläche ist $1.256,64 \,\text{m}^2$ groß.
b)
$\blacktriangleright$ Veränderung Volumen und Oberfläche bestimmen
Damit du siehst, wie sich das Volumen und die Oberfläche verändern, setzt du in die entsprechende Formel für $r$ nun $2r$ ein und formst so lange um bis du die alte Formel wieder da stehen hast, nur mit einem anderen Faktor davor. Alt und neu stehen hierbei für den ursprünglichen und doppelten Radius.
$\begin{array}[t]{rll} V_{neu}&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(2r\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 2^3 \cdot r^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 8 \cdot r^3 \\[5pt] &=& 8 \cdot \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& 8 \cdot V_{alt} \\[10pt] O&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4\cdot \pi \cdot \left(2r\right)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot 4 \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot 4 \cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot O_{alt} \end{array}$
Wie du siehst, verachtfacht sich das Volumen, wenn der Radius verdoppelt wird. Dies liegt daran, da der Radius in der dritten Potenz in der Formel vorkommt. Die Oberfläche vervierfacht sich dagegen, da der Radius hier nur quadriert wird.

Aufgabe 5

Bei dieser Aufgabe sollst du mit der Angabe von Volumen oder Oberfläche den Radius berechnen. Dafür formst du die entsprechende Formel nach $r$ um und kannst diesen dann damit bestimmen.
a)
$\blacktriangleright$ Radius berechnen
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{4}{3} \\[5pt] \frac{3}{4}\cdot V&=& \pi \cdot r^3 &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] \dfrac{\frac{3}{4}\cdot V}{\pi}&=& r^3 &\quad \scriptsize \mid\; :\sqrt[3]{} \\[5pt] \sqrt[3]{\dfrac{\frac{3}{4}\cdot V}{\pi}}&=& r \\[10pt] r&=& \sqrt[3]{\dfrac{\frac{3}{4}\cdot V}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{\dfrac{\frac{3}{4}\cdot 905\,\text{m}^3}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{\dfrac{678,75\,\text{m}^3}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{216,05\,\text{m}^3} \\[5pt] &\approx& 6 \,\text{m} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] … &=& … \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Radius berechnen
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] \dfrac{O}{4}&=& \pi \cdot r^2 &\quad \scriptsize \mid\; :\pi \\[5pt] \dfrac{O}{4\cdot \pi}&=& r^2 &\quad \scriptsize \mid\; :\sqrt{} \\[5pt] \sqrt{\dfrac{O}{4\cdot \pi}} &=& r \\[10pt] r &=& \sqrt{\dfrac{O}{4\cdot \pi}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{5.542\,\text{mm}^2}{4\cdot \pi}} \\[5pt] &=& \sqrt{441,02\,\text{mm}^2} \\[5pt] &\approx& 21mm \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] … &=& … \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Radius berechnen
$\begin{array}[t]{rll} r &=& \sqrt{\dfrac{O}{4\cdot \pi}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{2.463\,\text{m}^2}{4\cdot \pi}} \\[5pt] &=& \sqrt{196\,\text{m}^2} \\[5pt] &=& 14\,\text{m} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Radius berechnen
$\begin{array}[t]{rll} r&=& \sqrt[3]{\dfrac{\frac{3}{4}\cdot V}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{\dfrac{\frac{3}{4}\cdot 268\,\text{cm}^3}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{\dfrac{201\,\text{cm}^3}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{63,98\,\text{cm}^3} \\[5pt] &\approx& 4 \,\text{cm} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$ Radius berechnen
Als erstes musst du die Liter in eine andere Maßeinheit umrechnen. Ein Liter entspricht einem Kubikdezimeter.
$\begin{array}[t]{rll} r&=& \sqrt[3]{\dfrac{\frac{3}{4}\cdot V}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{\dfrac{\frac{3}{4}\cdot 7.238\,\text{dm}^3}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{\dfrac{5.428,5\,\text{dm}^3}{\pi}} \\[5pt] &=& \sqrt[3]{1.727,95\,\text{dm}^3} \\[5pt] &\approx& 12 \,\text{dm} \\[5pt] &=& 1,2\,\text{m} \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$ Radius berechnen
$\begin{array}[t]{rll} r &=& \sqrt{\dfrac{O}{4\cdot \pi}} \\[5pt] &=& \sqrt{\dfrac{9.161\,\text{dm}^2}{4\cdot \pi}} \\[5pt] &=& \sqrt{729\,\text{dm}^2} \\[5pt] &=& 27\,\text{dm} \end{array}$

Aufgabe 6

a)
$\blacktriangleright$ Volumen aller Bläschen berechnen
Zunächst berechnest du mit der Volumenformel das Volumen eines Bläschens und multiplizierst dies anschließend mit der Anzahl der Bläschen.
$\begin{array}[t]{rll} V_{Bläschen}&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{d}{2}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(\dfrac{0,2\,\text{mm}}{2}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot \left(0,1\,\text{mm}\right)^3 \\[5pt] &=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot 0,001\,\text{mm} \\[5pt] &\approx& 0,0042 \,\text{mm}^3 \\[10pt] V_{ges}&=& 300.000.000 \cdot V_{Bläschen} \\[5pt] &=& 300.000.000 \cdot 0,0042 \,\text{mm}^3 \\[5pt] &=& 1.260.000 \,\text{mm}^3 \\[5pt] &=& 1,26 \,\text{l} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} V_{Bläschen}&=& \frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3 \\[5pt] &=& … \end{array}$
Das Fassungsvermögen aller Bläschen beträgt $1,26 \,\text{l}$.
b)
$\blacktriangleright$ Oberfläche aller Bläschen berechnen
Berechne zuerst die Oberfläche eines Lungenbläschens und multipliziere diese anschließend mit der Anzahl der Bläschen.
$\begin{array}[t]{rll} O_{Bläschen}&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot \left(0,1\,\text{mm}\right)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot 0,01\,\text{mm}^2 \\[5pt] &\approx& 0,126 \,\text{mm}^2 \\[10pt] O_{ges}&=& 300.000.000 \cdot O_{Bläschen} \\[5pt] &=& 300.000.000 \cdot 0,126 \,\text{mm}^2 \\[5pt] &=& 37.800.000 \,\text{mm}^2 \\[5pt] &=& 37,8 \,\text{m}^2 \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} O_{Bläschen}&=& 4\cdot \pi \cdot r^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot \left(0,1\,\text{mm}\right)^2 \\[5pt] &=& 4 \cdot \pi \cdot 0,01\,\text{mm}^2 \\[5pt] &\approx& 0,126 \,\text{mm}^2 \\[10pt] O_{ges}&=& … \end{array}$
Die Oberfläche aller Bläschen hat eine Größe von $37,8 \,\text{m}^2$.
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