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Berechnungen in Körpern

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Den Satz des Pythagoras kannst du nicht nur für Flächen verwenden, sondern auch für Strecken in Körpern. Dazu musst du den Satz des Pythagoras mehrfach verwenden. Zunächst betrachtest du eine Fläche und bildest davon die Diagonale. Mit dieser Diagonalen kannst du eine neue Fläche bilden und von der neuen Fläche wieder die Diagonale bilden.

Beispiel

Diagonale eines Quadrats:
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
Zunächst bestimmst du die Länge der Diagonalen $b$ der Grundfläche. Beim Quadrat sind alle Seiten gleich lang. Die Länge der Diagonale ist:
$\begin{array}[t]{rll} b&=&\sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2\cdot a^2}&=a\cdot\sqrt{2} \end{array}$
Die Länge der Raumdiagonalen ist:
$\begin{array}[t]{rll} c&=&\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3\cdot a^2}&=a\cdot\sqrt{3} \end{array}$
Bei anderen Körpern ist die Berechnung nur unwesentlich schwerer, bei einem Quader ist die Diagonale beispielsweise: $d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}$, wobei $a$, $b$ und $c$ die Seitenlängen sind.
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1.
Bestimme die Seitendiagonalen sowie die Raumdiagonale der Quader mit diesen Seitenlängen:
a)
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
b)
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
c)
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
2.
Bestimme jeweils die Länge der roten Strecke:
a)
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
b)
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
c) Hier ist ein Würfel mit Kantenlänge $a=3\,\text{cm}$, auf dem eine Pyramide mit Höhe $h=1\,\text{cm}$ aufgesetzt ist.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Berechnungen in Körpern
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1. Die Seitendiagonalen kannst du berechnen, indem du die Wurzel aus der Summe der Quadrate zweier Seiten bildest. Die Raumdiagonale ist die Wurzel aus der Summe aller Quadrate der Seitenlängen.
a) $\blacktriangleright$
$\begin{array}[t]{rll} d_1&=&\sqrt{(12\,\text{cm})^2+(7\,\text{cm})^2} &= \sqrt{193}\,\text{cm} &\approx 13,9\,\text{cm}\\[5pt] d_2&=&\sqrt{(12\,\text{cm})^2+(8\,\text{cm})^2} &= 4\sqrt{13}\,\text{cm} &\approx 14,4\,\text{cm}\\[5pt] d_3&=&\sqrt{(7\,\text{cm})^2+(8\,\text{cm})^2} &= \sqrt{113}\,\text{cm} &\approx 10,6\,\text{cm}\\[5pt] \\[5pt] d_R&=&\sqrt{(12\,\text{cm})^2+(7\,\text{cm})^2+(8\,\text{cm})^2} &= \sqrt{257} \,\text{cm}&\approx 16,0\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
b) $\blacktriangleright$
$\begin{array}[t]{rll} d_1&=&\sqrt{(10\,\text{cm})^2+(9\,\text{cm})^2} &=\sqrt{181}\,\text{cm} &\approx 13,5\,\text{cm}\\[5pt] d_2&=&\sqrt{(10\,\text{cm})^2+(6\,\text{cm})^2} &= 2\sqrt{34}\,\text{cm} &\approx 11,7\,\text{cm}\\[5pt] d_3&=&\sqrt{(9\,\text{cm})^2+(6\,\text{cm})^2} &= 3\sqrt{13}\,\text{cm} &\approx 10,8\,\text{cm}\\[5pt] \\[5pt] d_R&=&\sqrt{(10\,\text{cm})^2+(9\,\text{cm})^2+(6\,\text{cm})^2} &=\sqrt{217} \,\text{cm}&\approx 14,7\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
c) $\blacktriangleright$
$\begin{array}[t]{rll} d_1&=&\sqrt{(8\,\text{cm})^2+(7,5\,\text{cm})^2} &\approx 11,0\,\text{cm}\\[5pt] d_2&=&\sqrt{(8\,\text{cm})^2+(6,5\,\text{cm})^2} &\approx 10,3\,\text{cm}\\[5pt] d_3&=&\sqrt{(7,5\,\text{cm})^2+(6,5\,\text{cm})^2} &\approx 9,9\,\text{cm}\\[5pt] \\[5pt] d_R&=&\sqrt{(8\,\text{cm})^2+(7,5\,\text{cm})^2+(6,5\,\text{cm})^2} &\approx 12,7\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
2.
a) $\blacktriangleright$ Bestimme zunächst die Länge der Diagonale der Grundfläche. Mit der halben Diagonale und der gegebenen Höhe kannst du dann die Länge der gesuchten Strecke $\overline{BE}$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}&:&\sqrt{(2\,\text{cm})^2+(2\,\text{cm})^2} &=2\cdot \sqrt{2}\,\text{cm}\\[5pt] \overline{BE}&:&\sqrt{\left(\dfrac{|\overline{BD}|}{2}\right)^2+h^2} \\[5pt] &:&\sqrt{\left(\sqrt{2}\,\text{cm}\right)^2+(3\,\text{cm})^2} &\approx 3,3 \,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der gesuchten Seite $\overline{BE}$ beträgt etwa $3,3\,\text{cm}$.
b) $\blacktriangleright$ Gehe gleich wie im Aufgabenteil a) vor:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{BD}&:&\sqrt{(3\,\text{cm})^2+(5\,\text{cm})^2} &=\sqrt{34}\,\text{cm}\\[5pt] \overline{BE}&:&\sqrt{\left(\dfrac{|\overline{BD}|}{2}\right)^2+h^2} \\[5pt] &:&\sqrt{\left(\dfrac{\sqrt{34}\,\text{cm}}{2}\right)^2+(6\,\text{cm})^2} &\approx 6,7 \,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der geuschten Seite $\overline{BD}$ beträgt etwa $6,7\,\text{cm}$.
c) $\blacktriangleright$ Bestimme auch hier zunächst die Länge der Diagonale $\overline{AB}$ der Grundfläche. Mit der halben Länge und der Gesamthöhe des Körpers kannst du die Länge der gesuchten Strecke $|\overline{AS}|$ bestimmen:
$\begin{array}[t]{rll} \overline{AB}&:&\sqrt{(3\,\text{cm})^2+(3\,\text{cm})^2} &=3\cdot\sqrt{2}\,\text{cm}\\[5pt] \overline{AS}&=&\sqrt{\left(\dfrac{3\cdot\sqrt{2}\,\text{cm}}{2}\right)^2+(3\,\text{cm}+1\,\text{cm})^2} &\approx 4,5\,\text{cm}\\[5pt] \end{array}$
Die Länge der gesuchten Strecke $\overline{AS}$ ist etwa $4,5\,\text{cm}$.
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