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Formvariable

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Manchmal gibt man für die Längen von Seiten eines Dreiecks, anstatt Zahlen, Variablen an. Solche Variablen bezeichnet man als Formvariablen. Diese Formvariablen behandelst du, als wären es ganz normale Zahlen, da sie im Grunde genommen einfach nur Platzhalter für Zahlen sind.
Formvariablen beeinflussen also nur die Größe und nicht die Form einer Figur.

Beispiel

Berechne die Länge der Hypotenuse in Abhängigkeit der Formvariable $e$.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=&(5e)^2+(3e)^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] c&=& \sqrt{(5e)^2+(3e)^2}\\[5pt] c&=& \sqrt{25e^2+9e^2}\\[5pt] c&=& \sqrt{34e^2}\\[5pt] c&=& \sqrt{34}e \end{array}$
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1.  Drücke die gesuchten Seitenlänge durch $\boldsymbol{e}$ aus.
a) 
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
b) 
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
c) 
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
2.  Rechteck
a)  Berechne die Länge der Diagonale in Abhängigkeit von $e$.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
Ähnlichkeit und Pythagoras: Formvariable
b)  Die Diagonale des Rechtecks ist $25\,\text{cm}$ lang. Berechne die Seitenlängen des Rechtecks.
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1.  Drücke die gesuchten Seitenlänge durch $\boldsymbol{e}$ aus.
a)  Stelle den Satz des Pythagoras auf und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} (5e)^2&=& c^2+(3e)^2&\quad \scriptsize \mid\; -(3e)^2\\[5pt] (5e)^2-(3e)^2&=& c^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] c&=&\sqrt{(5e)^2-(3e)^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{25e^2-9e^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{16e^2}\\[5pt] c&=& 4e \end{array}$
b)  Stelle den Satz des Pythagoras auf und löse nach $c$ auf.
$\begin{array}[t]{rll} c^2&=& (6e)^2+(9e)^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] c&=&\sqrt{(6e)^2+(9e)^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{36e^2+81e^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{117e^2}\\[5pt] c&=& \sqrt{117}e \end{array}$
c)  Stelle den Satz des Pythagoras auf und löse nach $c$ auf
$\begin{array}[t]{rll} (10e)^2&=& c^2+(8e)^2&\quad \scriptsize \mid\; -(8e)^2\\[5pt] (10e)^2-(8e)^2&=& c^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] c&=&\sqrt{(10e)^2-(8e)^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{100e^2-64e^2}\\[5pt] c&=&\sqrt{36e^2}\\[5pt] c&=& 6e \end{array}$
2.  Rechteck
a)  $\blacktriangleright$   Länge der Diagonalen berechnen
Hier hast du ein Rechteck gegeben. Die Diagonale $d$ teilt dieses in zwei gleich große rechtwinklige Dreiecke. Mit dem Satz des Pythagoras kannst du die Länge der Diagonalen in Abhängigkeit von $e$ berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} d^2&=& (4e)^2+(3e)^2&\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] d&=&\sqrt{(4e)^2+(3e)^2}\\[5pt] d&=&\sqrt{16e^2+9e^2}\\[5pt] d&=&\sqrt{25e^2}\\[5pt] d&=& 5e\\[5pt] \end{array}$
Die Diagonale des Rechtecks hat eine Länge von $5e$.
b)  $\blacktriangleright$   Seitenlängen des Rechtecks berechnen
Aus Teilaufgabe a) weißt du, dass gilt: $d=5e$
Die Diagonale soll nun $25\,\text{cm}$ lang sein. Mit diesen Informationen berechnest du zunächst $e$. Anschließend kannst du die Seitenlängen des Rechtecks berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} d&=& 5e &\quad \scriptsize \mid\; :5\\[5pt] e&=& \dfrac{d}{5}\\[5pt] e&=& \dfrac{25\,\text{cm}}{5}\\[5pt] e&=& 5\,\text{cm} \end{array}$
Nun kannst du die Seitenlängen $a$ und $b$ berechnen:
$\begin{array}[t]{rll} a&=& 4e\\[5pt] a&=& 4\cdot5\,\text{cm}\\[5pt] a&=& 20\,\text{cm} \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} b&=& 3e\\[5pt] b&=& 3\cdot5\,\text{cm}\\[5pt] b&=& 15\,\text{cm} \end{array}$
Die Seitenlängen des Rechtecks betragen $20\,\text{cm}$ und $15\,\text{cm}$.
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