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Rechnungen rechtwinkliges Dreieck

Aufgaben
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1.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
2.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
3.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
4.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
5.
Von einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse $c=7$ cm und die Kathete $b=5$ cm lang.
a)
Wie lang ist die Kathete $a$?
b)
Berechne den Umfang und den Flächeninhalt des Dreiecks.
6.
Ein 10 m hoher Baum steht in 10 m Entfernung zum Haus. Am Haus steht ein Balkon in 3 m Höhe 2 m weit ab.
Überprüfe rechnerisch, ob der Baum in 2 m Höhe abgesägt werden kann, ohne das der Balkon beschädigt wird.
7.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
8.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
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1.
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Der Strohhalm ist bis zum Knick ca. $11,18\,\text{cm}$ lang.
2.
Höhe des Laderaums berechnen
Um diese Aufgabe zu lösen, berechnest du die Strecke $\overline{BC}$ mit dem Satz des Pythagoras. Die Strecke $\overline{CD}$ entspricht der Höhe $h$ des Laderaums. Diese kannst du anschließend ebenfalls mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{BC}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{BC}^2&=&\overline{AC}^2+\overline{AB}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{BC}^2&=&(5\,\text{m})^2+(2\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{BC}^2&=&29\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{BC}& ≈ &5,39\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{BC}$ hat eine Länge von ca. $5,39\,\text{m}$.
2. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{CD}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} (5,7\,\text{m})^2&=&(5,39\,\text{m})^2+\overline{CD}^2&\scriptsize\mid\;-(5,39\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{CD}^2&=&(5,7\,\text{m})^2-(5,39\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{CD}^2&=&32,49\,\text{m}^2-29,05\,\text{m}^2\\[2pt] \overline{CD}^2&=&3,44\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{CD}& ≈ &1,85\,\text{m} \end{array}$
$ (5,7\,\text{m})^2=(5,39\,\text{m})^2+\overline{CD}^2 $
Der Laderaum muss eine Höhe von ca. $1,85\,\text{m}$ haben, damit der Balken hinein passt.
3.
Länge der Seitenkante $\boldsymbol{\overline{AN}}$ berechnen
Bevor du die Länge der Seite $\overline{AN}$ berechnen kannst, benötigst du die Länge der Seite $\overline{AM}$.
$\overline{AM}$ entspricht genau der Hälfte der Länge der Seite $\overline{AC}$.
Berechne also zunächst die Länge der Seite $\overline{AC}$. Hierbei hilft dir der Satz des Pythagoras.
1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AC}^2&=&\overline{AB}^2+\overline{BC}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{AC}^2&=&(1\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{AC}^2&=&2\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{AC}& ≈ &1,41\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist ca. $1,41\,\text{m}$ lang.
2. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AM}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AM}&=&\frac{1,41\,\text{m}}{2}\\[2pt] \overline{AM}& ≈ &0,71\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{AM}$ ist ca. $0,71\,\text{m}$ lang.
3. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AN}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AN}^2&=&\overline{AM}^2+\overline{MN}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{AN}^2&=&(0,71\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{AN}^2&=&1,50\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{AN}& ≈ &1,22\,\text{m} \end{array}$
$ \overline{AN}^2=\overline{AM}^2+\overline{MN}^2$
Die Strecke $\overline{AN}$ ist ca. $1,22\,\text{m}$ lang.
4.
Länge der Seitenkante $\boldsymbol{\overline{AN}}$ berechnen
Bevor du die Länge der Seite $\overline{AN}$ berechnen kannst, benötigst du die Länge der Seite $\overline{AM}$.
$\overline{AM}$ entspricht genau der Hälfte der Länge der Seite $\overline{AC}$.
Berechne also zunächst die Länge der Seite $\overline{AC}$. Hierbei hilft dir der Satz des Pythagoras.
1. Schritt: Länge der Strecke $\boldsymbol{\overline{AC}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AC}^2&=&\overline{AB}^2+\overline{BC}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{AC}^2&=&(1\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{AC}^2&=&2\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{AC}& ≈ &1,41\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{AC}$ ist ca. $1,41\,\text{m}$ lang.
2. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AM}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AM}&=&\frac{1,41\,\text{m}}{2}\\[2pt] \overline{AM}& ≈ &0,71\,\text{m} \end{array}$
Die Strecke $\overline{AM}$ ist ca. $0,71\,\text{m}$ lang.
3. Schritt: Strecke $\boldsymbol{\overline{AN}}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \overline{AN}^2&=&\overline{AM}^2+\overline{MN}^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \overline{AN}^2&=&(0,71\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] \overline{AN}^2&=&1,71\,\text{m}^2&\scriptsize\mid\;\sqrt{\;}\\[2pt] \overline{AN}& ≈ &1,31\,\text{m} \end{array}$
$ \overline{AN}^2=\overline{AM}^2+\overline{MN}^2 $
Die Strecke $\overline{AN}$ ist ca. $1,31\,\text{m}$ lang.
5.
Länge der Kathete $\boldsymbol{a}$ sowie Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
a)
Länge der Kathete $\boldsymbol{a}$ berechnen
Die Länge der Kathete $a$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] (7\,\text{cm})^2&=&a^2+(5\,\text{cm})^2\\[2pt] 49\,\text{cm}^2&=&a^2+25\,\text{cm}^2&\scriptsize\mid\; -25\,\text{cm}^2\\[2pt] a^2&=&49\,\text{cm}^2-25\,\text{cm}^2\\[2pt] a^2&=&24\,\text{cm}^2\\[2pt] a& ≈ &4,9\,\text{cm} \end{array}$
$ c^2=a^2+b^2 $
Die Kathete $a$ ist ca. $4,9\,\text{cm}$ lang.
b)
Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
$\blacktriangleright$ Umfang des Dreiecks berechnen
$\begin{array}{rll} U&=&a+b+c &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] U&=&4,9\,\text{cm}+5\,\text{cm}+7\,\text{cm}\\[2pt] U&=&16,9\,\text{cm} \end{array}$
$ U=a+b+c $
Das Dreieck hat einen Umfang von $16,9\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt (also die Seiten $a$ und $b$ senkrecht aufeinander stehen), kannst du die Fläche des Dreiecks wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} A=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot b &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] A=&\frac{1}{2}\cdot 4,9\,\text{cm}\cdot 5\,\text{cm}\\[2pt] A=&12,25\,\text{cm}^2 \end{array}$
Das Dreieck hat einen Flächeninhalt von $12,25\,\text{cm}^2$.
6.
Überprüfen, ob der Baum in $\boldsymbol{2\,\text{m}}$ Höhe abgesägt werden kann
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Ähnlichkeit und Pythagoras: Rechnungen rechtwinkliges Dreieck
Um zu überprüfen, ob der Baum den Balkon beschädigt, berechnest du die Länge der Strecke $c$. Da der Baum 10 m lang ist und in 2 m Höhe abgesägt wird, hat das umfallende Stück eine Länge von 8 m. Das bedeutet also, dass die Strecke $c$ mindestens 8 m lang sein muss, damit der Baum den Balkon nicht beschädigt.
Sollte die Strecke $c$ kürzer als 8 m sein, beschädigt der dass der Baum den Balkon beschädigen würde.
Die Länge der Strecke $c$ kannst du mit dem Satz des Pythagoras berechnen.
$\begin{array}{rll} c^2&=&a^2+b^2 &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] c^2&=&(8\,\text{m})^2+(1\,\text{m})^2\\[2pt] c^2&=&65\,\text{m}^2\\[2pt] c& ≈ &8,06\,\text{m} \end{array}$
Da die Seite $c$ länger als $8\,\text{m}$ ist, kann man den Baum in $2\,\text{m}$ Höhe absägen, ohne dass der Balkon beschädigt wird.
7.
Länge der Kathete $\boldsymbol{a}$ sowie Umfang und Flächeninhalt des Dreiecks berechnen
a)
Höhe $\boldsymbol{h}$ der Fenster berechnen
Die Höhe der Fenster erhältst du über den Tangens.
$\begin{array}{rll} \tan\alpha&=&\frac{h}{b}&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \tan(45\,^\circ)&=&\frac{h}{1}&\scriptsize\mid\; \cdot -1\\[2pt] h&=&\tan(45\,^\circ)\\[2pt] h&=&1\,\text{m} \end{array}$
Die Fenster haben eine Höhe von je $1\,\text{m}$.
b)
Flächeninhalt $\boldsymbol{A}$ der Fenster berechnen
Da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handelt (also die Seiten $h$ und $b$ senkrecht aufeinander stehen), kannst du die Fläche eines Fensters wie folgt berechnen:
$\begin{array}{rll} A=&\frac{1}{2}\cdot a\cdot b &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] A=&\frac{1}{2}\cdot 1\,\text{m}\cdot 1\,\text{m}\\[2pt] A=&0,5\,\text{m}^2 \end{array}$
Ein Fenster hat einen Flächeninhalt von $0,5 \,\text{m}^2$.
Da allerdings zwei Fenster verbaut werden benötig der Glaser $2\cdot0,5\,\text{m}^2=1\,\text{m}^2$ Fensterscheiben für die Fenster.
Für die Fenster wird $1\,\text{m}^2$ an Fensterscheiben benötigt.
8.
Länge der Strecken \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) und \(\boldsymbol{e}\) berechnen
1. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\alpha}$ bestimmen
Der Aufgabenstellung kannst du entnehmen, dass die Länge der Strecke $a$ genau dem Radius $r$ des Kreises entspricht. Aus diesem Grund handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge $a=2\,\text{cm}$.
Da die drei Innenwinkel bei einem gleichseitigen Dreieck alle gleich groß sind und addiert \(180\,^\circ\) ergeben müssen, ist der Winkel $\alpha=60\,^\circ$.
2. Schritt: Größe des Winkels $\boldsymbol{\beta}$ berechnen
$\begin{array}{rll} \beta&=&\omega-\alpha&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \beta&=&101\,^\circ-60\,^\circ\\[2pt] \beta&=&41\,^\circ \end{array}$
Der Winkel $\beta$ beträgt $41\,^\circ$
3. Schritt: Strecken $\boldsymbol{b}$ und $\boldsymbol{e}$ mit Hilfe des Sinus berechnen
$\blacktriangleright$ Strecke b berechnen
$\begin{array}{rll} \sin\alpha&=&\frac{b}{d} &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \sin(60\,^\circ)&=&\frac{b}{4}\\[2pt] b&=&\sin(60\,^\circ)\cdot 4\\[2pt] b& ≈ &3,46 \end{array}$
Die Strecke $b$ hat eine Länge von ca. $3,46\,\text{cm}$.
$\blacktriangleright$ Strecke e berechnen
$\begin{array}{rll} \sin\beta&=&\frac{e}{d} &\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \sin(41\,^\circ)&=&\frac{e}{4}&\scriptsize\mid\; \cdot 4\\[2pt] e&=&\sin(41\,^\circ)\cdot 4\\[2pt] e& ≈ &2,62 \end{array}$
Die Strecke $e$ hat eine Länge von ca. $2,62\,\text{cm}$.
4. Schritt: Strecke $\boldsymbol{c}$ mit Hilfe des Kosinus berechnen
$\begin{array}{rll} \cos\beta&=&\frac{c}{d}&\scriptsize\mid\;einsetzen\\[2pt] \cos(41\,^\circ)&=&\frac{c}{4}\\[2pt] c&=&\cos(41\,^\circ)\cdot 4\\[2pt] c& ≈ &3,02 \end{array}$
Die Strecke $c$ hat eine Länge von ca. $3,02\,\text{cm}$.
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