Inhalt
Inhalt
Bundesland, Schulart & Klasse
Bundesland, Schulart & Klasse
BW, Gymnasium (G9)
Baden-Württemberg
Berufl. Gymnasium (AG)
Berufl. Gymnasium (BTG)
Berufl. Gymnasium (EG)
Berufl. Gymnasium (SGG)
Berufl. Gymnasium (TG)
Berufl. Gymnasium (WG)
Berufskolleg - FH
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Hauptschule
Realschule
Werkrealschule
Bayern
Fachoberschule
Gymnasium
Mittelschule
Realschule
Berlin
Gymnasium
Integrierte Sekundarschule
Brandenburg
Gesamtschule
Gymnasium
Oberschule
Bremen
Gymnasium (G8)
Oberschule (G9)
Hamburg
Gymnasium
Stadtteilschule
Hessen
Berufl. Gymnasium
Gesamtschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Haupt- und Realschule
Hauptschule
Realschule
Mecklenburg-Vorpommern
Gesamtschule
Gymnasium
Niedersachsen
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Integrierte Gesamtschule
Kooperative Gesamtschule
Oberschule
Realschule
NRW
Gesamtschule
Gymnasium
Hauptschule
Realschule
Sekundarschule
Rheinland-Pfalz
Gesamtschule
Gymnasium
Saarland
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Realschule
Sachsen
Gymnasium
Oberschule
Sachsen-Anhalt
Fachgymnasium
Gesamtschule
Gymnasium
Sekundarschule
Schleswig-Holstein
Gemeinschaftsschule
Gymnasium (G8)
Gymnasium (G9)
Thüringen
Berufl. Gymnasium
Gemeinschaftsschule
Gesamtschule
Gymnasium
Regelschule
Klasse 7
Klasse 13
Klasse 12
Klasse 11
Klasse 10
Klasse 9
Klasse 8
Klasse 7
Klasse 6
Klasse 5
Fach & Lernbereich
Fachauswahl: Mathe
Mathe
Deutsch
Englisch
Bio
Chemie
Physik
Geschichte
Geo
Lernbereich
Digitales Schulbuch
Mach dich schlau mit SchulLV!
Mit dem digitalen Lernverzeichnis ersetzen wir Prüfungsvorbereitungsbücher sowie Schulbücher in ganz Deutschland. SchulLV bietet schnellen Zugriff auf über 1.000 Original-Prüfungsaufgaben mit Lösungen aus über 100 Abschlüssen in allen Bundesländern. Darüber hinaus besteht Zugriff auf 1.700 Themen im Digitalen Schulbuch für sämtliche Schularten von Klasse 5-13.
Neu: Zugänge deutlich ermäßigt über die Schule kaufen! Hier klicken

Binomische Formeln

Spickzettel
Download als Dokument:PDF
Die binomischen Formeln helfen dir, Klammern schneller ausmultiplizieren zu können. Drei binomische Formeln sind für dich wichtig.
  • 1. Binomische Formel:
  • $($$a$$+$$b$$)²= $$a$$² + 2$$a$$b$ + $b$$²$
    $($$a$$+$$b$$)²= $$a$$² + 2$$a$$b$ + $b$$²$
    Rechnest du die Formel nach, erhältst du
    $(a+b)²=(a+b)(a+b)= a² + ab + ba + b²= a² + 2ab + b².$
    $(a+b)²\\[3pt] =(a+b)(a+b)\\[3pt] = a² + ab + ba + b²\\[3pt] = a² + 2ab + b².$
  • 2. Binomische Formel:
    $($$a$$-$$b$$)²= $$a$$² - 2 $$a$$ $$b$$ + $$b$$²$
    $($$a$$-$$b$$)²= $$a$$² - 2 $$a$$ $$b$$ + $$b$$²$
  • Rechnest du die Formel nach, erhältst du
    $(a-b)²=(a-b)(a-b)= a² - ab - ba + b²= a² - 2ab + b².$
    $(a-b)²\\[3pt] =(a-b)(a-b)\\[3pt] = a² - ab - ba + b²\\[3pt] = a² - 2ab + b².$
  • 3. Binomische Formel:
    $($$a$$+$$b$$)($$a$$-$$b$$)= $$a$$² - $$b$$²$
    $($$a$$+$$b$$)($$a$$-$$b$$)= $$a$$² - $$b$$²$
  • Rechnest du die Formel nach, erhältst du
    $(a+b)(a-b)= a² - ab + ba + b²= a² - b².$
    $(a+b)(a-b)\\[3pt] = a² - ab + ba + b²\\[3pt] = a² - b².$
    Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
    Jetzt Einzellizenz freischalten
    Infos zu SchulLV PLUS
    Ich habe bereits einen Zugang
    Zugangscode einlösen
    Login
    Aufgaben
    Download als Dokument:PDF
    1.
    Vereinfache die Terme mit der 1. binomischen Formel
    b)
    $(x+3)^2$
    d)
    $(x+5y)^2$
    f)
    $\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)^2$
    2.
    Vereinfache die Terme mit der 2. binomischen Formel
    b)
    $(x-5)^2$
    d)
    $(3x-5y)^2$
    f)
    $\left(\dfrac{3}{2}x-y\right)^2$
    3.
    Berechne mit der 3. binomischen Formel
    b)
    $(x-3)(x+3)$
    d)
    $(2x-4y)(2x+4y)$
    f)
    $\dfrac{25x^2-9}{5x-3}$
    4.
    Vereinfache die Terme mit Hilfe der binomischen Formeln. Tipp: Klammere wenn möglich aus.
    b)
    $(x-5)^2+(x^2+2y^2)^2$
    d)
    $(x-y)^2(x+y)$
    f)
    $\dfrac{49x^3-4xy^2}{7x-2y}(7x+2y)$
    5.
    Berechne $\boldsymbol{k}$
    b)
    $(x-3k)^2=x^2-6xk+36$
    d)
    $\dfrac{4x^3y-k^2xy}{2x^2-3xy}=2xy+3y^2$
    Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
    Jetzt Einzellizenz freischalten
    Infos zu SchulLV PLUS
    Ich habe bereits einen Zugang
    Zugangscode einlösen
    Login
    Lösungen
    Download als Dokument:PDF
    1.
    Vereinfache die Terme mit der 1. binomischen Formel.
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} (x+1)^2&=&x^2+2\cdot 1 \cdot x+1^2 & \\[5pt] &=&x^2+2x+1 \end{array}$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x+3)^2&=&x^2+2\cdot3\cdot x+3^2 & \\[5pt] &=&x^2+6x+9 \end{array}$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (x+1)^2+(x+2)^2&=&x^2+2\cdot 1 \cdot x+1^2+x^2+2\cdot 2 \cdot x+2^2 & \\[5pt] &=&x^2+2x+1^2+x^2+4x+4 & \\[5pt] &=&2x^2+6x+5 \end{array}$
    $2x^2+6x+5$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} (x+5y)^2&=&x^2+2 \cdot x\cdot5y+(5y)^2 & \\[5pt] &=&x^2+10xy+25y^2 \end{array}$
    e)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{5}{2}x+\dfrac{3}{4}y\right)^2&=&\left(\dfrac{5}{2}x\right)^2+2\cdot \dfrac{5}{2}x \cdot \dfrac{3}{4}y+\left(\dfrac{3}{4}y\right)^2 & \\[5pt] &=&\dfrac{25}{4}x^2+\dfrac{15}{4}xy+\dfrac{9}{16}y^2 \end{array}$
    $\dfrac{25}{4}x^2+\dfrac{15}{4}xy+\dfrac{9}{16}y^2$
    f)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{1}{2}x+1\right)^2&=&\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2+2\cdot \dfrac{1}{2}x \cdot 1+1^2 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}x^2+x+1 \end{array}$
    $\dfrac{1}{4}x^2+x+1$
    2.
    Vereinfache die Terme mit der 2. binomischen Formel.
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-1)^2&=&x^2-2 \cdot x \cdot 1+1^2 \\[5pt] &=&x^2-2x+1 \end{array}$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-5)^2&=&x^2-2 \cdot x\cdot5+5^2 \\[5pt] &=&x^2-10x+25 \end{array}$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-1)^2+(x-2)^2&=&x^2-2 \cdot x \cdot 1+1^2+\left(x^2-2 \cdot x \cdot 2+2^2\right) \\[5pt] &=&x^2-2x+1^2+x^2-4x+4 \\[5pt] &=&2x^2-6x+5 \end{array}$
    $2x^2-6x+5$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} (3x-5y)^2&=&(3x)^2-2 \cdot 3x\cdot5 y+(5y)^2 & \\[5pt] &=&9x^2-30xy+25y^2 \end{array}$
    $9x^2-30xy+25y^2 $
    e)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}y\right)^2&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2-2\cdot\dfrac{2}{3}x\cdot \dfrac{1}{2}y+\left(\dfrac{1}{2}y\right)^2 & \\[5pt] &=&\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{2}{3}xy+\dfrac{1}{4}y^2 \end{array}$
    $\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{2}{3}xy+\dfrac{1}{4}y^2$
    f)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{3}{2}x-y\right)^2&=&\left(\dfrac{3}{2}x\right)^2-2\cdot \dfrac{3}{2}x \cdot y +y^2 \\[5pt] &=&\dfrac{9}{4}x^2-3xy+y^2 \end{array}$
    $\dfrac{9}{4}x^2-3xy+y^2$
    3.
    Vereinfache die Terme mit der 3. binomischen Formel.
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-1)(x+1)&=&x^2-1^2 & \\[5pt] &=&x^2-1 \end{array}$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-3)(x+3)&=&x^2-3^2 & \\[5pt] &=&x^2-9 \end{array}$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (4x-5)(4x+5)&=&(4x)^2-5^2 & \\[5pt] &=&16x^2-25 \end{array}$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} (2x-4y)(2x+4y)&=&(2x)^2-(4y)^2 & \\[5pt] &=&4x^2-16y^2 \end{array}$
    e)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}y\right)\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{3}y\right)^2&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2-\left(\dfrac{2}{3}y\right)^2 & \\[5pt] &=&\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{4}{9}y^2 \end{array}$
    $\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{4}{9}y^2$
    f)
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{25x^2-9}{5x-3}&=&\dfrac{(5x+3)(5x-3)}{5x-3} & \\[5pt] &=&5x+3 \end{array}$
    4.
    Vereinfache die Terme mit Hilfe der binomischen Formeln. Tipp: Klammere wenn möglich aus
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-3)²-(x+3)²&=&x^2-2\cdot x \cdot 3+3^2-\left(x^2+2\cdot x \cdot 3+3^2\right) \\[5pt] &=&x^2-6x+9-x^2-6x-9 & \\[5pt] &=&-12x \end{array}$
    $-12x$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-5)^2+(x^2+2y^2)^2&=&x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2+ (x^2)^2+2\cdot x^2\cdot (2y^2)+(2y^2)^2 \\[5pt] &=&x^2-10x+25+x^4+4x^2y^2+4y^4 \\[5pt] &=&4x^2y^2+x^4+x^2-10x+4y^4+25 \end{array}$
    $4x^2y^2+x^4+x^2-10x+4y^4+25$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-1)(x+1)+(x+2)^2&=&x^2-1^2 +x^2+2\cdot 2 \cdot x+2^2 \\[5pt] &=&x^2-1+x^2+4x+4& \\[5pt] &=&2x^2+4x+3 \end{array}$
    $2x^2+4x+3$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-y)^2(x+y)&=&(x-y)(x-y)(x+y) \\[5pt] &=&(x-y)(x^2-y^2)& \\[5pt] &=&x^3-xy^2-yx^2+y^3 \end{array}$
    $x^3-xy^2-yx^2+y^3$
    e)
    $\begin{array}[t]{rcl} \scriptsize \left(\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}y\right)\left(\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}y\right)(3x-3y)^2&= & \small \left(\dfrac{1}{3}(x^2+2y)\right)\left(\dfrac{1}{3}(x^2-2y)\right)(3(x-y))^2 \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{9}(x^2+2y)(x^2-2y)\right)(3)^2(x-y)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{9}\left(x^4-4y^2\right)\cdot9\left(x^2-2xy+ y^2\right) \\[5pt] &=&(x^4-4y^2)(x^2-2xy+ y^2) \\[5pt] &=& x^6-2x^5y+ x^4y^2-4y^2x^2+8xy^3-4y^4 \end{array}$
    $ x^6-2x^5y+ x^4y^2-4y^2x^2+8xy^3-4y^4$
    f)
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{49x^3-4xy^2}{7x-2y}\cdot(7x+2y)&=&\dfrac{x(49x^2-4y^2)}{7x-2y}\cdot(7x+2y) \\[5pt] &=&\dfrac{x(7x+2y)(7x-2y)}{7x-2y}\cdot(7x+2y) \\[5pt] &=&x\cdot(7x+2y)(7x+2y) \\[5pt] &=&x\cdot(7x+2y)^2 \\[5pt] &=&x\cdot\left((7x)^2+2\cdot(7x) \cdot(2y) +(2y)^2\right) \\[5pt] &=&x\cdot\left(49x^2+28xy+4y^2\right) \\[5pt] &=&49x^3+28x^2y+4xy^2 \\[5pt] \end{array}$
    $49x^3+28x^2y+4xy^2$
    5.
    Berechne $\boldsymbol{k}$.
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} x^2+6x+k^2&=&(x+3)^2\\[5pt] x^2+6x+k^2&=&x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2& \quad \scriptsize \mid\; -(x^2+6x)\\[5pt] k^2&=&9& \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] k&=&\pm3& \\[5pt] \end{array}$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-3k)^2&=&x^2-6xk+36\\[5pt] x^2-2\cdot x\cdot 3k+(3k)^2&=&x^2-6xk+36 & \quad \scriptsize \mid\; -x^2+6xk\\[5pt] 9k^2&=&36 & \quad \scriptsize \mid \; :9\\[5pt] k^2&=& 4& \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] k&=& \pm2 \end{array}$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-k)(x+k)+(x+k)^2&=&2x^2+8x \\[5pt] x^2-k^2+x^2+2\cdot x\cdot k+k^2&=&2x^2+8x \\[5pt] 2x^2+2xk&=&2x^2+8x & \quad \scriptsize \mid\; -2x^2\\[5pt] 2xk&=&8x & \quad \scriptsize \mid\; :2x\\[5pt] k&=&4 \end{array}$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4x^3y-k^2xy}{2x^2-3xy}&=&2xy+3y^2 \\[5pt] \dfrac{xy(4x^2-k^2)}{x(2x-3y)}&=&y(2x+3y& \quad \scriptsize \mid \; :y \\[5pt] \dfrac{(2x-k)(2x+k)}{(2x-3y)}&=&2x+3y & \quad \scriptsize \mid\; \cdot (2x-3y) \\[5pt] (2x-k)(2x+k)&=&(2x+3y)(2x-3y) \\[5pt] 4x^2-k^2&=&4x^2-(3y)^2 & \quad \scriptsize \mid\; -4x^2\\[5pt] -k^2&=&-(3y)^2 & \quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] k^2&=& 9y^2& \quad \scriptsize \mid \; \sqrt{\;}\\[5pt] k&=&\pm3y& \\[5pt] \end{array}$
    5. Berechne $\boldsymbol{k}$.
    a)
      $ k = \pm3 $
    b)
      $ k = \pm2 $
    c)
      $ k = 4 $
    d)
      $ k = \pm3y $
    Weiter lernen mit SchulLV-PLUS!
    Jetzt Einzellizenz freischalten
    Infos zu SchulLV PLUS
    Ich habe bereits einen Zugang
    Zugangscode einlösen
    Login
    Folge uns auf
    SchulLV als App