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Binomische Formeln

Spickzettel
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Die binomischen Formeln helfen dir, Klammern schneller ausmultiplizieren zu können. Drei binomische Formeln sind für dich wichtig.
  • 1. Binomische Formel:
  • $($$a$$+$$b$$)²= $$a$$² + 2$$a$$b$ + $b$$²$
    $($$a$$+$$b$$)²= $$a$$² + 2$$a$$b$ + $b$$²$
    Rechnest du die Formel nach, erhältst du
    $(a+b)²=(a+b)(a+b)= a² + ab + ba + b²= a² + 2ab + b².$
    $(a+b)²\\[3pt] =(a+b)(a+b)\\[3pt] = a² + ab + ba + b²\\[3pt] = a² + 2ab + b².$
  • 2. Binomische Formel:
    $($$a$$-$$b$$)²= $$a$$² - 2 $$a$$ $$b$$ + $$b$$²$
    $($$a$$-$$b$$)²= $$a$$² - 2 $$a$$ $$b$$ + $$b$$²$
  • Rechnest du die Formel nach, erhältst du
    $(a-b)²=(a-b)(a-b)= a² - ab - ba + b²= a² - 2ab + b².$
    $(a-b)²\\[3pt] =(a-b)(a-b)\\[3pt] = a² - ab - ba + b²\\[3pt] = a² - 2ab + b².$
  • 3. Binomische Formel:
    $($$a$$+$$b$$)($$a$$-$$b$$)= $$a$$² - $$b$$²$
    $($$a$$+$$b$$)($$a$$-$$b$$)= $$a$$² - $$b$$²$
  • Rechnest du die Formel nach, erhältst du
    $(a+b)(a-b)= a² - ab + ba + b²= a² - b².$
    $(a+b)(a-b)\\[3pt] = a² - ab + ba + b²\\[3pt] = a² - b².$
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    1.
    Vereinfache die Terme mit der 1. binomischen Formel
    b)
    $(x+3)^2$
    d)
    $(x+5y)^2$
    f)
    $\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)^2$
    2.
    Vereinfache die Terme mit der 2. binomischen Formel
    b)
    $(x-5)^2$
    d)
    $(3x-5y)^2$
    f)
    $\left(\dfrac{3}{2}x-y\right)^2$
    3.
    Berechne mit der 3. binomischen Formel
    b)
    $(x-3)(x+3)$
    d)
    $(2x-4y)(2x+4y)$
    f)
    $\dfrac{25x^2-9}{5x-3}$
    4.
    Vereinfache die Terme mit Hilfe der binomischen Formeln. Tipp: Klammere wenn möglich aus.
    b)
    $(x-5)^2+(x^2+2y^2)^2$
    d)
    $(x-y)^2(x+y)$
    f)
    $\dfrac{49x^3-4xy^2}{7x-2y}(7x+2y)$
    5.
    Berechne $\boldsymbol{k}$
    b)
    $(x-3k)^2=x^2-6xk+36$
    d)
    $\dfrac{4x^3y-k^2xy}{2x^2-3xy}=2xy+3y^2$
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    1.
    Vereinfache die Terme mit der 1. binomischen Formel.
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} (x+1)^2&=&x^2+2\cdot 1 \cdot x+1^2 & \\[5pt] &=&x^2+2x+1 \end{array}$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x+3)^2&=&x^2+2\cdot3\cdot x+3^2 & \\[5pt] &=&x^2+6x+9 \end{array}$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (x+1)^2+(x+2)^2&=&x^2+2\cdot 1 \cdot x+1^2+x^2+2\cdot 2 \cdot x+2^2 & \\[5pt] &=&x^2+2x+1^2+x^2+4x+4 & \\[5pt] &=&2x^2+6x+5 \end{array}$
    $2x^2+6x+5$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} (x+5y)^2&=&x^2+2 \cdot x\cdot5y+(5y)^2 & \\[5pt] &=&x^2+10xy+25y^2 \end{array}$
    e)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{5}{2}x+\dfrac{3}{4}y\right)^2&=&\left(\dfrac{5}{2}x\right)^2+2\cdot \dfrac{5}{2}x \cdot \dfrac{3}{4}y+\left(\dfrac{3}{4}y\right)^2 & \\[5pt] &=&\dfrac{25}{4}x^2+\dfrac{15}{4}xy+\dfrac{9}{16}y^2 \end{array}$
    $\dfrac{25}{4}x^2+\dfrac{15}{4}xy+\dfrac{9}{16}y^2$
    f)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{1}{2}x+1\right)^2&=&\left(\dfrac{1}{2}x\right)^2+2\cdot \dfrac{1}{2}x \cdot 1+1^2 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}x^2+x+1 \end{array}$
    $\dfrac{1}{4}x^2+x+1$
    2.
    Vereinfache die Terme mit der 2. binomischen Formel.
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-1)^2&=&x^2-2 \cdot x \cdot 1+1^2 \\[5pt] &=&x^2-2x+1 \end{array}$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-5)^2&=&x^2-2 \cdot x\cdot5+5^2 \\[5pt] &=&x^2-10x+25 \end{array}$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-1)^2+(x-2)^2&=&x^2-2 \cdot x \cdot 1+1^2+\left(x^2-2 \cdot x \cdot 2+2^2\right) \\[5pt] &=&x^2-2x+1^2+x^2-4x+4 \\[5pt] &=&2x^2-6x+5 \end{array}$
    $2x^2-6x+5$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} (3x-5y)^2&=&(3x)^2-2 \cdot 3x\cdot5 y+(5y)^2 & \\[5pt] &=&9x^2-30xy+25y^2 \end{array}$
    $9x^2-30xy+25y^2 $
    e)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{1}{2}y\right)^2&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2-2\cdot\dfrac{2}{3}x\cdot \dfrac{1}{2}y+\left(\dfrac{1}{2}y\right)^2 & \\[5pt] &=&\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{2}{3}xy+\dfrac{1}{4}y^2 \end{array}$
    $\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{2}{3}xy+\dfrac{1}{4}y^2$
    f)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{3}{2}x-y\right)^2&=&\left(\dfrac{3}{2}x\right)^2-2\cdot \dfrac{3}{2}x \cdot y +y^2 \\[5pt] &=&\dfrac{9}{4}x^2-3xy+y^2 \end{array}$
    $\dfrac{9}{4}x^2-3xy+y^2$
    3.
    Vereinfache die Terme mit der 3. binomischen Formel.
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-1)(x+1)&=&x^2-1^2 & \\[5pt] &=&x^2-1 \end{array}$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-3)(x+3)&=&x^2-3^2 & \\[5pt] &=&x^2-9 \end{array}$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (4x-5)(4x+5)&=&(4x)^2-5^2 & \\[5pt] &=&16x^2-25 \end{array}$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} (2x-4y)(2x+4y)&=&(2x)^2-(4y)^2 & \\[5pt] &=&4x^2-16y^2 \end{array}$
    e)
    $\begin{array}[t]{rll} \left(\dfrac{2}{3}x+\dfrac{2}{3}y\right)\left(\dfrac{2}{3}x-\dfrac{2}{3}y\right)^2&=&\left(\dfrac{2}{3}x\right)^2-\left(\dfrac{2}{3}y\right)^2 & \\[5pt] &=&\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{4}{9}y^2 \end{array}$
    $\dfrac{4}{9}x^2-\dfrac{4}{9}y^2$
    f)
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{25x^2-9}{5x-3}&=&\dfrac{(5x+3)(5x-3)}{5x-3} & \\[5pt] &=&5x+3 \end{array}$
    4.
    Vereinfache die Terme mit Hilfe der binomischen Formeln. Tipp: Klammere wenn möglich aus
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-3)²-(x+3)²&=&x^2-2\cdot x \cdot 3+3^2-\left(x^2+2\cdot x \cdot 3+3^2\right) \\[5pt] &=&x^2-6x+9-x^2-6x-9 & \\[5pt] &=&-12x \end{array}$
    $-12x$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-5)^2+(x^2+2y^2)^2&=&x^2-2\cdot x\cdot 5+5^2+ (x^2)^2+2\cdot x^2\cdot (2y^2)+(2y^2)^2 \\[5pt] &=&x^2-10x+25+x^4+4x^2y^2+4y^4 \\[5pt] &=&4x^2y^2+x^4+x^2-10x+4y^4+25 \end{array}$
    $4x^2y^2+x^4+x^2-10x+4y^4+25$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-1)(x+1)+(x+2)^2&=&x^2-1^2 +x^2+2\cdot 2 \cdot x+2^2 \\[5pt] &=&x^2-1+x^2+4x+4& \\[5pt] &=&2x^2+4x+3 \end{array}$
    $2x^2+4x+3$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-y)^2(x+y)&=&(x-y)(x-y)(x+y) \\[5pt] &=&(x-y)(x^2-y^2)& \\[5pt] &=&x^3-xy^2-yx^2+y^3 \end{array}$
    $x^3-xy^2-yx^2+y^3$
    e)
    $\begin{array}[t]{rcl} \scriptsize \left(\dfrac{1}{3}x^2+\dfrac{2}{3}y\right)\left(\dfrac{1}{3}x^2-\dfrac{2}{3}y\right)(3x-3y)^2&= & \small \left(\dfrac{1}{3}(x^2+2y)\right)\left(\dfrac{1}{3}(x^2-2y)\right)(3(x-y))^2 \\[5pt] &=& \left(\dfrac{1}{9}(x^2+2y)(x^2-2y)\right)(3)^2(x-y)^2 \\[5pt] &=&\dfrac{1}{9}\left(x^4-4y^2\right)\cdot9\left(x^2-2xy+ y^2\right) \\[5pt] &=&(x^4-4y^2)(x^2-2xy+ y^2) \\[5pt] &=& x^6-2x^5y+ x^4y^2-4y^2x^2+8xy^3-4y^4 \end{array}$
    $ x^6-2x^5y+ x^4y^2-4y^2x^2+8xy^3-4y^4$
    f)
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{49x^3-4xy^2}{7x-2y}\cdot(7x+2y)&=&\dfrac{x(49x^2-4y^2)}{7x-2y}\cdot(7x+2y) \\[5pt] &=&\dfrac{x(7x+2y)(7x-2y)}{7x-2y}\cdot(7x+2y) \\[5pt] &=&x\cdot(7x+2y)(7x+2y) \\[5pt] &=&x\cdot(7x+2y)^2 \\[5pt] &=&x\cdot\left((7x)^2+2\cdot(7x) \cdot(2y) +(2y)^2\right) \\[5pt] &=&x\cdot\left(49x^2+28xy+4y^2\right) \\[5pt] &=&49x^3+28x^2y+4xy^2 \\[5pt] \end{array}$
    $49x^3+28x^2y+4xy^2$
    5.
    Berechne $\boldsymbol{k}$.
    a)
    $\begin{array}[t]{rll} x^2+6x+k^2&=&(x+3)^2\\[5pt] x^2+6x+k^2&=&x^2+2\cdot x\cdot 3+3^2& \quad \scriptsize \mid\; -(x^2+6x)\\[5pt] k^2&=&9& \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;}\\[5pt] k&=&\pm3& \\[5pt] \end{array}$
    b)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-3k)^2&=&x^2-6xk+36\\[5pt] x^2-2\cdot x\cdot 3k+(3k)^2&=&x^2-6xk+36 & \quad \scriptsize \mid\; -x^2+6xk\\[5pt] 9k^2&=&36 & \quad \scriptsize \mid \; :9\\[5pt] k^2&=& 4& \quad \scriptsize \mid\; \sqrt{\;} \\[5pt] k&=& \pm2 \end{array}$
    c)
    $\begin{array}[t]{rll} (x-k)(x+k)+(x+k)^2&=&2x^2+8x \\[5pt] x^2-k^2+x^2+2\cdot x\cdot k+k^2&=&2x^2+8x \\[5pt] 2x^2+2xk&=&2x^2+8x & \quad \scriptsize \mid\; -2x^2\\[5pt] 2xk&=&8x & \quad \scriptsize \mid\; :2x\\[5pt] k&=&4 \end{array}$
    d)
    $\begin{array}[t]{rll} \dfrac{4x^3y-k^2xy}{2x^2-3xy}&=&2xy+3y^2 \\[5pt] \dfrac{xy(4x^2-k^2)}{x(2x-3y)}&=&y(2x+3y& \quad \scriptsize \mid \; :y \\[5pt] \dfrac{(2x-k)(2x+k)}{(2x-3y)}&=&2x+3y & \quad \scriptsize \mid\; \cdot (2x-3y) \\[5pt] (2x-k)(2x+k)&=&(2x+3y)(2x-3y) \\[5pt] 4x^2-k^2&=&4x^2-(3y)^2 & \quad \scriptsize \mid\; -4x^2\\[5pt] -k^2&=&-(3y)^2 & \quad \scriptsize \mid\; \cdot(-1)\\[5pt] k^2&=& 9y^2& \quad \scriptsize \mid \; \sqrt{\;}\\[5pt] k&=&\pm3y& \\[5pt] \end{array}$
    5. Berechne $\boldsymbol{k}$.
    a)
      $ k = \pm3 $
    b)
      $ k = \pm2 $
    c)
      $ k = 4 $
    d)
      $ k = \pm3y $
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