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Multiplizieren und Dividieren von Produkten

Spickzettel
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Ein Produkt wird mit einer Zahl multipliziert bzw. dividiert, indem du den Koeffizienten mit der Zahl multiplizierst bzw. dividierst.
Ein Produkt wird mit einer Zahl multiplizierst bzw. dividiert, indem du den Koeffizienten mit der Zahl multiplizierst bzw. dividierst.
Tipp: Bei dem Multiplizieren und Dividieren von Produkten gilt das Kommutativgesetz und das Assoziativgesetz.

Beispiele

Multiplikation: $2\cdot6x=(2\cdot6)x=12x$
Division: $15x:5=(15:5)x=3x$
Gleiche Variablen werden multipliziert, indem diese potenziert werden. Bei einer Division kannst du gleiche Variablen kürzen.
Gleiche Variablen werden multipliziert, indem diese potenziert werden. Bei einer Division kannst du gleiche Variablen kürzen.

Beispiele

Multiplikation: $x\cdot x=x^2$
Division: $x^2:x=\dfrac{x^2}{x}=x$
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Aufgaben
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1.  Vereinfache die Terme so weit wie möglich
a)  $2\cdot3x$ b)  $\dfrac{1}{2}\cdot4x$ c)  $5x\cdot4$
d)  $\dfrac{2}{5}a\cdot10$ e)  $\dfrac{4}{5}a\cdot\dfrac{1}{3}$ f)  $4b:2$
g)  $\dfrac{3}{4}b:3$ h)  $\dfrac{4}{3}a:3$ i)  $2a:\dfrac{1}{2}$
a)  $2\cdot3x$
b)  $\dfrac{1}{2}\cdot4x$
c)  $5x\cdot4$
d)  $\dfrac{2}{5}a\cdot10$
e)  $\dfrac{4}{5}a\cdot\dfrac{1}{3}$
f)  $4b:2$
g)  $\dfrac{3}{4}b:3$
h)  $\dfrac{4}{3}a:3$
i)  $2a:\dfrac{1}{2}$
2.  Vereinfache die Terme so weit wie möglich
a)  $4x\cdot6x$ b)  $3a^2\cdot9a$ c)  $(-2b^2):(4b)$
d)  $7xy\cdot8xy$ e)  $54s^3:(6s)$ f)  $125t^5:\left(25t^3\right)$
a)  $4x\cdot6x$
b)  $3a^2\cdot9a$
c)  $(-2b^2):(4b)$
d)  $7xy\cdot8xy$
e)  $54s^3:(6s)$
f)  $125t^5:\left(25t^3\right)$
3.  Vereinfache die Terme so weit wie möglich
a)  $2\cdot4a-8a:2+a$ b)  $5x\cdot5x-35x^3:(7x)$
c)  $(-6)\cdot3y^2+63y:9-3y^2$ d)  $16st-4s\cdot8t+7\cdot9s+81t:9$
e)  $\dfrac{1}{2}xy\cdot4xy-3x^2y^2+5x^3y^2$ f)  $\dfrac{3}{4}x^2:\dfrac{1}{4}x-\dfrac{7}{8}x\cdot4-\dfrac{3}{5}x^2:\dfrac{1}{15}$
a)  $2\cdot4a-8a:2+a$
b)  $5x\cdot5x-35x^3:(7x)$
c)  $(-6)\cdot3y^2+63y:9-3y^2$
d)  $16st-4s\cdot8t+7\cdot9s+81t:9$
e)  $\dfrac{1}{2}xy\cdot4xy-3x^2y^2+5x^3y^2$
f)  $\dfrac{3}{4}x^2:\dfrac{1}{4}x-\dfrac{7}{8}x\cdot4-\dfrac{3}{5}x^2:\dfrac{1}{15}$
4.  Vereinfache die Terme so weit wie möglich
a)  $a^5\cdot a^3\cdot a$ b)  $5x^3x^2-10x^6:(2x)-2x^2\cdot3x^3$
c)  $3s^2t^4+4st^2s-5t^4s+3s^2t^2$ d)  $8y\cdot3y^2\cdot2y^3$
e)  $8ab:(4ab)+10ab$ f)  $88uv:11+24uv-3uv^2$
a)  $a^5\cdot a^3\cdot a$
b)  $5x^3x^2-10x^6:(2x)-2x^2\cdot3x^3$
c)  $3s^2t^4+4st^2s-5t^4s+3s^2t^2$
d)  $8y\cdot3y^2\cdot2y^3$
e)  $8ab:(4ab)+10ab$
f)  $88uv:11+24uv-3uv^2$
5.  Stelle einen Term auf
Ein Quader hat die Seitenlängen $4a$, $3b$ und $2a$. Stelle einen Term für das Volumen des Quaders auf und vereinfache diesen so weit wie möglich.
Terme: Multiplizieren und Dividieren von Produkten
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1.  Vereinfache die Terme so weit wie möglich
a)  $\begin{array}[t]{llll} 2\cdot3x&=&(2\cdot3)x\\[5pt] &=& 6x \end{array}$ b)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{1}{2}\cdot4x&=&\left(\dfrac{1}{2}\cdot4\right)x\\[5pt] &=& 2x \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} 5x\cdot4&=&(5\cdot4)x\\[5pt] &=& 20x \end{array}$ d)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{2}{5}a\cdot10&=&\left(\dfrac{2}{5}\cdot10\right)a\\[5pt] &=& 4a \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{4}{5}a\cdot\dfrac{1}{3}&=&\left(\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{3}\right)a\\[5pt] &=&\dfrac{4}{15}a \end{array}$ f)  $\begin{array}[t]{llll} 4b:2&=&\dfrac{4}{2}b\\[5pt] &=& 2b \end{array}$
g)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{3}{4}b:3&=&\left(\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\right)b\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}b \end{array}$ h)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{4}{3}a:3&=&\left(\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\right)b\\[5pt] &=&\dfrac{4}{9}b \end{array}$
i)  $\begin{array}[t]{llll} 2a:\dfrac{1}{2}&=&\left(2\cdot2\right)a\\[5pt] &=&4a \end{array}$
a)  $\begin{array}[t]{llll} 2\cdot3x&=&(2\cdot3)x\\[5pt] &=& 6x \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{1}{2}\cdot4x&=&\left(\dfrac{1}{2}\cdot4\right)x\\[5pt] &=& 2x \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} 5x\cdot4&=&(5\cdot4)x\\[5pt] &=& 20x \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{2}{5}a\cdot10&=&\left(\dfrac{2}{5}\cdot10\right)a\\[5pt] &=& 4a \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{4}{5}a\cdot\dfrac{1}{3}&=&\left(\dfrac{4}{5}\cdot\dfrac{1}{3}\right)a\\[5pt] &=&\dfrac{4}{15}a \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{llll} 4b:2&=&\dfrac{4}{2}b\\[5pt] &=& 2b \end{array}$
g)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{3}{4}b:3&=&\left(\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{3}\right)b\\[5pt] &=&\dfrac{1}{4}b \end{array}$
h)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{4}{3}a:3&=&\left(\dfrac{4}{3}\cdot\dfrac{1}{3}\right)b\\[5pt] &=&\dfrac{4}{9}b \end{array}$
i)  $\begin{array}[t]{llll} 2a:\dfrac{1}{2}&=&\left(2\cdot2\right)a\\[5pt] &=&4a \end{array}$
2.  Vereinfache die Terme so weit wie möglich
a)  $\begin{array}[t]{llll} 4x\cdot6x&=&(4\cdot6)\cdot x\cdot x\\[5pt] &=& 24x^2 \end{array}$ b)  $\begin{array}[t]{llll} 3a^2\cdot9a&=&(3\cdot9)\cdot a^2\cdot a\\[5pt] &=& 27a^3 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} (-2b^2):(4b)&=&\dfrac{-2b^2}{4b}\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2}b \end{array}$ d)  $\begin{array}[t]{llll} 7xy\cdot8xy&=&(7\cdot8)\cdot xy\cdot xy\\[5pt] &=& 56x^2y^2 \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} 54s^3:(6s)&=&\dfrac{54s^3}{6s}\\[5pt] &=&9s^2 \end{array}$ f)  $\begin{array}[t]{llll} 125t^5:\left(25t^3\right)&=&\dfrac{125t^5}{25t^3}\\[5pt] &=& 5t^2 \end{array}$
a)  $\begin{array}[t]{llll} 4x\cdot6x&=&(4\cdot6)\cdot x\cdot x\\[5pt] &=& 24x^2 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} 3a^2\cdot9a&=&(3\cdot9)\cdot a^2\cdot a\\[5pt] &=& 27a^3 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} (-2b^2):(4b)&=&\dfrac{-2b^2}{4b}\\[5pt] &=& -\dfrac{1}{2}b \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{llll} 7xy\cdot8xy&=&(7\cdot8)\cdot xy\cdot xy\\[5pt] &=& 56x^2y^2 \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} 54s^3:(6s)&=&\dfrac{54s^3}{6s}\\[5pt] &=&9s^2 \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{llll} 125t^5:\left(25t^3\right)&=&\dfrac{125t^5}{25t^3}\\[5pt] &=& 5t^2 \end{array}$
3.  Vereinfache die Terme so weit wie möglich.
a)  $\begin{array}[t]{llll} 2\cdot4a-8a:2+a&=& 8a-\dfrac{8a}{2}+a\\[5pt] &=& 8a-4a+a\\[5pt] &=& 5a \end{array}$
a)  $\begin{array}[t]{llll} & 2\cdot4a-8a:2+a&\\[5pt] =& 8a-\dfrac{8a}{2}+a\\[5pt] =& 8a-4a+a\\[5pt] =& 5a \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} 5x\cdot5x-35x^3:(7x)&=& (5\cdot5)\cdot x\cdot x-\dfrac{35x^3}{7x}\\[5pt] &=& 25x^2-5x^2\\[5pt] &=& 20x^2 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} & 5x\cdot5x-35x^3:(7x)&\\[5pt] =& (5\cdot5)\cdot x\cdot x-\dfrac{35x^3}{7x}\\[5pt] =& 25x^2-5x^2\\[5pt] =& 20x^2 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} (-6)\cdot3y^2+63y:9-3y^2&=& (-6\cdot3)y^2+\dfrac{63y}{9}-3y^2\\[5pt] &=& -18y^2+7y-3y^2\\[5pt] &=& -18y^2-3y^2+7y\\[5pt] &=& -21y^2+7y \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} &(-6)\cdot3y^2+63y:9-3y^2&\\[5pt] =& (-6\cdot3)y^2+\dfrac{63y}{9}-3y^2\\[5pt] =& -18y^2+7y-3y^2\\[5pt] =& -18y^2-3y^2+7y\\[5pt] =& -21y^2+7y \end{array}$
d)   $\begin{array}[t]{llll} 16st-4s\cdot8t+7\cdot9s+81t:9&=& 16st-(4\cdot8)\cdot s\cdot t+(7\cdot9)s+\dfrac{81t}{9}\\[5pt] &=& 16st-32st+63s+9t\\[5pt] &=& -16st+63s+9t \end{array}$
d)   $\begin{array}[t]{llll} &16st-4s\cdot8t+7\cdot9s+81t:9&\\[5pt] =& 16st-(4\cdot8)\cdot st+(7\cdot9)s+\frac{81t}{9}\\[5pt] =& 16st-32st+63s+9t\\[5pt] =& -16st+63s+9t \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{1}{2}xy\cdot4xy-3x^2y^2+5x^3y^2&=& \left(\dfrac{1}{2}\cdot4\right)\cdot xy\cdot xy-3x^2y^2+5x^3y^2\\[5pt] &=&2x^2y^2-3x^2y^2+5x^3y^2\\[5pt] &=& 5x^3y^2-x^2y^2 \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} & \dfrac{1}{2}xy\cdot4xy-3x^2y^2+5x^3y^2&\\[5pt] =& \left(\frac{1}{2}\cdot4\right)\cdot xy\cdot xy-3x^2y^2+5x^3y^2\\[5pt] =&2x^2y^2-3x^2y^2+5x^3y^2\\[5pt] =& 5x^3y^2-x^2y^2 \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{3}{4}x^2:\dfrac{1}{4}x-\dfrac{7}{8}x\cdot4-\dfrac{3}{5}x^2:\dfrac{1}{15}&=& \left(\dfrac{3}{4}\cdot4\right)\cdot \dfrac{x^2}{x}-\left(\dfrac{7}{8}\cdot4\right)x-\left(\dfrac{3}{5}\cdot15\right)x^2\\[5pt] &=& 3x-\dfrac{7}{2}x-(3\cdot3)x^2\\[5pt] &=& 9x^2-\dfrac{1}{2}x \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{llll} & \dfrac{3}{4}x^2:\dfrac{1}{4}x-\dfrac{7}{8}x\cdot4-\dfrac{3}{5}x^2:\dfrac{1}{15}&\\[5pt] =& \left(\frac{3}{4}\cdot4\right)\cdot \frac{x^2}{x}-\left(\frac{7}{8}\cdot4\right)x\\[5pt] &-\left(\frac{3}{5}\cdot15\right)x^2\\[5pt] =& 3x-\frac{7}{2}x-(3\cdot3)x^2\\[5pt] =& 9x^2-\frac{1}{2}x \end{array}$
4.  Vereinfache den Term so weit wie möglich.
a)  $\begin{array}[t]{llll} a^5\cdot a^3\cdot a&=& a^9 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} 5x^3x^2-10x^6:(2x)-2x^2\cdot3x^3&=& 5x^5-\dfrac{10x^6}{2x}-(2\cdot3)\cdot x^2\cdot x^3\\[5pt] &=& 5x^5-5x^5-6x^5\\[5pt] &=& -6x^5 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} & 5x^3x^2-10x^6:(2x)-2x^2\cdot3x^3&\\[5pt] =& 5x^5-\dfrac{10x^6}{2x}-(2\cdot3)\cdot x^2\cdot x^3\\[5pt] =& 5x^5-5x^5-6x^5\\[5pt] =& -6x^5 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} 3s^2t^4+4st^2s-5t^4s+3s^2t^2&=& 3s^2t^4+4s^2t^2-5st^4+3s^2t^2\\[5pt] &=& 3s^2t^4+4s^2t^2+3s^2t^2-5st^4\\[5pt] &=& 3s^2t^4+7s^2t^2-5st^4 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} & 3s^2t^4+4st^2s-5t^4s+3s^2t^2&\\[5pt] =& 3s^2t^4+4s^2t^2-5st^4+3s^2t^2\\[5pt] =& 3s^2t^4+4s^2t^2+3s^2t^2-5st^4\\[5pt] =& 3s^2t^4+7s^2t^2-5st^4 \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{llll} 8y\cdot3y^2\cdot2y^3&=& (8\cdot3\cdot2)\cdot y\cdot y^2\cdot y^3\\[5pt] &=& 48y^6 \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{llll} & 8y\cdot3y^2\cdot2y^3&\\[5pt] =& 48y^6 \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} 8ab:(4ab)+10ab&=& \dfrac{8ab}{4ab}+10ab\\[5pt] &=&10ab+2 \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} & 8ab:(4ab)+10ab&\\[5pt] =& \dfrac{8ab}{4ab}+10ab\\[5pt] =&10ab+2 \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{llll} 88uv:11+24uv-3uv^2&=& \dfrac{88uv}{11}+24uv-3uv^2\\[5pt] &=&8uv+24uv-3uv^2\\[5pt] &=& -3uv^2+32uv \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{llll} &88uv:11+24uv-3uv^2&\\[5pt] =& \dfrac{88uv}{11}+24uv-3uv^2\\[5pt] =&8uv+24uv-3uv^2\\[5pt] =& -3uv^2+32uv \end{array}$
5.  Stelle einen Term auf.
Das Volumen eines Quader berechnest du, indem du die Seitenlängen multiplizierst. Demnach beträgt das Volumen des Quaders:
$\begin{array}[t]{llll} 4a\cdot3b\cdot2a&=& (4\cdot2)\cdot a\cdot a\cdot3b\\[5pt] &=&8a^2\cdot3b \\[5pt] &=&24a^2b \end{array}$
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