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Termumformung

Spickzettel
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Damit du mit Termen leichter rechnen kannst, kannst du sie vereinfachen. Du kannst die Terme vereinfachen, indem du die Reihenfolge der Zahlen und Variablen vertauschst und anschließend addierst oder multiplizierst. Du kannst jeweils nur die Zahlen ohne Variablen oder gleiche Variablen zusammenfassen.
Die Umformung der Terme erfolgt mit den Rechengesetzen. Mit Hilfe der Rechengesetze kannst du zum Beispiel Summanden in beliebiger Reihenfolge addieren oder multiplizieren und Klammern setzen. Mit den folgenden Rechengesetzen kannst du Terme umformen.
Assoziativgesetz
Das Assoziativgesetz besagt, dass du Summanden beliebig zusammenfassen kannst. Dies gilt auch für die Multiplikation.
Addition: $(a + b) + c = a + (b + c)$
Multiplikation: $(a\cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$
Beispiel: $\begin{array}[t]{rll} (2 + 3) + 1&=& 2 + (3 + 1) \\[5pt] 5+1&=& 2+4\\[5pt] 6&=& 6 \end{array}$
Kommutativgesetz
Nach dem Kommutativgesetz spielt es keine Rolle, in welcher Reihenfolge Zahlen oder Variablen addiert bzw. multipliziert werden.
Addition: $a + b = b + a$
Multiplikation: $a \cdot b = b \cdot a$
Beispiel: $\begin{array}[t]{rll} 1+3&=& 3+1 \\[5pt] 4&=& 4 \end{array}$
Distributivgesetz
Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du einen konstanten Faktor ausklammern. Wie das genau geht, lernst du in dem Skript über das Rechnen mit Klammern.
Multiplikation: $a \cdot b + a \cdot c = a \cdot (b + c)$
Beispiel: $\begin{array}[t]{rll} 2\cdot 4+2\cdot5&=& 2\cdot(4+5) \\[5pt] &=& 2\cdot9\\[5pt] &=& 18 \end{array}$
Nun kennst du die nötigen Rechengesetze, mit denen du Terme umformen kannst. Bei der Umformaung von Termen mit Zahlen und mehreren Variablen ist es üblich, zuerst die Variablen in alphabetischer Reihenfolge aufzulisten und danach die Zahlen zu schreiben. Anschließend kannst du die Zahlen bzw. die Variablen zusammenfassen.

Beispiel

  • 1) $\begin{array}[t]{rll} 2a+6+4b-a+2+b&=&2a-a+4b+b+6+2 \\[5pt] &=&a+5b+8 \end{array}$
  • $\begin{array}[t]{rll} &&2a+6+4b-a+2+b \\[5pt] &=&2a-a+4b+b+6+2 \\[5pt] &=&a+5b+8 \end{array}$
  • 2) $\begin{array}[t]{rll} a\cdot(2b+3c)+ab&=&2ab+3ac+ab \\[5pt] &=&2ab+ab+3ac\\[5pt] &=& 3ab+3ac \end{array}$
  • $\begin{array}[t]{rll} &&a\cdot(2b+3c)+ab \\[5pt] &=&2ab+3ac+ab \\[5pt] &=&2ab+ab+3ac\\[5pt] &=& 3ab+3ac \end{array}$
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Aufgaben
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1.  Vereinfache den Term und fasse zusammen.
a)  $a+2a+a$ b)  $x+2+x+4$ c)  $2c+c+3-c$
d)  $s-2s+4s$ e)  $1,8x-4x+8+3x$ f)  $\dfrac{1}{2}x+8+\dfrac{3}{2}x+1,6+2x$
a)  $a+2a+a$
b)  $x+2+x+4$
c)  $2c+c+3-c$
d)  $s-2s+4s$
e)  $1,8x-4x+8+3x$
f)  $\dfrac{1}{2}x+8+\dfrac{3}{2}x+1,6+2x$
2.  Vereinfache den Term und fasse zusammen.
a)  $a+3a+b$ b)  $x+y+x+2-y$ c)  $2x+2y-x+y$
d)  $x-2+2y-3x-4y$ e)  $\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}y+2x+\dfrac{3}{4}y$ f)  $\dfrac{3}{2}b-\dfrac{1}{2}c+3b+\dfrac{3}{4}$
a)  $a+3a+b$
b)  $x+y+x+2-y$
c)  $2x+2y-x+y$
d)  $x-2+2y-3x-4y$
e)  $\dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}y+2x+\dfrac{3}{4}y$
f)  $\dfrac{3}{2}b-\dfrac{1}{2}c+3b+\dfrac{3}{4}$
3.  Vereinfache wenn möglich und setze für die Variable $\boldsymbol{s}$ $=$ $\boldsymbol{3}$ in den Term ein. Berechne den Wert des Terms.
a)  $5+s$ b)  $s-7$ c)  $s+1-s-2+s$
d)  $2s-4+6s$ e)  $4+2s+5s-6$ f)  $\dfrac{1}{2}s-\dfrac{3}{2}+2s+\dfrac{3}{4}s$
a)  $5+s$
b)  $s-7$
c)  $s+1-s-2+s$
d)  $2s-4+6s$
e)  $4+2s+5s-6$
f)  $\dfrac{1}{2}s-\dfrac{3}{2}+2s+\dfrac{3}{4}s$
4.  Vereinfache wenn möglich und setze für die Varibale $\boldsymbol{a}$ $=$ $\boldsymbol{-2}$ sowie für $\boldsymbol{b}$ $=$ $\boldsymbol{5}$ ein. Berechne den Wert des Terms.
a)  $a+b$ b)  $a+2b$ c)  $4a-4b+a$
d)  $6a-\dfrac{1}{2}b+a$ e)  $\dfrac{3}{2}a+\dfrac{2}{5}b$ f)  $\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{7}b+2a$
a)  $a+b$
b)  $a+2b$
c)  $4a-4b+a$
d)  $6a-\dfrac{1}{2}b+a$
e)  $\dfrac{3}{2}a+\dfrac{2}{5}b$
f)  $\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{7}b+2a$
5.  Zeige, dass die Terme äquivalent sind.
a)  $2(x-y^2)-x$ und $x-2y^2$
b)  $-5\cdot3s+4s-2s$ und $-13s$
a)  $2(x-y^2)-x$ und $x-2y^2$
b)  $-5\cdot3s+4s-2s$ und $-13s$
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1. Vereinfache den Term und fasse zusammen.
a)  $\begin{array}[t]{llll} a+2a+a&=& 4a \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} x+2+x+4&=& x+x+2+4\\ &=& 2x+6 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} 2c+c+3-c&=& 2c+c-c+3\\ &=& 2c+3 \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{llll} s-2s+4s&=& 3s \end{array}$
e)   $\begin{array}[t]{llll} 1,8x-4x+8+3x&=& 1,8x-4x+3x+8\\ &=& 0,8x+8 \end{array}$
e)   $\begin{array}[t]{llll} & 1,8x-4x+8+3x&\\[3pt] =&1,8x-4x+3x+8\\ =&0,8x+8 \end{array}$
f)   $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{1}{2}x+8+\dfrac{3}{2}x+1,6+2x&=& \dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}x+2x+8+1,6\\ &=& 4x+9,6 \end{array}$
f)   $\begin{array}[t]{llll} & \dfrac{1}{2}x+8+\dfrac{3}{2}x+1,6+2x\\[3pt] =&\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}x+2x+8+1,6\\[3pt] =& 4x+9,6 \end{array}$
2.  Vereinfache den Term und fasse zusammen.
a)  $\begin{array}[t]{llll} a+3a+b&=& a+3a+b\\ &=& 4a+b \end{array}$
b)   $\begin{array}[t]{llll} x+y+x+2-y&=& x+x+y-y+2\\ &=& 2x+2 \end{array}$
b)   $\begin{array}[t]{llll} &x+y+x+2-y&\\[3pt] =&x+x+y-y+2\\[3pt] =&2x+2 \end{array}$
c)   $\begin{array}[t]{llll} 2x+2y-x+y&=&2x-x+2y+y\\[3pt] &=& x+3y \end{array}$
c)   $\begin{array}[t]{llll} & 2x+2y-x+y&\\[3pt] =&2x-x+2y+y\\[3pt] =&x+3y \end{array}$
d)   $\begin{array}[t]{llll} x-2+2y-3x-4y&=& x-3x+2y-4y-2\\ &=& -2x-2y-2 \end{array}$
d)   $\begin{array}[t]{llll} & x-2+2y-3x-4y&\\[3pt] =&x-3x+2y-4y-2\\[3pt] =&-2x-2y-2 \end{array}$
e)   $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}y+2x+\dfrac{3}{4}y&=& \dfrac{1}{2}x+2x-\dfrac{1}{4}y+\dfrac{3}{4}y\\ &=& \dfrac{5}{2}x+\dfrac{2}{4}y\\ &=& \dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}y \end{array}$
e)   $\begin{array}[t]{llll} & \dfrac{1}{2}x-\dfrac{1}{4}y+2x+\dfrac{3}{4}y&\\[3pt] =&\dfrac{1}{2}x+2x-\dfrac{1}{4}y+\dfrac{3}{4}y\\[3pt] =&\dfrac{5}{2}x+\dfrac{2}{4}y\\[3pt] =&\dfrac{5}{2}x+\dfrac{1}{2}y \end{array}$
f)   $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{3}{2}b-\dfrac{1}{2}c+3b+\dfrac{3}{4}&=& \dfrac{3}{2}b+3b-\dfrac{1}{2}c+\dfrac{3}{4}\\ &=& \dfrac{3}{2}b+\dfrac{6}{2}b-\dfrac{1}{2}c+\dfrac{3}{4}\\ &=& \dfrac{9}{2}b-\dfrac{1}{2}c+\dfrac{3}{4} \end{array}$
f)   $\begin{array}[t]{llll} & \dfrac{3}{2}b-\dfrac{1}{2}c+3b+\dfrac{3}{4}&\\[3pt] =&\dfrac{3}{2}b+3b-\dfrac{1}{2}c+\dfrac{3}{4}\\[3pt] =&\dfrac{3}{2}b+\dfrac{6}{2}b-\dfrac{1}{2}c+\dfrac{3}{4}\\[3pt] =& \dfrac{9}{2}b-\dfrac{1}{2}c+\dfrac{3}{4} \end{array}$
3.  Vereinfache wenn möglich und setze für die Variable $\boldsymbol{s}$ $=$ $\boldsymbol{3}$ in den Term ein. Berechne den Wert des Terms.
a)  $\begin{array}[t]{llll} 5+s&=& 5+3\\ &=& 8 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} s-7&=& 3-7\\ &=& -4 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} s+1-s-2+s&=& s-s+s+1-2\\ &=& s-1\\ &=& 3-1\\ &=& 2 \end{array}$
c)   $\begin{array}[t]{llll} &s+1-s-2+s&\\[3pt] =& s-s+s+1-2\\[3pt] =& s-1\\[3pt] =& 3-1\\[3pt] =& 2 \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{llll} 2s-4+6s&=& 2s+6s-4\\ &=& 8s-4\\ &=& 8\cdot3-4\\ &=& 24-4\\ &=& 20 \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} 4+2s+5s-6&=& 2s+5s+4-6\\ &=& 7s-2\\ &=& 7\cdot3-2\\ &=& 21-2\\ &=& 19 \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} &&4+2s+5s-6\\ &=& 2s+5s+4-6\\ &=& 7s-2\\ &=& 7\cdot3-2\\ &=& 21-2\\ &=& 19 \end{array}$
f)   $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{1}{2}s-\dfrac{3}{2}+2s+\dfrac{3}{4}s&=& \dfrac{1}{2}s+2s+\dfrac{3}{4}s-\dfrac{3}{2}\\ &=& \dfrac{2}{4}s+\dfrac{3}{4}s+2s-\dfrac{3}{2}\\ &=& \dfrac{5}{4}s+2s-\dfrac{3}{2}\\ &=& \dfrac{13}{4}s-\dfrac{3}{2}\\ &=& \dfrac{13}{4}\cdot 3-\dfrac{6}{4}\\ &=& \dfrac{39}{4}-\dfrac{6}{4}\\ &=& \dfrac{33}{4} \end{array}$
f)   $\begin{array}[t]{llll} & \dfrac{1}{2}s-\dfrac{3}{2}+2s+\dfrac{3}{4}s&\\[3pt] =&\dfrac{1}{2}s+2s+\dfrac{3}{4}s-\dfrac{3}{2}\\[3pt] =& \dfrac{2}{4}s+\dfrac{3}{4}s+2s-\dfrac{3}{2}\\[3pt] =&\dfrac{5}{4}s+2s-\dfrac{3}{2}\\[3pt] =& \dfrac{13}{4}s-\dfrac{3}{2}\\[3pt] =& \dfrac{13}{4}\cdot 3-\dfrac{6}{4}\\[3pt] =& \dfrac{39}{4}-\dfrac{6}{4}\\[3pt] =& \dfrac{33}{4} \end{array}$
4.  Vereinfache wenn möglich und setze für die Varibale $\boldsymbol{a}$ $=$ $\boldsymbol{-2}$ sowie für $\boldsymbol{b}$ $=$ $\boldsymbol{5}$ ein. Berechne den Wert des Terms.
a)  $\begin{array}[t]{llll} a+b&=& -2+5\\ &=& 3 \end{array}$
b)  $\begin{array}[t]{llll} a+2b&=& -2+2\cdot5\\ &=& -2+10\\ &=& 8 \end{array}$
c)  $\begin{array}[t]{llll} 4a-4b+a&=&4a+a-4b\\ &=& 5a-4b\\ &=& 5\cdot(-2)-4\cdot5\\ &=& -10-20\\ &=& -30 \end{array}$
d)  $\begin{array}[t]{llll} 6a-\dfrac{1}{2}b+a&=& 6a+a-\dfrac{1}{2}b\\ &=& 7a-\dfrac{1}{2}b\\ &=& 7\cdot(-2)-\dfrac{1}{2}\cdot5\\ &=& -14-\dfrac{5}{2}\\ &=& -\dfrac{33}{2} \end{array}$
e)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{3}{2}a+\dfrac{2}{5}b&=& \dfrac{3}{2}\cdot(-2)+\dfrac{2}{5}\cdot5\\ &=& -3+2\\ &=& -1 \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{llll} \dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{7}b+2a&=& \dfrac{1}{2}a+2a-\dfrac{1}{7}b\\ &=&\dfrac{5}{2}a-\dfrac{1}{7}b\\ &=& \dfrac{5}{2}\cdot(-2)-\dfrac{1}{7}\cdot5\\ &=& -5-\dfrac{5}{7}\\ &=& -\dfrac{35}{7}-\dfrac{5}{7}\\ &=& -\dfrac{40}{7} \end{array}$
f)  $\begin{array}[t]{llll} &&\dfrac{1}{2}a-\dfrac{1}{7}b+2a\\ &=& \dfrac{1}{2}a+2a-\dfrac{1}{7}b\\ &=&\dfrac{5}{2}a-\dfrac{1}{7}b\\ &=& \dfrac{5}{2}\cdot(-2)-\dfrac{1}{7}\cdot5\\ &=& -5-\dfrac{5}{7}\\ &=& -\dfrac{35}{7}-\dfrac{5}{7}\\ &=& -\dfrac{40}{7} \end{array}$
5.  Zeige, dass die Terme äquivalent sind.
a)  $\begin{array}[t]{llll} 2(x-y^2)-x&=& 2x-2y^2-x\\ &=& 2x-x-2y^2\\ &=& x-2y^2 \end{array}$
Die Terme sind äquivalent.
b)  $\begin{array}[t]{llll} -5\cdot3s+4s-2s&=& -15s+4s-2s\\ &=& -13s \end{array}$
Die Terme sind äquivalent.
b)  $\begin{array}[t]{llll} &&-5\cdot3s+4s-2s\\ &=& -15s+4s-2s\\ &=& -13s \end{array}$
Die Terme sind äquivalent.
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