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Einführung

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Betrachte den Term:
$T(x)=x^2+2x-2x\cdot x +8x$
a)
Vereinfache so weit wie möglich.
b)
Berechne den Termwert über $\mathbb{G}=\{0;1;2;3;4\}$.
c)
Überprüfe, ob es einen Wert im Grundraum $\mathbb{G}=\{0;1;2\}$ gibt, für den $T(x)$ äquivalent zum Term
$T_1(x)=x^2+8x$ ist.
d)
Welche der folgenden Zahlen können der Termwert von $T(x)$ sein?
$9,\;13,\; 16,\; 18,\;21$
$9;\;13,\; 16,\; 18,\;21$

Aufgabe 1

Berechne die Termwerte über dem entsprechenden Grundraum.
b)
$T(x)=(x+1)^2$ und $\mathbb{G}=\{3;4;5\}$
d)
$T(y)=81:y$ und $\mathbb{G}=\{3;9;27\}$
f)
$T(b)=b+5-2b$ und $\mathbb{G}=\{10;11;12\}$
h)
$T(c)=4\cdot c -1$ und $\mathbb{G}=\{0;5;10\}$

Aufgabe 2

Finde einen Term, der zu den folgenden Termwerten passt.
b)
xT(x)
-2 5
-1 2
0 1
1 2
2 5
d)
xT(x)
-2 -4
-1 -2
0 0
1 2
2 4

Aufgabe 3

Überprüfe, ob es einen Wert im Grundraum $\mathbb{G}=\{0;1;2;3;4\}$ gibt, für den die vier Terme äquivalent sind.
b)
$T_2(x)=8(3+x)$
d)
$T_4(x)=2(12+x)$

Aufgabe 4

Vereinfache die Terme so weit wie möglich.
b)
$x\cdot x+2x+3x^2$
d)
$-7x-2y-4x$
f)
$0,5x+1,5x^2+0,5x$
h)
$x^3+x^4+x^2-x^3$

Aufgabe 5

Finde unter den folgenden Zahlen diejenigen, die Termwerte von $T(x)=5+2x$ sein können. Dabei ist $x \in \mathbb{Z}$.

Aufgabe 6

Finde zu den Zahlenrätseln den passenden Term und berechne den Termwert für $\mathbb{G}=\{2;4;6\}$.
a)
Subtrahiere vom Vierfachen eine Zahl $7$.
b)
Multipliziere die Summe einer Zahl und $5$ mit $2$.
c)
Dividiere das Dreifache einer Zahl durch $6$ und subtrahiere $1$.
d)
Addiere zum Quadrat einer Zahl die Hälfte der Zahl.

Aufgabe 7

Wähle unter den folgenden Termen diejenigen aus, die den Flächeninhalt der Figur in Abbildung 2 beschreiben.
  1. $\;11+2x$
  2. $\;24+8x+3x$
  3. $\;24+2x$
  4. $\;24-x^2$
  5. $\; 11x+24$

Aufgabe 8

Finde in jedem Aufgabenteil einen Term, der die Fläche beschreibt.

Aufgabe 9

Liam möchte sich einen neuen Handyvertrag zulegen. Er entscheidet sich dafür, einen Vertrag zu wählen, der eine Flatrate fürs Internet und fürs Telefonieren enthält. Weil er nur noch mit seiner Oma SMS schreibt, entscheidet er sich gegen eine SMS Flatrate. Er hat zwei verschiedene Tarife zur Auswahl:
Tarif 2:
Monatliche Grundgebür: $ 16,95 \;€$.
Preis pro SMS: $0,05\;€$
Tarif 2:
Monatliche Grundgebür: $ 16,95 \;€$.
Preis pro SMS: $0,05 \;€$
a)
Stelle für beide Tarife einen Term auf, der die monatlichen kosten beschreibt. Dabei soll $x$ die Anzahl der SMS sein, die Liam schreibt.
b)
Berechne die monatlichen Kosten, die Liam hat, wenn er seiner Oma $10$ SMS schreibt.
c)
Wie viele SMS müsste Liam an seine Oma schreiben, damit sich Tarif 2 lohnt?
Bildnachweise [nach oben]
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
Ordne zuerst und fasse dann zusammen:
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-2x\cdot x +8x&=&x^2-2x^2+2x+8x \\[5pt] &=&-x^2+10x \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^2+2x-2x\cdot x +8x&=&… \end{array}$
b)
Setze die Werte aus $\mathbb{G}$ für $x$ ein:
$T(0)=-0^2+10\cdot 0=0$
$T(1)=-1^2+10\cdot 1=9$
$T(2)=-2^2+10\cdot 2=16$
$T(3)=-3^2+10\cdot 3=21$
$T(4)=-4^2+10\cdot 4=24$
c)
Um zu überprüfen, ob es in dem Grundraum einen Wert gibt, für den die Terme äquivalent sind, musst du die Termwerte füt $\mathbb{G}$ berechnen. Für $T(x)$ hast du das bereits im letzten Aufgabenteil gemacht. Es fehlen also nur noch die Werte für $T_1(x)$:
$T_1(0)=0^2+8\cdot 0=0$
$T_1(1)=1^2+8\cdot 1=9$
$T_1(2)=2^2+8\cdot 2=20$
$T_1(3)=3^2+8\cdot 3=33$
Die Terme habe für $x\in \{0;1\}$ den gleichen Wert. Sie sind nicht äquivalent, da sich der Termwert für $x=2$ und $x=3$ unterscheidet.
d)
Wie du bereits in Aufgabenteil $b)$ gesehen hast, können die Zahlen $9$, $16$ und $21$ Termwerte von $T(x)$ sein. Die Werte $13$ und $18$ können keine Termwerte von $T(x)$ sein, da du kein $x\in \mathbb{Z}$ einsetzten kannst, sodass sich diese Zahlen als Termwert ergeben.

Aufgabe 1

Um den Termwert zu berechnen, musst du die Werte aus dem Grundraum für die Variable einsetzten und vereinfachen.
a)
Setzte zuerst den Wert $1$ in $T(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(1)&=&1+2 \\[5pt] &=&3 \end{array}$
Als nächstes musst du den Wert $3$ in $T(x)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} T(3)&=& 3+2 \\[5pt] &=&5 \end{array}$
Setzte als Letztes den Wert $5$ in $T(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(5)&=& 5+2\\[5pt] &=&7 \end{array}$
b)
Setzte zuerst den Wert $3$ in $T(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(3)&=&(3+1)^2 \\[5pt] &=&16 \end{array}$
Als nächstes musst du den Wert $4$ in $T(x)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} T(4)&=&(4+1)^2 \\[5pt] &=&25 \end{array}$
Setzte als Letztes den Wert $5$ in $T(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(5)&=&(5+1)^2 \\[5pt] &=&36 \end{array}$
c)
Setzte zuerst den Wert $0$ in $T(y)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(0)&=&0+1 \\[5pt] &=&1 \end{array}$
Als nächstes musst du den Wert $2$ in $T(y)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} T(2)&=&2^2+1 \\[5pt] &=&5 \end{array}$
Setzte als Letztes den Wert $4$ in $T(y)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(4)&=&4^2+1 \\[5pt] &=&17 \end{array}$
d)
Setzte zuerst den Wert $3$ in $T(y)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(3)&=& 81:3 \\[5pt] &=& 27 \end{array}$
Als nächstes musst du den Wert $9$ in $T(y)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} T(9)&=&81:9\\[5pt] &=&9 \end{array}$
Setzte als Letztes den Wert $27$ in $T(y)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(27)&=& 81:27 \\[5pt] &=&3 \end{array}$
e)
Setzte zuerst den Wert $0$ in $T(a)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(0)&=&0+5\cdot 0^2 \\[5pt] &=&0 \end{array}$
Als nächstes musst du den Wert $1$ in $T(a)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} T(1)&=&1+5\cdot 1^2\\[5pt] &=&6 \end{array}$
Setzte als Letztes den Wert $2$ in $T(a)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(2)&=&2+5\cdot 2^2 \\[5pt] &=&21 \end{array}$
f)
Setzte zuerst den Wert $10$ in $T(b)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(10)&=&10+5-2\cdot 10 \\[5pt] &=& -5 \end{array}$
Als nächstes musst du den Wert $11$ in $T(b)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} T(11)&=&11+5-2\cdot 11\\[5pt] &=&-6 \end{array}$
Setzte als Letztes den Wert $12$ in $T(b)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(12)&=&12+5-2\cdot 12 \\[5pt] &=&-7 \end{array}$
g)
Setzte zuerst den Wert $1$ in $T(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(1)&=& \dfrac{4}{1} \\[5pt] &=&4 \end{array}$
Als nächstes musst du den Wert $2$ in $T(x)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} T(2)&=&\dfrac{4}{2}\\[5pt] &=&2 \end{array}$
Setzte als Letztes den Wert $4$ in $T(x)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(4)&=&\dfrac{4}{4} \\[5pt] &=&1 \end{array}$
h)
Setzte zuerst den Wert $0$ in $T(c)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(0)&=& 4\cdot 0-1\\[5pt] &=&-1 \end{array}$
Als nächstes musst du den Wert $5$ in $T(c)$ einsetzen:
$\begin{array}[t]{rll} T(5)&=&4\cdot 5-1\\[5pt] &=&19 \end{array}$
Setzte als Letztes den Wert $10$ in $T(c)$ ein:
$\begin{array}[t]{rll} T(10)&=&4\cdot 10 -1 \\[5pt] &=&39 \end{array}$

Aufgabe 2

In dieser Aufgabe sollst du einen Term finden, der zu den Termwerten passt.
a)
Zu diesen Termwerten passt der Term:
$T(x)=x+2$
b)
Zu diesen Termwerten passt der Term:
$T(x)=x^2+1$
c)
Zu diesen Termwerten passt der Term:
$T(x)=x-4$
d)
Zu diesen Termwerten passt der Term:
$T(x)=2x$

Aufgabe 3

Um zu überprüfen, ob es solche Werte im Grundraum gibt, kannst du eine Tabelle erstellen.
x$T_1(x)$$T_2(x)$$T_3(x)$$T_4(x)$
$0$$24$ $24$ $24$$24$
$1$$32$$32$$30$$26$
$2$$40$$40$$36$$28$
$3$$48$$48$$42$$30$
$4$$56$$56$$48$$32$
Die Termwerte aller vier Terme stimmen für $x=0$ überein. Außerdem siehst du, dass alle Termwerte von $T_1(x)$ und $T_2(x)$ übereinstimmen. Diese beiden Terme sind äquivalent.

Aufgabe 4

Wenn du Terme vereinfachen sollst, kannst du gleiche Potenzen von gleichen Variablen zusammen fassen. Ordne gleichartige Summanden zuerst und fasse dann zusammen.
a)
$\begin{array}[t]{rll} 3x-5x+7x&=&5x \\[5pt] \end{array}$
b)
$\begin{array}[t]{rll} x\cdot x+2x+3x^2&=& x^2+3x^2+2x \\[5pt] &=& 4x^2+2x\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x\cdot x+2x+3x^2&=&… \end{array}$
c)
$\begin{array}[t]{rll} 7x^2+3x+2x^2&=&7x^2+2x^2+3x \\[5pt] &=&9x^2+3x \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 7x^2+3x+2x^2&=&… \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} -7x-2y-4x&=& -7x-4x-2y \\[5pt] &=&-11x-2y \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} -7x-2y-4x&=& … \end{array}$
e)
$\begin{array}[t]{rll} x+(y-2x)&=& x-2x+y \\[5pt] &=& -x+y \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x+(y-2x)&=& … \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} 0,5x+1,5x^2+0,5&=& 0,5x+0,5x+1,5x^2 \\[5pt] &=&x+1,5x^2 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 0,5x+1,5x^2+0,5&=&… \end{array}$
g)
$\begin{array}[t]{rll} 12+3x-8x+9&=& 12+9+3x-8x \\[5pt] &=& 21-5x\\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} 12+3x-8x+9&=&… \end{array}$
h)
$\begin{array}[t]{rll} x^3+x^4+x^2-x^3&=& x^3-x^3+x^2+x^4 \\[5pt] &=&x^2+x^4 \\[5pt] \end{array}$
$\begin{array}[t]{rll} x^3+x^4+x^2-x^3&=& … \end{array}$

Aufgabe 5

Du musst für jeden der Werte überprüfen, ob es ein $x\in \mathbb{Z}$ gibt, sodass $T(x)$ den jeweiligen Wert annimmt.
$T(-2)=5-4=\color{#87c800}{1}$
$T(-1)=5-2=\color{#87c800}{3}$
$T(0)=\color{#87c800}{5}$
$T(1)=5+2=\color{#87c800}{7}$
$T(2)=5+4=\color{#87c800}{9}$
$T(4)=5+8=\color{#87c800}{13}$
Für die Werte $\color{#dc1400}{3,\; 6,\; 12}$ und $\color{#dc1400}{14}$ findest du kein passendes $x$.

Aufgabe 6

Du sollst für die Zahlenrätsel den passenden Term finden und anschließend die Werte aus $\mathbb{G}$ einsetzten.
a)
Der passende Term ist:
$T(x)=4x-7$
Setzte jetzt die Werte aus $\mathbb{G}$ ein:
$T(2)=4\cdot 2-7=1$
$T(4)=4\cdot 4-7=9$
$T(6)=4\cdot 6-7=17$
b)
Der passende Term ist:
$T(x)=(x+5)\cdot 2$
Setzte jetzt die Werte aus $\mathbb{G}$ ein:
$T(2)=(2+5)\cdot 2=14$
$T(4)=(4+5)\cdot 2=18$
$T(6)=(6+5)\cdot 2=22$
c)
Der passende Term ist:
$T(x)=3x:6-1$
Setzte jetzt die Werte aus $\mathbb{G}$ ein:
$T(2)=(3\cdot2):6-1=0$
$T(4)=(3\cdot4):6-1=1$
$T(6)=(3\cdot6):6-1=2$
d)
Der passende Term ist:
$T(x)=x^2+\dfrac{1}{2}\cdot x$
Setzte jetzt die Werte aus $\mathbb{G}$ ein:
$T(2)=2^2+\dfrac{1}{2}\cdot 2=5$
$T(4)=4^2+\dfrac{1}{2}\cdot 4=18$
$T(6)=6^2+\dfrac{1}{2}\cdot 6=39$

Aufgabe 7

Die Fläche setzt sich aus dem großen Rechteck mit den Seitenlängen $3$ und $8$ und den beiden kleinen Rechtecken mit den Seitenlängen $x$ und $3$ beziehungsweise $x$ und $8$ zusammen. Die Fläche von einem einzelnen Rechteck kannst du durch das Produkt der Seitenlängen berechnen. Um den Inhalt der ganzen Fläche zu berechnen, musst du die Flächen der drei Rechtecke addieren. Damit kommst du auf:
$8\cdot 3 + x \cdot 3 + x \cdot 8$
Diesen Term kannst du auf verschiedene Arten umformen:
$\begin{array}[t]{rll} 8\cdot 3 + x \cdot 3 + x \cdot 8&=&24+3x+8x \\[5pt] &=& 24+11x \end{array}$
Die Terme $2$ und $5$ beschreiben also die Fläche in Abbildung $2$. Die anderen Terme sind nicht äquivalent.

Aufgabe 8

Du sollst jeweils einen Term finden der die Fläche beschreibt.
a)
Die Fläche setzt sich aus drei Rechecken zusammen. Die Rechtecke an den Seiten haben die Seitenlängen $3$ und $x$. Das Rechteck in der Mitte hat die Seitenlängen $x$ und $5$. Wie in der Aufgabe vorher musst du zuerst die Flächeninhalte der einzelnen Flächen berechnen und diese annschließend zusammen zählen:
$\begin{array}[t]{rll} 3\cdot x+5\cdot x+ 3\cdot x&=&11x \\[5pt] \end{array}$
Der Inhalt der Fläche beträgt $11x$.
b)
Der Flächeninhalt setzt sich auch hier aus zwei Teilen zusammen. Der erste Teil ist das Rechteck mit Seitenlängen $7$ und $x$. Der zweite Teil ist die Hälfte des Rechteckes mit den Seitenlängen $7$ und $x$.
$\begin{array}[t]{rll} 7\cdot x + \dfrac{1}{2} \cdot 7\cdot x &=&7x+3,5x \\[5pt] &=&10,5x \end{array}$
Der Inhalt der Fläche beträgt $10,5x$.

Aufgabe 9

a)
Beide Tarife kannst du durch jeweils einen Term beschreiben, der sich aus der monatlichen Grundgebühr und den Kosten für die geschriebenen SMS zusammensetzt:
$T_1$ ist der Term für Tarif $1$ und $T_2$ der Term für Tarif $2$.
$T_1(x)=14,95+0,09\cdot x$
und
$T_2(x)=16,95+0,05\cdot x$
b)
Um die monatlichen Kosten zu berechnen, die Liam hat, wenn er $10$ SMS an seine Oma schreibt, musst du den Wert $10$ für $x$ in die Terme einsetzen.
$T_1(10)=14,95+0,09\cdot 10 = 15,85$
$T_2(10)=16,95+0,05\cdot 10 = 17,45$
Liam würde mit Tarif $1$ $15,85€$ und mit Tarif $2$ $17,45€$ zahlen.
c)
Tarif $2$ lohnt sich nur, wenn Liam sehr viele SMS an seine Oma schreibt. Du sollst jetzt herausfinden, ab wieviel SMS es für ihn günstiger wäre, Tarif $2$ zu wählen. Dafür musst du überprüfen, ab welchem Wert $x$ der Termwert von $T_2$ größer ist als der von $T_1$. Da du in Aufgabenteil $b)$ bereits gesehen hast, dass Tarif $2$ bei $10$ SMS im Monat immer noch deutlich teurer ist, solltest du viel größere Werte einsetzten. Im Folgenden siehst du die Kosten bei $40$, $50$ und $60$ SMS:
$T_1(40)=18,55$ und $T_2(40)=18,95$
$T_1(50)=19,45$ und $T_2(50)=19,45$
$T_1(60)=20,32$ und $T_2(60)=19,95$
Du kannst sehen, dass Liam mit beiden Tarifen gleich viel zahlen würde, wenn er genau $50$ SMS an sein Oma schreibt. Sobald er mehr als $50$ SMS versendet, ist Tarif $2$ für ihn günstiger.
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