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Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Ordne den Texten die entsprechenden Terme zu. Zu manchen Texten passen mehrere Terme.
TermText
$4x$Multipliziere eine Zahl mit $4$.
$4+x$Dividiere eine Zahl durch $4$.
$x\cdot4$Bilde die Summe aus einer Zahl und $4$.
$x-4$Bilde das Produkt aus einer Zahl und $4$.
$x:4$Subtrahiere $4$ von einer Zahl.
$4:x$Bilde den Quotienten aus einer Zahl und $4$.
$x+4$Bilde den Quotienten aus $4$ und einer Zahl.
$4-x$Bilde die Differenz aus einer Zahl und $4$.
Vermehre eine Zahl um $4$.
Dividiere $4$ durch eine Zahl.
#term

Aufgabe 1

Stelle Terme auf und vereinfache diese anschließend.
a)
Zur Summe aus dem Fünffachen einer Zahl und $28$ addiert man die Differenz aus $8$ und dem Doppelten einer Zahl.
b)
Zur Differenz aus dem Sechsfachen einer Unbekannten und $10$ addiert man die Summe aus der Zahl und $3$.
c)
Zum Vierfachen einer Zahl addiert man das Dreifache der Summe aus der Zahl und $11$.
d)
Von der fünffachen Summe aus einer Zahl und $4$ subtrahiert man die Summe aus der Zahl und $7$.
#termaufstellen#termevereinfachen#term

Aufgabe 2

Ordne den Texten die entsprechenden Terme zu.
TermText
$7\cdot(3-x)-3\cdot(1-x)$Bilde das Produkt aus $7$ und der Differenz aus einer Zahl und $3$ und ziehe davon das Dreifache der Differenz aus $1$ und der Zahl ab.
$7\cdot(x-3)-3\cdot(1-x)$Multipliziere die Differenz aus einer Zahl und $3$ mit $7$. Subtrahiere davon das Dreifache der um $1$ verringerten Zahl.
$7\cdot(x-3)-3\cdot(x-1)$Subtrahiere von $3$ eine Zahl und multipliziere das Ergebnis mit $7$. Subtrahiere dann das Dreifache der Differenz aus $1$ und der Zahl.
#term

Aufgabe 3

Stelle Gleichungen auf und löse diese anschließend.
a)
Addiert man zum Doppelten einer Zahl $8$, so erhält man dasselbe, wie wenn man das Produkt aus der Zahl und $5$ bildet und dazu $9$ addiert.
b)
Vermindert man eine Zahl um die Summe aus ihrem dritten und sechsten Teil, so ist das Ergebnis $88$.
c)
Das Fünfzehnfache einer Zahl, vermindert um das Achtfache der um $3$ vergrößerten Zahl, ergibt $56$.
d)
Dividiere die Summe aus einer Zahl und $17$ durch $4$. Man erhält dasselbe, wenn man die Differenz aus einer Zahl und $17$ mit $3$ multipliziert.
e)
Multipliziert man die Summe aus einer Zahl und $18$ mit $3$ und subtrahiert davon die Summe aus dem Siebenfachen der Zahl und $20$, so erhält man die Differenz aus der Zahl und $56$.
#gleichung#variable

Aufgabe 4

a)
Bei Google arbeiten drei Angestellte, die zusammen monatlich $9.984,5\;€$ verdienen. Der erste Mitarbeiter verdient $\dfrac{2}{3}$ von dem zweiten Mitarbeiter und der dritte Mitarbeiter verdient das Eineinhalbfache von dem zweiten Mitarbeiter. Wie viel verdient jeder?
b)
Julias Oma hat ihr nach ihrem Tod ein Drittel ihres Vermögens vererbt. Des Weiteren vererbte sie noch die Hälfte ihres Vermögens an ihre Kinder und spendete den Rest von $25.000\;€$ an die Organisation „Brot für die Welt“. Wie hoch war ihr Vermögen insgesamt?
c)
Eine Mathematikprobearbeit in der 8. Klasse führte zu folgendem Ergebnis:
  • $\dfrac{1}{2}$ der Schüler erhielten die Note 2 oder besser
  • $\dfrac{1}{3}$ der Schüler erhielt die Note 3 und 4
  • $4$ Schüler erhielten die Note 5
Wie viele Schüler schrieben die Probearbeit?
#variable#gleichung
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Terme beschreiben
Bei der nachfolgenden Aufgabe geht es darum, dass du die Terme den Beschreibungstexten zuordnest. Manche Terme können auch durch verschiedene Texte beschrieben werden. Zum Lösen dieser Aufgabe musst du die grundlegenden Fachbegriffe der Mathematik können und wissen, wie man Ergebnisse sowie Rechenvorgänge nennt.
TermTextErklärung
$4x$//
$4+x$//
$x\cdot4$ Bilde das Produkt aus einer Zahl und $4$.
Multipliziere eine Zahl mit $4$.
Die gesuchte Zahl ist $x$, die du mit $4$ malnehmen musst. Das Produkt ist das Ergebnis einer Multiplikation.
$4-x$//
$x-4$Subtrahiere $4$ von einer Zahl.
Bilde die Differenz aus einer Zahl und $4$.
Du musst von der gesuchten Zahl $x$ den Wert $4$ abziehen. Die Differenz ist das Ergebnis einer Subtraktion.
$x:4$Dividiere eine Zahl durch $4$.
Bilde den Quotienten aus einer Zahl und $4$.
Du musst die gesuchte Zahl $x$ durch $4$ teilen. Der Quotient ist das Ergebnis einer Division.
$4:x$Dividiere $4$ durch eine Zahl.
Bilde den Quotienten aus $4$ und einer Zahl.
Hier musst du $4$ durch die gesuchte Zahl $x$ teilen.
$x+4$Vermehre eine Zahl um $4$.
Bilde die Summe aus einer Zahl und $4$.
Du musst die gesuchte Zahl $x$ um $4$ vermehren, d.h. du musst beide Zahlen addieren. Eine Summe ist das Ergebnis einer Addition.
#term

Aufgabe 1

Achte auf die mathematischen Begriffe und wandle diese in Rechenvorgänge um, sodass Terme entstehen.
a)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Zur Summe aus dem Fünffachen einer Zahl und $28$ addiert man die Differenz aus $8$ und dem Doppelten einer Zahl.
$\blacktriangleright$ Mathematische Begriffe erkennen
Zur Summe aus dem Fünffachen einer Zahl und $28$ addiert man die Differenz aus $8$ und dem Doppelten einer Zahl.
$\blacktriangleright$ Term aufstellen und vereinfachen
$\begin{array}{} &&(5x+28)+(8-2x)\\ &=&5x+28+8-2x\\ &=&3x+36\\ \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Zur Differenz aus dem Sechsfachen einer Unbekannten und $10$ addiert man die Summe aus der Zahl und
$3$.
$\blacktriangleright$ Mathematische Begriffe erkennen
Zur Differenz aus dem Sechsfachen einer Unbekannten und $10$ addiert man die Summe aus der Zahl und
$3$.
$\blacktriangleright$ Term aufstellen und vereinfachen
$\begin{array}{} &&(6x-10)+(x+3)\\ &=&6x-10+x+3\\ &=&7x-7\\ \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Zum Vierfachen einer Zahl addiert man das Dreifache der Summe aus der Zahl und $11$.
$\blacktriangleright$ Mathematische Begriffe erkennen
Zum Vierfachen einer Zahl addiert man das Dreifache der Summe aus der Zahl und $11$.
$\blacktriangleright$ Term aufstellen und vereinfachen
$\begin{array}{} &&4x+3\cdot(x+11)\\ &=&4x+3x+33\\ &=&7x+33\\ \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Von der fünffachen Summe aus einer Zahl und $4$ subtrahiert man die Summe aus der Zahl und $7$.
$\blacktriangleright$ Mathematische Begriffe erkennen
Von der fünffachen Summe aus einer Zahl und $4$ subtrahiert man die Summe aus der Zahl und $7$.
$\blacktriangleright$ Term aufstellen und vereinfachen
$\begin{array}{} &&5\cdot(x+4-(x+7)\\ &=&5x+20-x-7\\ &=&4x+13\\ \end{array}$
#termevereinfachen#termaufstellen#term

Aufgabe 2

Ordne den Texten die entsprechenden Terme zu.
TermTextErklärung
$7\cdot(3-x)-3\cdot(1-x)$Subtrahiere von $3$ eine Zahl und multipliziere das Ergebnis mit $7$. Subtrahiere dann das Dreifache der Differenz aus $1$ und der Zahl. Der Unterschied zwischen diesem Term und den anderen ist der Umstand, dass man von $3$ die unbekannte Zahl $x$ abziehen muss und nicht umgekehrt. Außerdem muss man bei dem hinteren Teil des Terms die Differenz, also das Ergebnis einer Subtraktion, aus $1$ und der gesuchten Zahl $x$ bilden und nicht umgekehrt.
$7\cdot(x-3)-3\cdot(1-x)$Bilde das Produkt aus $7$ und der Differenz aus einer Zahl und $3$ und ziehe davon das Dreifache der Differenz aus $1$ und der Zahl ab.Der Unterschied zwischen diesem Term und den anderen ist der Umstand, dass man von der unbekannten Zahl $x$ $3$ abziehen muss und nicht umgekehrt. Außerdem muss man bei dem hinteren Teil des Terms die Differenz, also das Ergebnis einer Subtraktion, aus $1$ und der gesuchten Zahl $x$ bilden und nicht umgekehrt.
$7\cdot(x-3)-3\cdot(x-1)$Multipliziere die Differenz aus einer Zahl und $3$ mit $7$. Subtrahiere davon das Dreifache der um $1$ verringerten Zahl.Der Unterschied zwischen diesem Term und den anderen ist der Umstand, dass man die Differenz (Ergebnis einer Subtraktion) aus der gesuchten Zahl $x$ und $3$ bilden. Außerdem muss man bei dem hinteren Teil des Terms das Dreifache der um $1$ verringerten gesuchten Zahl $x$ bilden, sodass $x-1$ entsteht und nicht umgekehrt.
#term

Aufgabe 3

Stelle Gleichungen auf und löse diese anschließend.
a)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Addiert man zum Doppelten einer Zahl $8$, so erhält man dasselbe, wie wenn man das Produkt aus der Zahl und $5$ bildet und dazu $9$ addiert.
$\blacktriangleright$ Mathematische Begriffe erkennen
Addiert man zum Doppelten einer Zahl $8$, so erhält man dasselbe, wie wenn man das Produkt aus der Zahl und $5$ bildet und dazu $9$ addiert.
$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen und lösen
$\begin{array}{} 2x+8&=&x\cdot5+9\\ 2x+8&=&5x+9 \quad\scriptsize\mid\;-8\\ 2x&=&5x+1 \quad\scriptsize\mid\;-5x\\ -3x&=&1 \quad\scriptsize\mid\;:(-3)\\ x&=&-\dfrac{1}{3} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Vermindert man eine Zahl um die Summe aus ihrem dritten und sechsten Teil, so ist das Ergebnis $88$.
$\blacktriangleright$ Mathematische Begriffe erkennen
Vermindert man eine Zahl um die Summe aus ihrem dritten und sechsten Teil, so ist das Ergebnis $88$.
$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen und lösen
$\begin{array}{} x-(\dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{6}x)&=&88\\ x-\dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{6}x&=&88\\ x-\dfrac{2}{6}x-\dfrac{1}{6}x&=&88\\ x-\dfrac{3}{6}x&=&88\\ \dfrac{3}{6}x&=&88 \quad\scriptsize\mid\;\cdot6\\ 3x&=&528 \quad\scriptsize\mid\;:3\\ x&=&176 \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Das Fünfzehnfache einer Zahl, vermindert um das Achtfache der um $3$ vergrößerten Zahl, ergibt $56$.
$\blacktriangleright$ Mathematische Begriffe erkennen
Das Fünfzehnfache einer Zahl, vermindert um das Achtfache der um $3$ vergrößerten Zahl, ergibt $56$.
$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen und lösen
$\begin{array}{} 15x-8\cdot(x+3)&=&56\\ 15x-8x-24&=&56\\ 7x-24&=&56 \quad\scriptsize\mid\;+24\\ 7x&=&80 \quad\scriptsize\mid\;:7\\ x&=&\dfrac{80}{7} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Dividiere die Summe aus einer Zahl und $17$ durch $4$. Man erhält dasselbe, wenn man die Differenz aus einer Zahl und $17$ mit $3$ multipliziert.
$\blacktriangleright$ Mathematische Begriffe erkennen
Dividiere die Summe aus einer Zahl und $17$ durch $4$. Man erhält dasselbe, wenn man die Differenz aus einer Zahl und $17$ mit $3$ multipliziert.
$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen und lösen
$\begin{array}{} (x+17):4&=&(x-17)\cdot3\\ \dfrac{1}{4}x+\dfrac{17}{4}&=&3x-51 \quad\scriptsize\mid\;\cdot4\\ x+17&=&12x-204 \quad\scriptsize\mid\;-17\\ x&=&12x-221 \quad\scriptsize\mid\;-12x\\ -11x&=&221 \quad\scriptsize\mid\;:(-11)\\ x&=&\dfrac{221}{11} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$ Aufgabe aufmerksam lesen
Multipliziert man die Summe aus einer Zahl und $18$ mit $3$ und subtrahiert davon die Summe aus dem Siebenfachen der Zahl und $20$, so erhält man die Differenz aus der Zahl und $56$.
$\blacktriangleright$ Mathematische Begriffe erkennen
Multipliziert man die Summe aus einer Zahl und $18$ mit $3$ und subtrahiert davon die Summe aus dem Siebenfachen der Zahl und $20$, so erhält man die Differenz aus der Zahl und $56$.
$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen und lösen
$\begin{array}{} (x+18)\cdot3-(7x+20)&=&x-56\\ 3x+54-7x-20&=&x-56\\ -4x+34&=&x-56 \quad\scriptsize\mid\;-34\\ -4x&=&x-90 \quad\scriptsize\mid\;-x\\ -5x&=&-90 \quad\scriptsize\mid\;:(-5)\\ x&=&18 \end{array}$
#gleichung#variable

Aufgabe 4

Bei den nachfolgenden Textaufgaben solltest du ähnlich wie bei den anderen Gleichungsaufgaben vorgehen. Lies dir hierzu die Aufgaben zuerst einmal aufmerksam durch. Setze danach $x$ für die gesuchte Zahl ein, sodass du dann deine Gleichung aufstellen und lösen kannst. Vergiss am Ende nicht die Rechenfragen zu beantworten.
a)
$\blacktriangleright$ Lies den Text genau durch
Bei Google arbeiten drei Angestellte, die zusammen monatlich $9.984,5\;€$ verdienen. Der erste Mitarbeiter verdient $\dfrac{2}{3}$ von dem zweiten Mitarbeiter und der dritte Mitarbeiter verdient das Eineinhalbfache von dem zweiten Mitarbeiter. Wie viel verdient jeder?
$\blacktriangleright$ Setze für die gesuchte Zahl $x$ ein
Hier ist die gesuchte Zahl $x$ das Gehalt, des 2. Mitarbeiters. Dadurch kannst du die Gehälter vom 1. und 3. Mitarbeiter in Abhängigkeit davon angeben.
Gehalt des 2. Mitarbeiters ($€$): $x$
Gehalt des 1. Mitarbeiters ($€$): $\dfrac{2}{3}x$
Gehalt des 3. Mitarbeiters ($€$): $1\dfrac{1}{2}x$
Summe aller Gehälter ($€$): $9.984,5$
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf und löse
Beim Aufstellen der Gleichung musst du nun darauf achten deine Angaben in eine korrekte Reihenfolge zu bringen. Da die Summe aller Gehälter insgesamt $9.984,5\;€$ beträgt, kommt dieser Betrag auf die rechte Seite der Gleichung. Auf der linken Seite musst du dann die Gehälter aller drei Mitarbeiter addieren.
$\begin{array}{} x+\dfrac{2}{3}x+1\dfrac{1}{2}x&=&9.984,5\;€\\ \dfrac{x}{1}+\dfrac{2}{3}x+\dfrac{3}{2}x&=&9.984,5\;€\\ \dfrac{x\cdot6}{1\cdot6}+\dfrac{2\cdot2}{3\cdot2}x+\dfrac{3\cdot3}{2\cdot3}x&=&9.984,5\;€\\ \dfrac{6x}{6}+\dfrac{4}{6}x+\dfrac{9}{6}x&=&9.984,5\;€ \quad\scriptsize\mid\;\cdot6\\ 6x+4x+9x&=&9.984,5\;€ \\ 19x&=&9.984,5\;€ \quad\scriptsize\mid\;:19\\ x&=&3.153\;€ \quad\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Beantworte die Rechenfragen
Als letzten Schritt musst du dein Ergebnis interpretieren. In diesem Falle ist das Ergebnis das Gehalt des 2. Mitarbeiters. Mit dieser Angabe kannst du auch die anderen Gehälter errechnen, sodass du zu folgendem Ergebnis gelangst:
Gehalt des 2. Mitarbeiters: $3.153\;€$
Gehalt des 1. Mitarbeiters: $\dfrac{2}{3}x\rightarrow\dfrac{2}{3}\cdot3.153\;€=2.102\;€$
Gehalt des 3. Mitarbeiters: $1\dfrac{1}{2}x\rightarrow1\dfrac{1}{2}\cdot3.153\;€=4.729,5\;€$
b)
$\blacktriangleright$ Lies den Text genau durch
Julias Oma hat ihr nach ihrem Tod ein Drittel ihres Vermögens vererbt. Des Weiteren vererbte sie noch die Hälfte ihres Vermögens an ihre Kinder und spendete den Rest von $25.000\;€$ an die Organisation „Brot für die Welt“. Wie hoch war ihr Vermögen insgesamt?
$\blacktriangleright$ Setze für die gesuchte Zahl $x$ ein
Hier ist die gesuchte Zahl $x$ das Gesamtvermögen der Oma. Dadurch kannst du die Erbanteile von Julia und den Kindern in Abhängigkeit davon angeben.
Gesamtvermögen ($€$): $x$
Erbanteil von Julia ($€$): $\dfrac{1}{3}x$
Erbanteil der Kinder ($€$): $\dfrac{1}{2}x$
Spende ($€$): $25.000$
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf und löse
Beim Aufstellen der Gleichung musst du nun darauf achten deine Angaben in eine korrekte Reihenfolge zu bringen. Da das Gesamtvermögen unbekannt ist, kommt die gesuchte Zahl $x$ auf die rechte Seite der Gleichung. Auf der linken Seite musst du alle Erbanteile sowie die Spende an „Brot für die Welt“ addieren.
$\begin{array}{} \dfrac{1}{3}x+\dfrac{1}{2}x+25.000&=&x \\ \dfrac{1\cdot2}{3\cdot2}x+\dfrac{1\cdot3}{2\cdot3}x+25.000&=&x \\ \dfrac{2}{6}x+\dfrac{3}{6}x+25.000&=&x \\ \dfrac{5}{6}x+25.000&=&x \quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{5}{6}x\\ 25.000&=&\dfrac{1}{6}x \quad\scriptsize\mid\;\cdot6\\ 150.000&=&x \quad\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Beantworte die Rechenfragen
Als letzten Schritt musst du dein Ergebnis interpretieren. In diesem Falle ist das Ergebnis das Gesamtvermögen der Oma. Mit dieser Angabe kannst du auch die Erbanteile von Julia und den Kindern errechnen, sodass du zu folgendem Ergebnis gelangst:
Gesamtvermögen: $150.000\;€$
Erbanteil von Julia: $\dfrac{1}{3}x\rightarrow\dfrac{1}{3}\cdot150.000\;€=50.000\;€$
Erbanteil der Kinder: $\dfrac{1}{2}x\rightarrow\dfrac{1}{2}\cdot150.000\;€=75.000\;€$
c)
$\blacktriangleright$ Lies den Text genau durch
Eine Mathematikprobearbeit in der 8. Klasse führte zu folgendem Ergebnis:
  • $\dfrac{1}{2}$ der Schüler erhielten die Note 2 oder besser
  • $\dfrac{1}{3}$ der Schüler erhielt die Note 3 und 4
  • $4$ Schüler erhielten die Note 5
Wie viele Schüler schrieben die Probearbeit?
$\blacktriangleright$ Setze für die gesuchte Zahl $x$ ein
Hier ist die gesuchte Zahl $x$ die Gesamtzahl der Schüler, die die Arbeit geschrieben haben. Dadurch kannst du die Anzahl der Schüler, die verschiedene Noten erhalten haben, in Abhängigkeit davon angeben.
Gesamtanzahl der Schüler: $x$
Schüler, die Note 2 oder besser erhielten: $\dfrac{1}{2}x$
Schüler, die Note 3 oder 4 erhielten: $\dfrac{1}{3}x$
Schüler, die die Note 5 erhielten: $4$
$\blacktriangleright$ Stelle eine Gleichung auf und löse
Beim Aufstellen der Gleichung musst du nun darauf achten deine Angaben in eine korrekte Reihenfolge zu bringen. Da die Gesamtanzahl der Schüler, die den Test geschrieben haben, unbekannt ist, kommt die gesuchte Zahl $x$ auf die rechte Seite der Gleichung. Auf der linken Seite musst du nun die verschiedenen Anteil der Schüler in Bezug auf ihre Noten addieren.
$\begin{array}{} \dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{3}x+4&=&x \\ \dfrac{1\cdot3}{2\cdot3}x+\dfrac{1\cdot2}{3\cdot2}x+4&=&x \\ \dfrac{3}{6}x+\dfrac{2}{6}x+4&=&x \\ \dfrac{5}{6}x+4&=&x \quad\scriptsize\mid\;-\dfrac{5}{6}x\\ 4&=&\dfrac{1}{6}x \quad\scriptsize\mid\;\cdot6\\ 24&=&x \quad\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Beantworte die Rechenfragen
Als letzten Schritt musst du dein Ergebnis interpretieren. In diesem Falle ist das Ergebnis die Gesamtanzahl der Schüler, die die Arbeit geschrieben haben. Mit dieser Angabe kannst du auch die Anzahlen der Kinder in Bezug auf ihre Noten errechnen, sodass du zu folgendem Ergebnis gelangst:
Gesamtanzahl der Schüler: $24$
Schüler, die Note 2 oder besser erhielten: $\dfrac{1}{2}x\rightarrow\dfrac{1}{2}\cdot24=12$
Schüler, die Note 3 oder 4 erhielten: $\dfrac{1}{3}x\rightarrow\dfrac{1}{3}\cdot24=8$
#gleichung#variable
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