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Aufgaben in der Geometrie

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Ein Dreieck hat einen Umfang von $26\;\text{cm}$. Die erste Seite ist doppelt so lang wie die zweite und die dritte Seite ist $6\;\text{cm}$ länger als die zweite. Wie lang sind die Seiten?
#umfang#gleichung

Aufgabe 1

a)
Ein Rechteck hat einen Umfang von $48\;\text{cm}$. Die eine Seite ist $4\;\text{cm}$ kürzer als die andere. Wie lang sind die Seiten?
b)
In einem gleichschenkligen Dreieck sind die beiden Basiswinkel um $15^{\circ}$ größer als der Scheitelwinkel. Wie groß sind die Winkel?
c)
Ein gleichschenkliges Dreieck hat einen Umfang von $20\;\text{cm}$. Die Basis ist halb so lang wie die beiden Schenkel. Wie lang ist die Basis?
d)
In einem rechtwinkligen Dreieck sind zwei Winkel gleich groß. Wie groß sind die Winkel?
e)
Wenn bei einem Quadrat die eine Seite um $4\;\text{cm}$ verlängert und die andere Seite um $2\;\text{cm}$ verkürzt wird, entsteht ein flächengleiches Rechteck. Welche Seitenlängen hat das Quadrat?
f)
Wird die Seite eines Quadrates um $2\;\text{cm}$ verlängert, so vergrößert sich der Flächeninhalt um $32\;\text{cm}^2$. Wie groß ist der ursprüngliche Flächeninhalt?
#gleichung#winkel#flächeninhalt#umfang

Aufgabe 2

Gib einen passenden Text zur Aufgabe an und berechne die gesuchte Variable.
Gleichungen: Aufgaben in der Geometrie
Abb. 1: Skizze der Flächen.
Gleichungen: Aufgaben in der Geometrie
Abb. 1: Skizze der Flächen.
#variable#gleichung

Aufgabe 3

Die gegebenen Körper haben ein Volumen von jeweils $ 6.000\;\text{dm}^3$. Berechne die fehlende Werte. Alle Angaben sind in $\text{dm}$.
Gleichungen: Aufgaben in der Geometrie
Abb. 2: Skizze der Körper.
Gleichungen: Aufgaben in der Geometrie
Abb. 2: Skizze der Körper.
#volumen#gleichung

Aufgabe 4

Berechne den Umfang der Fläche. Vereinfach die Gleichung so weit wie möglich.
Gleichungen: Aufgaben in der Geometrie
Abb. 3: Skizze der Flächen.
Gleichungen: Aufgaben in der Geometrie
Abb. 3: Skizze der Flächen.
#umfang#gleichung
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
In dieser Aufgabe sollst du die Seitenlängen des Dreiecks berechnen.
Wenn du mit so einer Aufgabe anfängst ist es am einfachsten, wenn du als erstes eine Skizze anfertigst und die gegebenen Werte einträgst. Mit Hilfe dieser Skizze ist es dann einfacher die gesuchten Gleichungen aufzustellen und zu lösen. Anschließend kannst du dann die gesuchten Werte berechnen.
1. Schritt: Skizze erstellen
Gleichungen: Aufgaben in der Geometrie
Abb. 1: Skizze.
Gleichungen: Aufgaben in der Geometrie
Abb. 1: Skizze.
2. Schritt: Gleichung aufstellen
Jetzt kannst du Gleichung aufstellen. Du weißt, dass der Umfang gerade so groß ist wie alle Seitenlängen addiert. Daraus folgt:
$26\;\text{cm} = x\;\text{cm} + (x+6)\;\text{cm} + 2x\;\text{cm}$
3. Schritt: Gleichung lösen.
Um die Gleichung zu lösen kannst du die Längeneinheiten weglassen. Achte aber darauf, dass du die Einheiten im Antwortsatz wieder mit aufschreibst.
$\begin{array}[t]{rll} 26&=&x+(x+6) +2x \\[5pt] 26&=&x+x+6+2x \\[5pt] 26&=&4x+6 &\quad \scriptsize \mid\; -6 \\[5pt] 20&=&4x &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 5&=& x \end{array}$
Die erste Seite ist $2\cdot 5\;\text{cm} = 10\;\text{cm}$ lang, die zweite ist $5\;\text{cm}$ lang und die dritte Seite ist $5\;\text{cm} + 6\;\text{cm} = 11\;\text{cm}$ lang.

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
In dieser Aufgabe hast du ein Rechteck mit einem Umfang von $48\;\text{cm}$ gegeben und du sollst die Seitenlängen berechnen. Zur besseren Orientierung kannst du dir eine Skizze machen.
Der Umfang eines Rechteckes kannst du mit der Formel $U=2a+2b$ berechnen.
Du weißt, dass die eine Kante $4\;\text{cm}$ kürzer ist als die andere, das heißt eine Seite ist $x\;\text{cm}$ und die andere ist $x-4\;\text{cm}$ lang. Setze diese Längen nun in die Formel ein und löse die Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} 48&=& 2\cdot(x) + 2\cdot (x-4) \\[5pt] 48&=& 2x+ 2x-8 \\[5pt] 48&=&4x -8 &\quad \scriptsize \mid\; +8 \\[5pt] 56&=&4x &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] 14&=&x \end{array}$
Das bedeutet, dass eine Seite $14\;\text{cm}$ und die andere Seite $14\;\text{cm}-4\;\text{cm}= 10\;\text{cm}$ lang ist.
b)
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
In dieser Aufgabe hast du ein gleichschenkliges Dreieck gegeben und du sollst die Winkel berechnen. Zur besseren Orientierung kannst du dir eine Skizze machen.
Du weißt, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck $180^{\circ}$ ergibt.
Du hast gegeben, dass die beiden Basiswinkel um $15^{\circ}$ größer sind als der Scheitelwinkel. Ein Winkel hat somit $x^{\circ}$ und die beiden anderen Winkel $(x+15)^{\circ}$. Stelle die Gleichung auf und löse sie.
$\begin{array}[t]{rll} 180&=& x+(x+15)+(x+15) \\[5pt] 180&=& x+x+15+x+15\\[5pt] 180&=&3x +30 &\quad \scriptsize \mid\; -30 \\[5pt] 150&=& 3x &\quad \scriptsize \mid\; :3 \\[5pt] 50&=& x \end{array}$
Das bedeutet, dass der Scheitelwinkel $50^{\circ}$ und die beiden Basiswinkel $50^{\circ}+15^{\circ}=65^{\circ}$ groß sind.
c)
$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
In dieser Aufgabe hast du ein gleichschenkliges Dreieck mit einem Umfang $U=20\;\text{cm}$ gegeben und sollst die Seitenlängen berechnen. Zur besseren Orientierung kannst du dir eine Skizze machen.
Du hast gegeben, dass die Basis halb so lang ist wie die beiden Schenkel. Das bedeutet, dass eine Seite $x\;\text{cm}$ lang ist und die andere Siete $\dfrac{x}{2}\;\text{cm}$ lang ist. Stelle die Gleichung auf und löse sie.
$\begin{array}[t]{rll} 20&=& x+x+ \dfrac{x}{2} \\[5pt] 20&=& \dfrac{2x}{2}+\dfrac{2x}{2}+\dfrac{x}{2} \\[5pt] 20&=&\dfrac{5x}{2} &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2 \\[5pt] 40&=& 5x &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] 8&=& x \end{array}$
Die Schenkel des Dreiecks sind $8\;\text{cm}$ lang und die Basisseite ist $8\;\text{cm}:2 = 4\;\text{cm}$ lang.
d)
$\blacktriangleright$  Winkel berechnen
In dieser Aufgabe hast du ein rechtwinkliges Dreieck gegeben und sollst die Innenwinkel berechnen. Zur besseren Orientierung kannst du dir eine Skizze machen.
Du hast in der Aufgabe gegeben, dass die anderen beiden Winkel im Dreieck gleich groß sind. Die Gleichung lautet dann: $180^{\circ} = 90^{\circ} + x^{\circ} +x^{\circ}$. Löse die Gleichung um die Winkel zu berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} 180&=& 90+x+x \\[5pt] 180&=& 90+2x &\quad \scriptsize \mid\; -90\\[5pt] 90&=&2x &\quad \scriptsize \mid\; : 2 \\[5pt] 45&=& x &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] \end{array}$
Die beiden anderen Winkel im Dreieck sind $45^{\circ}$ groß.
e)
$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
Du hast in der Aufgabe gegeben, dass ein Quadrat und ein Rechteck den gleichen Flächeninhalt haben, wenn eine Seitenlänge des Quadrats um $4\;\text{cm}$ verlängert und die andere um $2\;\text{cm}$ verkürzt wird.
Du kannst also die beiden Flächeninhalte gleich setzte. Der Flächeninhalt eines Quadrates ist gerade $x^2$. Beim Flächeninhalt der Rechteckes verlängerst du eine Seit und die andere Seite wird verkürzt. Der Flächeninhalt lässt sich dann mit $(x+4)\cdot (x-2) $ berechnen. Die Gleichung lautet dann:
$x^2 = (x+4)\cdot (x-2)$
Löse die Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} x^2&=& (x+4)\cdot (x-2) \\[5pt] x^2&=& x^2 +4x -2x -8 &\quad \scriptsize \mid\; +8\\[5pt] x^2 +8 &=&x^2 +4x-2x &\quad \scriptsize \mid\; -x^2 \\[5pt] 8&=& 4x -2x \\[5pt] 8&=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 4 &=& x \end{array}$
Die Seiten des Quadrates sind $4\;\text{cm}$ lang.
f)
$\blacktriangleright$  Flächeninhalt berechnen
Du hast in der Aufgabe gegeben, dass sich der Flächeninhalt um $32\;\text{cm}^2$ vergrößert, wenn die Seiten um $2\;\text{cm}$ verlängert werden.
Gesucht ist somit die Ursprüngliche Seitenlänge des Quadrats, diese bezeichnen wir mit $x$. Das bedeutet, dass der ursprüngliche Flächeninhalt $x^2\;\text{cm}^2$ groß ist. Jetzt wird die Seite verlängert. Du erhältst eine Seitenlänge von $(x+2)\;\text{cm}$ und damit vergrößert sich der Flächeninhalt zu $x^2+32\;\text{cm}^2$. Somit erhältst du die Gleichung:
$(x+2)^2 = x^2 + 32$
Löse jetzt die Gleichung.
$\begin{array}[t]{rll} (x+2)^2&=& x^2+32 \\[5pt] x^2 +4x + 4&=& x^2 +32 &\quad \scriptsize \mid\; -x^2\\[5pt] 4x+4 &=&32 &\quad \scriptsize \mid\; -4 \\[5pt] 4x&=& 28 &\quad \scriptsize \mid\; :4 \\[5pt] x&=& 7 \end{array}$
Du hast jetzt die ursprüngliche Seitenlänge berechnet und mit dieser kannst du nun den Flächeninhalt berechnen: $(7\;\text{cm})^2= 49\;\text{cm}^2$.
Der ursprüngliche Flächeninhalt des Quadrates beträgt $ 49\;\text{cm}^2$.

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$  Aufgabentext schreiben
Für den Aufgabentext gibt es mehrere Möglichkeiten. Eine Möglichkeit wäre:
Ein Rechteck hat einen Flächeninhalt von $90\;\text{cm}^2$. Die eine Seite ist $15\;\text{cm}$ lang. Wie lange ist die andere Seite des Rechteckes?
$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
Mit folgender Gleichung kannst du die Seitenlänge berechnen:
$90 = 15\cdot x$
Löse die Gleichung um die Seitenlänge zu bestimmen. Du kannst beim Lösen der Gleichung die Einheiten weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 90&=& 15\cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :15 \\[5pt] 6&=& x \end{array}$
Die zweite Seite des Rechteckes ist $6\;\text{cm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$  Aufgabentext schreiben
Eine Möglichkeit für den Aufgabentext wäre:
Das rechtwinklige Dreieck hat einen Flächeninhalt von $20\;\text{cm}^2$. Die eine Seite ist $5\;\text{cm}$ lang. Wie groß ist die Höhe des Dreiecks?
$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
Der Flächeninhalt eines Dreiecks kann mit der Formel $A=\frac{1}{2}\cdot g\cdot h$ berechnet werden. In diese Gleichung kannst du den Flächeninhalt und die Länge der Grundseite einsetzen.
Löse die Gleichung um die Seitenlänge zu bestimmen. Du kannst beim Lösen der Gleichung die Einheiten weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 20&=& \frac{1}{2}\cdot 5 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :\frac{5}{2} \\[5pt] 8&=& h \end{array}$
Das rechtwinklige Dreieck hat eine Höhe von $8\;\text{cm}$.
c)
$\blacktriangleright$  Aufgabentext schreiben
Eine Möglichkeit für den Aufgabentext wäre:
Ein Rechteck hat einen Umfang von $26\;\text{cm}$. Die eine Seite ist $4\;\text{cm}$ lang. Wie lange ist die andere Seite des Rechteckes?
$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
Um den Umfang zu berechnen addierst du alle Seitenlängen. Somit ergibt sich die Gleichung:
$26= 4 +4+a+a$
Löse die Gleichung um die Seitenlänge zu bestimmen. Du kannst beim Lösen der Gleichung die Einheiten weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 26&=& 4+4+a+a \\[5pt] 26&=& 8+2a &\quad \scriptsize \mid\; -8 \\[5pt] 18&=& 2a &\quad \scriptsize \mid\; :2 \\[5pt] 9&=& a \end{array}$
Die eine Seite des Rechteckes ist $9\;\text{cm}$ lang.
d)
$\blacktriangleright$  Aufgabentext schreiben
Eine Möglichkeit für den Aufgabentext wäre:
Ein Parallelogramm hat einen Flächeninhalt von $35\;\text{cm}^2$. Die Grundseite ist $7\;\text{cm}$ lang. Wie lange ist die Höhe des Parallelogramms?
$\blacktriangleright$  Seitenlänge berechnen
Um den Flächeninhalt eines Parallelogramms zu berechnen multiplizierst du die Grundseite mit der Höhe. Somit ergibt sich eine Gleichung:
$35=7\cdot h$
Löse die Gleichung um die Seitenlänge zu bestimmen. Du kannst beim Lösen der Gleichung die Einheiten weglassen.
$\begin{array}[t]{rll} 35&=& 7 \cdot h &\quad \scriptsize \mid\; :7 \\[5pt] 5&=&h \end{array}$
Das Parallelogramm hat eine Höhe von $5\;\text{cm}$.

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$  Länge der Seite berechnen
In dieser Aufgabe hast du das Volumen eines Quaders gegeben und sollst die Länge der Seite $a$ berechnen. Die Formel um das Volumen eines Quaders zu berechnen lautet:
$V_{\text{Quader}} = a \cdot b \cdot c$
$V_{\text{Quader}} = a \cdot b \cdot c$
Setze in die Gleichung, um das Volumen zu berechnen, alle gegebenen Werte ein und Löse die Gleichung nach der Variablen auf. Beim Lösen der Gleichung kannst du die Einheiten weglassen. Denke aber im Antwortsatz daran, die Einheit wieder anzugeben.
$\begin{array}[t]{rll} 6.000&=& a \cdot 20 \cdot 10 \\[5pt] 6.000&=& a \cdot 200 &\quad \scriptsize \mid\; :200 \\[5pt] 30 &=& a \end{array}$
Die Seite $a$ des Quaders ist $30\;\text{dm}$ lang.
b)
$\blacktriangleright$  Länge der Seite berechnen
Setze auch hier alle gegebenen Werte in die Gleichung, um das Volumen zu berechnen, ein. Beim Lösen der Gleichung kannst du die Einheiten weglassen. Denke aber im Antwortsatz daran, die Einheit wieder anzugeben.
$\begin{array}[t]{rll} 6.000&=& 6 \cdot b \cdot 40 \\[5pt] 6.000&=&240\cdot b &\quad \scriptsize \mid\; :240 \\[5pt] 25 &=& b \end{array}$
Die Seite $b$ des Quaders ist $25\;\text{dm}$ lang.
c)
$\blacktriangleright$  Länge der Seite berechnen
Setze auch hier alle gegebenen Werte in die Gleichung, um das Volumen zu berechnen, ein. Beim Lösen der Gleichung kannst du die Einheiten weglassen. Denke aber im Antwortsatz daran, die Einheit wieder anzugeben.
$\begin{array}[t]{rll} 6.000&=& 30 \cdot 40 \cdot c \\[5pt] 6.000&=&1200 \cdot c &\quad \scriptsize \mid\; :1200 \\[5pt] 5 &=& c \end{array}$
Die Seite $c$ des Quaders ist $5\;\text{dm}$ lang.
d)
$\blacktriangleright$  Länge der Seite berechnen
Setze auch hier alle gegebenen Werte in die Gleichung, um das Volumen zu berechnen, ein. Beim Lösen der Gleichung kannst du die Einheiten weglassen. Denke aber im Antwortsatz daran, die Einheit wieder anzugeben.
$\begin{array}[t]{rll} 6.000&=& 15 \cdot d \cdot d \\[5pt] 6.000&=& 15 \cdot d^2 &\quad \scriptsize \mid\; :15 \\[5pt] 400 &=& d^2 &\quad \scriptsize \mid\; \sqrt{} \\[5pt] 20 &=& d \end{array}$
Die Seite $d$ des Quaders ist $20\;\text{dm}$ lang.

Aufgabe 4

a)
$\blacktriangleright$  Umfang berechnen
In dieser Aufgabe sollst du den Umfang der Flächen berechnen. Dazu summierst du die einzelnen Seitenlängen auf. Vereinfache anschließend die Gleichung so weit wie möglich.
$\begin{array}[t]{rll} U&=& 2\cdot (x+3) +2\cdot (x+3)+ x + x \\[5pt] &=& 2\cdot (2(x+3))+ 2x \\[5pt] &=& 2\cdot(2x +6) +2x \\[5pt] &=& 4x +12 +2x \\[5pt] &=& 6x +12 \end{array}$
Die Figur hat einen Umfang $U= 6x + 12$.
b)
$\blacktriangleright$  Umfang berechnen
Auch in dieser Aufgabe sollst du den Umfang der Flächen berechnen. Summiere dazu die einzelnen Seitenlängen auf. Vereinfache anschließend die Gleichung so weit wie möglich.
$\begin{array}[t]{rll} U&=& (y+2) +(y+2) +y +y +2\cdot (y+1)\\[5pt] &=& 2\cdot (y+2)+ 2y + 2\cdot (y+1) \\[5pt] &=& 2y + 4 +2y +2y +2 \\[5pt] &=& 6y +6 \\[5pt] \end{array}$
Die Figur hat einen Umfang $U= 6y + 6$.
c)
$\blacktriangleright$  Umfang berechnen
Auch in dieser Aufgabe sollst du den Umfang der Flächen berechnen. Summiere dazu die einzelnen Seitenlängen auf. Vereinfache anschließend die Gleichung so weit wie möglich.
$\begin{array}[t]{rll} U&=& (2z-1) + (2z-1) + (2z+2) + z\\[5pt] &=& 2\cdot (2z-1)+ (2z+2) +z \\[5pt] &=& 4z -2 +2z +2+z \\[5pt] &=& 7z \\[5pt] \end{array}$
Die Figur hat einen Umfang $U= 7z$.
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