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Negative Lösungen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Forme die Gleichungen nach $x$ um.
b)
$\frac{5}{7}x - \frac{11}{7} = -3 $
d)
$\frac{3}{2} x : \frac{1}{2} - 0,5 = -1$
#termumformen#gleichungen

Aufgabe 1

Sabine und Max haben für die Klassenarbeit nicht genug gelernt, deswegen sind ihnen bei folgenden Aufgaben Fehler unterlaufen. Finde den Fehler und löse die Aufgaben richtig.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 0,9 x + \frac{9}{10} &=& -\frac{9}{10} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{9}{10} \\[5pt] 0,9 x &=& 0 &\quad \scriptsize \mid\; : 0,9 \\[5pt] x &=& 0 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} -9 x + x&=& 8 + x +1 \\[5pt] -9x &=& 8 \\[5pt] x &=& -\frac{8}{9} \end{array}$
#gleichungen#termumformen

Aufgabe 2

Viviane will sich ein Digitalpiano kaufen. Sie hat dafür extra $3$ Monate in einem Minijob gearbeitet und pro Monat $275 €$ verdient. Das Digitalpiano kostet im Musikladen $853 €$.
a)
Stelle eine Gleichung zu diesem Sachverhalt auf. Die Variable $x$ stellt dabei den Kontostand von Viviane nach dem Kauf des Digitalpianos dar.
b)
Löse die Gleichung, die du in a) aufgestellt hast, nach $x$ auf und gebe Vivianes Kontostand nach dem Kauf des Digitalpianos an.
#termumformen#gleichungen

Aufgabe 3

Löse diese Gleichungen nach $x$ auf. Gebe in jedem Schritt an was du gemacht hast.
b)
$2 : x - \frac{1}{2} \cdot (10 - 6) = -6$
d)
$7:x + 15:x = -22$
f)
$10x + 4 = 2x -4$
#gleichungen#termumformen#klammerausmultiplizieren

Aufgabe 4

Cassandra versucht eine Gleichung zu lösen: $$(3 + x) \cdot 7 - 6x \cdot (9 + 15) = \dfrac{453}{2}$$ Schreibe ihr Vorgehen mathematisch auf. Kommentiere jeden Schritt, indem du darauf achtest, ob sie wirklich in jedem Schritt den schnellsten Weg wählt, um die Gleichung zu lösen.
„(1) Zuerst multipliziere ich die Gleichung mit 2. (2) Danach löse ich die Klammern auf, indem ich die Zahlen in der Klammer mit der vorderen Zahl multipliziere. (3) Nun ziehe ich auf beiden Seiten $42$ ab und rechne die $x$ auf der linken Seite zusammen. (4) Jetzt teile ich die Gleichung durch $411$. (5) Ich teile die Gleichung anschließend durch $-\frac{274}{411}$. (6) Der Wert für $x$ ist also $-\frac{3}{2}.$ “
#gleichungen#klammerausmultiplizieren

Aufgabe 5

Kontrolliere, ob folgende Aufgaben richtig sind.
a)
„Wenn die Lösung einer Gleichung negativ ist und $x$ isoliert auf der linken Seite steht, so muss die rechte Seite einen negativen Wert annehmen. “
b)
„Wenn alle Zahlen, die in der Gleichung vorkommen, negativ sind, so ist auch die Lösung negativ.“
c)
„Steht auf der rechten Seite $-x$ isoliert von allen anderen Zahlen, so multiplizierst du die Gleichung mit $(-1)$, um die Lösung für $x$ zu erhalten.“
#gleichungen
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Gleichung nach $x$ umformen
Isoliere $x$ Schritt für Schritt von den anderen Zahlen, sodass am Ende $x$ auf einer Seite steht und und alle anderen Zahlen auf der anderen Seite.
b)
$\begin{array}[t]{rll} \frac{5}{7}x - \frac{11}{7} &=& -3 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 7 \\[5pt] 5x -11 &=& -21 &\quad \scriptsize \mid\; +11 \\[5pt] 5x &=& -10 &\quad \scriptsize \mid\; :5 \\[5pt] x &=& -2 \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} \frac{3}{2} x : \frac{1}{2} - 0,5 &=& -1 &\quad \scriptsize \mid\; +0,5 \\[5pt] \frac{3}{2} x : \frac{1}{2} &=& -0,5 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot 2\\[5pt] 3x \cdot 2 &=& -1 \\[5pt] 6x &=& -1 \\[5pt] x &=& -\dfrac{1}{6} \end{array}$
#termumformen#gleichungen

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Umformung kontrollieren und richtig machen
Gehe bei dieser Aufgabe Gleichung für Gleichung durch und versuche nachzuvollziehen welche Umformungen gemacht wurden. Stelle diese gegebenfalls richtig.
b)
Im ersten Schritt wurde auf der einen Seite $\frac{9}{10}$ addiert und auf der anderen subtrahiert, was mathematisch falsch ist.
$\begin{array}[t]{rll} 0,9 x + \frac{9}{10} &=& -\frac{9}{10} &\quad \scriptsize \mid\; -\frac{9}{10} \\[5pt] 0,9 x &=& -\frac{18}{10} &\quad \scriptsize \mid\; : 0,9 \\[5pt] x &=& -2 \end{array}$
d)
Der Fehler liegt im ersten Schritt. Die korrekten Umformungen lauten:
$\begin{array}[t]{rll} -9 x + x&=& 8 + x + 1\\[5pt] -8x &=& 9 + x &\quad \scriptsize \mid\; -x \\[5pt] -9x &=& 9 &\quad \scriptsize \mid\; :(-9) \\[5pt] x &=& -1 \end{array}$
#termumformen#gleichungen

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Gleichung aufstellen
Viviane hat pro Monat $275 €$ drei Monate lang verdient. Also steht auf der einen Seite der Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 275 &=& \end{array}$
Das Digitalpiano kostet $853 €$. Somit gilt:
$\begin{array}[t]{rll} 3 \cdot 275 - 853&=& \end{array}$
Laut Aufgabenstellung stellt das $x$ den Kontostand da. Also lautet die vollständige Gleichung:
$\begin{array}[t]{rll} x &=& 3 \cdot 275 - 853 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ $\boldsymbol{x}$ bestimmen
Die Gleichung ist schon nach $x$ aufgelöst. Du musst also nur noch die rechte Seite berechnen.
$\begin{array}[t]{rll} x &=& 3 \cdot 275 - 853 \\[5pt] &=& 825 - 853 \\[5pt] &=& -28 \end{array}$
Nach dem Kauf des Digitalspianos hat Viviane demnach $28 €$ Schulden bei der Bank.
#gleichungen

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Schreibe in jedem Schritt hinter den Operationsstrich die Operation, die du machst, um die Gleichung schließlich nach $x$ aufzulösen.
b)
$\begin{array}[t]{rll} 2 : x - \frac{1}{2} \cdot (10 - 6) &=& -6\\[5pt] 2 : x - \frac{1}{2} \cdot 4 &=& -6 \\[5pt] 2 : x - 2 &=& -6 &\quad \scriptsize \mid\; +2 \\[5pt] 2 : x &=& -4 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x \\[5pt] 2 &=& -4 \cdot x &\quad \scriptsize \mid\; :-4 \\[5pt] x &=& -\frac{1}{2} \end{array}$
d)
$\begin{array}[t]{rll} 7:x + 15:x &=& -22 &\quad \scriptsize \mid\; \cdot x \\[5pt] 7 + 15 &=& -22 x \\[5pt] 22 &=& -22x &\quad \scriptsize \mid\; :(-22) \\[5pt] x &=& -1 \end{array}$
f)
$\begin{array}[t]{rll} 10x + 4 &=& 2x - 4 &\quad \scriptsize \mid\; +4\\[5pt] 10x + 8 &=& 2x &\quad \scriptsize \mid\; -10x\\[5pt] 8 &=& -8x &\quad \scriptsize \mid\; :(-8) \\[5pt] x &=& -1 \end{array}$
#gleichungen#termumformen#klammerausmultiplizieren

Aufgabe 4

$\blacktriangleright$ Vorgehen von Cassandra bewerten
Der erste Schritt ist nicht notwendig. Es wäre besser gewesen die erste Klammer auszumultipliziere und die Summe der zweiten Klammer zu berechnen. $$(3+x) \cdot 7 - 6x \cdot (9 + 15) = \dfrac{453}{2}$$ Im nächsten Schritt wäre es besser gewesen die Summe der zweiten Klammer zu berechnen, um die Klammer danach aufzulösen. So spart man sich einiges an Aufwand. $$(3+x) \cdot 14 - 12x \cdot (9 + 15) = 453$$ Am dritten Schritt ist nichts auszusetzen. $$42 + 14x - 108x - 180x = 453$$ Im vierten Schritt die Gleichung durch $411$ zu teilen, ist nicht sinnvoll. Man muss das $x$ isolieren, also durch $-274$ teilen. $$-274x = 411$$ Der letzt Schritt ist richtig. $$x = -\frac{3}{2}$$
#termumformen#gleichungen#klammerausmultiplizieren

Aufgabe 5

$\blacktriangleright$ Richtigkeit der Aussagen prüfen
a)
Diese Aussage ist richtig, denn die Vorraussetzung ist, dass die Lösung der Gleichung negativ ist. Also muss auch der Wert der rechten Seite negativ sein, wenn $x$ isoliert auf der linken Seite steht.
b)
Diese Aussage ist falsch. Ein Gegenbeispiel wäre: $-3x = -3.$ Die Lösung der Gleichung ist dafür $x =1$ und alle vorkommenden Zahlen sind negativ.
c)
Diese Aussage ist richtig, denn $(-x) = (-1) \cdot x$, d.h. $x$ wäre in diesem Fall noch nicht komplett isoliert.
#gleichungen
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