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Mit rationalen Zahlen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Berechne die Variable.
$\begin{array}{} \dfrac{18-2x}{4}+2x&=&\quad \dfrac{8x+3}{3}\\ \end{array}$
#bruch#gleichung#variable

Aufgabe 1

Berechne die Variable.
b)
$\begin{array}{} \dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{8}&=& -\dfrac{4}{12}-\dfrac{3}{4}x\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} -\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{2}&=& \dfrac{3}{14}x+\dfrac{3}{7}\\ \end{array}$
f)
$\begin{array}{} \dfrac{1}{2}x-\dfrac{4}{5}&=& -\dfrac{2}{10}+\dfrac{2}{5}x\\ \end{array}$
#gleichung#bruch#variable

Aufgabe 2

Berechne die Variable.
b)
$\begin{array}{} x+7&=& \dfrac{4}{9}+\dfrac{7-x}{2}+\dfrac{14x+6}{3}-4x\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} \dfrac{2x-1}{3}-4-\dfrac{3x+15}{2}&=& \dfrac{7x-6}{3}-\dfrac{5x-25}{6}\\ \end{array}$
#gleichung#variable#bruch

Aufgabe 3

Berechne die Variable.
a)
$\begin{array}{} 14+\dfrac{2(x+1)}{3}&=& -27-\dfrac{3(x+4)}{5}\\ \end{array}$
b)
$\begin{array}{} \dfrac{2-3x}{5}-\dfrac{1}{4}&=& \dfrac{2-7x}{12}-\dfrac{14-17x}{60}\\ \end{array}$
c)
$\begin{array}{} \dfrac{1,4x+15}{12}-\dfrac{3,5x-7,5}{15}&=& \dfrac{2x-1}{4}-\dfrac{2x-3,5}{6}\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} \dfrac{5x-3}{2}&=& \dfrac{7x-5}{2}-\dfrac{3x+5}{5}\\ \end{array}$
#bruch#gleichung#variable
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Einführungsaufgabe

$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
Bei der nachfolgenden Aufgabe geht es darum, dass du die Gleichung mit rationalen Zahlen löst. Hierfür musst du zuerst alle Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, indem du sie entweder erweiterst oder kürzt.
$\begin{array}{} \dfrac{18-2x}{4}+2x&=& \dfrac{8x+3}{3}\\ \dfrac{(18-2x)\cdot3}{4\cdot3}+2x&=&\quad \dfrac{(8x+3)\cdot4}{3\cdot4} \\ \dfrac{54-6x}{12}+2x&=& \dfrac{32x+12}{12} \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
Danach musst du die Nenner eliminieren. Dies geschieht, indem man alles mit der Zahl, welche im Nenner steht, multipliziert.
$\begin{array}{} \dfrac{54-6x}{12}+2x&=& \dfrac{32x+12}{12} \quad\scriptsize\mid\;\cdot12\\ \dfrac{54-6x}{12}\cdot\dfrac{12}{1}+2x\cdot12&=& \dfrac{32x+12}{12}\cdot\dfrac{12}{1} \\ 54-6x+24x&=&32x+12 \\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
Nachdem nun keine Brüche mehr vorhanden sind, kannst du die Gleichung nach den bisher erlernten Regeln zuerst vereinfachen und dann auflösen.
$\begin{array}{} 54-6x+24x&=&32x+12 \\ 54+18x&=&32x+12 \quad\scriptsize\mid\;-54\\ 18x&=&32x-42 \quad\scriptsize\mid\;-32x\\ -14x&=&-42 \quad\scriptsize\mid\;:(-14)\\ x&=&3 \end{array}$
#variable#bruch#gleichung

Aufgabe 1

a)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{1}{3}x-\dfrac{1}{5}&=& \dfrac{5}{6}x+\dfrac{4}{5}\\ \dfrac{1\cdot10}{3\cdot10}x-\dfrac{1\cdot6}{5\cdot6}&=& \dfrac{5\cdot5}{6\cdot5}x+\dfrac{4\cdot6}{5\cdot6}\\ \dfrac{10}{30}x-\dfrac{6}{30}&=& \dfrac{25}{30}x+\dfrac{24}{30}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{10}{30}x-\dfrac{6}{30}&=& \dfrac{25}{30}x+\dfrac{24}{30} \quad\scriptsize\mid\;\cdot30\\ 10x-6&=&25x+24\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 10x-6&=&25x+24 \quad\scriptsize\mid\;+6\\ 10x&=&25x+30 \quad\scriptsize\mid\;-25x\\ -15x&=&30 \quad\scriptsize\mid\;:(-15)\\ x&=&-2 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{1}{2}x-\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{8}&=& -\dfrac{4}{12}-\dfrac{3}{4}x\\ \dfrac{1\cdot12}{2\cdot12}x-\dfrac{2\cdot8}{3\cdot8}-\dfrac{1\cdot3}{8\cdot3}&=& -\dfrac{4\cdot2}{12\cdot2}-\dfrac{3\cdot6}{4\cdot6}x\\ \dfrac{12}{24}x-\dfrac{16}{24}-\dfrac{3}{24}&=& -\dfrac{8}{24}-\dfrac{18}{24}x\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{12}{24}x-\dfrac{16}{24}-\dfrac{3}{24}&=& -\dfrac{8}{24}-\dfrac{18}{24}x \quad\scriptsize\mid\;\cdot24\\ 12x-16-3&=&-8-18x\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 12x-19&=&-8-18x \quad\scriptsize\mid\;+19\\ 12x&=&11-18x \quad\scriptsize\mid\;+18x\\ 30x&=&11 \quad\scriptsize\mid\;:30\\ x&=&\dfrac{11}{30} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{1}{18}x-\dfrac{12-x}{10}&=& \dfrac{3x-19}{15}\\ \dfrac{1\cdot5}{18\cdot5}x-\dfrac{(12-x)\cdot9}{10\cdot9}&=& \dfrac{(3x-19)\cdot6}{15\cdot6}\\ \dfrac{5}{90}x-\dfrac{108-9x}{90}&=& \dfrac{18x-114}{90}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{5}{90}x-\dfrac{108-9x}{90}&=& \dfrac{18x-114}{90} \quad\scriptsize\mid\;\cdot90\\ 5x-108-9x&=&18x-114\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 5x-108-9x&=&18x-114\\ -108-4x&=&18x-114 \quad\scriptsize\mid\;+108\\ -4x&=&18x-6 \quad\scriptsize\mid\;-18x\\ -22x&=& 6 \quad\scriptsize\mid\;:(-22)\\ x&=&-\dfrac{6}{22} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} -\dfrac{x}{4}-\dfrac{1}{2}&=& \dfrac{3}{14}x+\dfrac{3}{7}\\ -\dfrac{x\cdot7}{4\cdot7}-\dfrac{1\cdot14}{2\cdot14}&=& \dfrac{3\cdot2}{14\cdot2}x+\dfrac{3\cdot4}{7\cdot4}\\ -\dfrac{7x}{28}-\dfrac{14}{28}&=& \dfrac{6}{28}x+\dfrac{12}{28}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} -\dfrac{7x}{28}-\dfrac{14}{28}&=& \dfrac{6}{28}x+\dfrac{12}{28} \quad\scriptsize\mid\;\cdot28\\ -7x-14-9x&=&6x+12\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} -7x-14-9x&=&6x+12\\ -16x-14&=&6x+12 \quad\scriptsize\mid\;+14\\ -16x&=&6x+26 \quad\scriptsize\mid\;-6x\\ -22x&=& 26 \quad\scriptsize\mid\;:(-22)\\ x&=&-\dfrac{13}{11} \end{array}$
e)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{2x}{3}-\dfrac{6x}{6}&=& 5-\dfrac{2x}{4}\\ \dfrac{2x}{3}-\dfrac{6x}{6}&=& \dfrac{5}{1}-\dfrac{2x}{4}\\ \dfrac{2x\cdot4}{3\cdot4}-\dfrac{6x\cdot2}{6\cdot2}&=& \dfrac{5\cdot12}{1\cdot12}-\dfrac{2x\cdot3}{4\cdot3}\\ \dfrac{8x}{12}-\dfrac{12x}{12}&=& \dfrac{60}{12}-\dfrac{6x}{12}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{8x}{12}-\dfrac{12x}{12}&=& \dfrac{60}{12}-\dfrac{6x}{12} \quad\scriptsize\mid\;\cdot12\\ 8x-12x&=&60-6x\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 8x-12x&=&60-6x\\ -4x&=&60-6x \quad\scriptsize\mid\;+6x\\ 2x&=&60 \quad\scriptsize\mid\;:2\\ x&=&30 \end{array}$
f)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{1}{2}x-\dfrac{4}{5}&=& -\dfrac{2}{10}x+\dfrac{2}{5}x\\ \dfrac{1\cdot5}{2\cdot5}x-\dfrac{4\cdot2}{5\cdot2}&=& -\dfrac{2}{10}x+\dfrac{2\cdot2}{5\cdot2}x\\ \dfrac{5}{10}x-\dfrac{8}{10}&=& -\dfrac{2}{10}x+\dfrac{4}{10}x\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{5}{10}x-\dfrac{8}{10}&=& -\dfrac{2}{10}x+\dfrac{4}{10}x \quad\scriptsize\mid\;\cdot10\\ 5x-8&=&-2x+4x\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 5x-8&=&-2x+4x\\ 5x-8&=&2x\\ \quad\scriptsize\mid\;+8\\ 5x&=&2x+8 \quad\scriptsize\mid\;-2x\\ 3x&=& 8 \quad\scriptsize\mid\;:3\\ x&=&\dfrac{8}{3} \end{array}$
#variable#gleichung#bruch

Aufgabe 2

a)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{4x+5}{4}-\dfrac{2x+1}{3}+\dfrac{5}{8}&=& \dfrac{5(x-2)}{8}-\dfrac{3x+5}{6}\\ \dfrac{4x+5}{4}-\dfrac{2x+1}{3}+\dfrac{5}{8}&=& \dfrac{5x-10}{8}-\dfrac{3x+5}{6}\\ \dfrac{(4x+5)\cdot6}{4\cdot6}-\dfrac{(2x+1)\cdot8}{3\cdot8}+\dfrac{5\cdot3}{8\cdot3}&=& \dfrac{(5x-10)\cdot3}{8\cdot3}-\dfrac{(3x+5)\cdot4}{6\cdot4}\\ \dfrac{24x+30}{24}-\dfrac{16x+8}{24}+\dfrac{15}{24}&=& \dfrac{15x-30}{24}-\dfrac{12x+20}{24}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{24x+30}{24}-\dfrac{16x+8}{24}+\dfrac{15}{24}&=& \dfrac{15x-30}{24}-\dfrac{12x+20}{24} \quad\scriptsize\mid\;\cdot24\\ 24x+30-16x+8+15&=&15x-30-12x+20\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 24x+30-16x+8+15&=&15x-30-12x+20\\ 8x+53&=&3x-10 \quad\scriptsize\mid\;-53\\ 8x&=&3x-63 \quad\scriptsize\mid\;-3x\\ 5x&=&63 \quad\scriptsize\mid\;:5\\ x&=&12,6 \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} x+7&=& \dfrac{4}{9}+\dfrac{7-x}{2}+\dfrac{14x+6}{3}-4x\\ \dfrac{x}{1}+\dfrac{7}{1}&=& \dfrac{4}{9}+\dfrac{7-x}{2}+\dfrac{14x+6}{3}-\dfrac{4x}{1}\\ \dfrac{x\cdot18}{1\cdot18}+\dfrac{7\cdot18}{1\cdot18}&=& \dfrac{4\cdot2}{9\cdot2}+\dfrac{(7-x)\cdot9}{2\cdot9}+\dfrac{(14x+6)\cdot6}{3\cdot6}-\dfrac{4x\cdot18}{1\cdot18}\\ \dfrac{18x}{18}+\dfrac{126}{18}&=& \dfrac{8}{18}+\dfrac{63-9x}{18}+\dfrac{84x+36}{18}-\dfrac{72x}{18}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{18x}{18}+\dfrac{126}{18}&=& \dfrac{8}{18}+\dfrac{63-9x}{18}+\dfrac{84x+36}{18}-\dfrac{72x}{18} \quad\scriptsize\mid\;\cdot18\\ 18x+126&=&8+63-9x+84x+36-72x\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 18x+126&=&8+63-9x+84x+36-72x\\ 18x+126&=&-81x+107 \quad\scriptsize\mid\;-126\\ 18x&=&-81x-19 \quad\scriptsize\mid\;+81x\\ 99x&=&-19 \quad\scriptsize\mid\;:99\\ x&=&-\dfrac{19}{99} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{6x}{5}-6x+4(x+2)-\dfrac{4(x-2)}{3}&=& 0\\ \dfrac{6x}{5}-6x+4x+8-\dfrac{4x-8}{3}&=& 0\\ \dfrac{6x}{5}-\dfrac{6x}{1}+\dfrac{4x}{1}+\dfrac{8}{1}-\dfrac{4x-8}{3}&=& 0\\ \dfrac{6x\cdot3}{5\cdot3}-\dfrac{6x\cdot15}{1\cdot15}+\dfrac{4x\cdot15}{1\cdot15}+\dfrac{8\cdot15}{1\cdot15}-\dfrac{(4x-8)\cdot5}{3\cdot5}&=& 0\\ \dfrac{18x}{15}-\dfrac{90x}{15}+\dfrac{60x}{15}+\dfrac{120}{15}-\dfrac{20x-40}{15}&=& 0\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{18x}{15}-\dfrac{90x}{15}+\dfrac{60x}{15}+\dfrac{120}{15}-\dfrac{20x-40}{15}&=& 0 \quad\scriptsize\mid\;\cdot15\\ 18x-90x+60x+120-20x&=&0\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 18x-90x+60x+120-20x&=&0\\ -32x+120&=&0 \quad\scriptsize\mid\;-120\\ -32x&=&-120 \quad\scriptsize\mid\;:(-32)\\ x&=&3,75 \\ \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{2x-1}{3}-4-\dfrac{3x+15}{2}&=& \dfrac{7x-6}{3}-\dfrac{5x-25}{6}\\ \dfrac{2x-1}{3}-\dfrac{4}{1}-\dfrac{3x+15}{2}&=& \dfrac{7x-6}{3}-\dfrac{5x-25}{6}\\ \dfrac{(2x-1)\cdot2}{3\cdot2}-\dfrac{4\cdot6}{1\cdot6}-\dfrac{(3x+15)\cdot3}{2\cdot3}&=& \dfrac{(7x-6)\cdot2}{3\cdot2}-\dfrac{5x-25}{6}\\ \dfrac{4x-2}{6}-\dfrac{24}{6}-\dfrac{9x+45}{6}&=& \dfrac{14x-12}{6}-\dfrac{5x-25}{6}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{4x-2}{6}-\dfrac{24}{6}-\dfrac{9x+45}{6}&=& \dfrac{14x-12}{6}-\dfrac{5x-25}{6} \quad\scriptsize\mid\;\cdot6\\ 4x-2-24-9x+45&=&14x-12-5x-25\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 4x-2-24-9x+45&=&14x-12-5x-25\\ -5x+19&=&9x-37 \quad\scriptsize\mid\;-19\\ -5x&=&9x-56 \quad\scriptsize\mid\;-9x\\ -14x&=&-56 \quad\scriptsize\mid\;:(-14)\\ x&=&4 \\ \end{array}$
#gleichung#bruch#variable

Aufgabe 3

a)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} 14+\dfrac{2(x+1)}{3}&=& -27-\dfrac{3(x+4)}{5}\\ \dfrac{14}{1}+\dfrac{2x+2}{3}&=& -\dfrac{27}{1}-\dfrac{3x+12}{5}\\ \dfrac{14\cdot15}{1\cdot15}+\dfrac{(2x+2)\cdot5}{3\cdot5}&=& -\dfrac{27\cdot15}{1\cdot15}-\dfrac{(3x+12)\cdot3}{5\cdot3}\\ \dfrac{210}{15}+\dfrac{10x+10}{15}&=& -\dfrac{405}{15}-\dfrac{9x+36}{15}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{210}{15}+\dfrac{10x+10}{15}&=& -\dfrac{405}{15}-\dfrac{9x+36}{15} \quad\scriptsize\mid\;\cdot15\\ 210+10x+10&=&-405-9x+36\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 210+10x+10&=&-405-9x+36\\ 220+10x&=&-369-9x \quad\scriptsize\mid\;-220\\ 10x&=&-589-9x \quad\scriptsize\mid\;+9x\\ 14x&=&-589 \quad\scriptsize\mid\;:14\\ x&=&-\dfrac{589}{14} \end{array}$
b)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{2-3x}{5}-\dfrac{1}{4}&=& \dfrac{2-7x}{12}-\dfrac{14-17x}{60}\\ \dfrac{(2-3x)\cdot12}{5\cdot12}-\dfrac{1\cdot15}{4\cdot15}&=& \dfrac{(2-7x)\cdot5}{12\cdot5}-\dfrac{14-17x}{60}\\ \dfrac{24-36x}{60}-\dfrac{15}{60}&=& \dfrac{10-35x}{60}-\dfrac{14-17x}{60}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{24-36x}{60}-\dfrac{15}{60}&=& \dfrac{10-35x}{60}-\dfrac{14-17x}{60} \quad\scriptsize\mid\;\cdot60\\ 24-36x-15&=&10-35x-14-17x\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 24-36x-15&=&10-35x-14-17x\\ -36x-9&=&-52x-4 \quad\scriptsize\mid\;+9\\ -36x&=&-52x+5 \quad\scriptsize\mid\;+52x\\ 16x&=&5 \quad\scriptsize\mid\;:16\\ x&=&-\dfrac{5}{16} \end{array}$
c)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{1,4x+15}{12}-\dfrac{3,5x-7,5}{15}&=& \dfrac{2x-1}{4}-\dfrac{2x-3,5}{6}\\ \dfrac{(1,4x+15)\cdot5}{12\cdot5}-\dfrac{(3,5x-7,5)\cdot4}{15\cdot4}&=& \dfrac{(2x-1)\cdot15}{4\cdot15}-\dfrac{(2x-3,5)\cdot10}{6\cdot10}\\ \dfrac{7x+75}{60}-\dfrac{14x-30}{60}&=& \dfrac{30x-15}{60}-\dfrac{20x-35}{60}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{7x+75}{60}-\dfrac{14x-30}{60}&=& \dfrac{30x-15}{60}-\dfrac{20x-35}{60} \quad\scriptsize\mid\;\cdot60\\ 7x+75-14x-30&=&30x-15-20x-35\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 7x+75-14x-30&=&30x-15-20x-35\\ -7x+45&=&10x-50 \quad\scriptsize\mid\;-45\\ -7x&=&10x-95 \quad\scriptsize\mid\;-10x\\ -17x&=&-95 \quad\scriptsize\mid\;:(-17)\\ x&=&\dfrac{95}{17} \end{array}$
d)
$\blacktriangleright$ Gemeinsamer Nenner
$\begin{array}{} \dfrac{5x-3}{2}&=& \dfrac{7x-5}{2}-\dfrac{3x+5}{5}\\ \dfrac{(5x-3)\cdot5}{2\cdot5}&=& \dfrac{(7x-5)\cdot5}{2\cdot5}-\dfrac{(3x+5)\cdot2}{5\cdot2}\\ \dfrac{25x-15}{10}&=& \dfrac{35x-25}{10}-\dfrac{6x+10}{10}\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Nenner eliminieren
$\begin{array}{} \dfrac{25x-15}{10}&=& \dfrac{35x-25}{10}-\dfrac{6x+10}{10} \quad\scriptsize\mid\;\cdot10\\ 25x-15&=&35x-25-6x+10\\ \end{array}$
$\blacktriangleright$ Gleichung lösen
$\begin{array}{} 25x-15&=&35x-25-6x+10\\ 25x-15&=&29x-15 \quad\scriptsize\mid\;+15\\ 25x&=&29x \quad\scriptsize\mid\;-29x\\ -4x&=&0 \quad\scriptsize\mid\;:(-4)\\ x&=&0 \end{array}$
#gleichung#variable#bruch
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