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Mit mehreren Variablen rechnen

Aufgaben
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Einführungsaufgabe

Sandra möchte mit ihrer Freundin in den Sommerferien nach Berlin fahren. Dafür hat sie insgesamt $500\;€$ gespart. Sie hat eine günstige Unterkunft gefunden, die $25\;€$ pro Übernachtung kostet und plant $200\;€$ als Taschengeld ein. Sie weiß noch nicht, wie teuer die Banhfahrt wird.
a)
Stelle einen passenden Term auf, der anzeigt, wie viel Geld Sandra nach dem Trip noch hat.
b)
Sandra weiß nun, dass die Bahnfahrt circa $100\;€$ kostet und sie insgesamt $4$ Übernachtungen buchen wird.
Setze die Werte in den Term aus Teilaufgabe a) ein und errechne genau, wie viel Geld Sandra nach dem Trip noch bleibt.
#variable#term#termberechnen#termaufstellen

Aufgabe 1

$\begin{array}{} &&\quad 5x+(-2y)-(-7x)+(-4y) &\scriptsize\mid&\;\text{Vereinfachen}\\ &=&\quad 5x-2y+7x-4y&\scriptsize\mid&\;\text{Ordnen}\\ &=&\quad 5x+7x-2y-4y&\scriptsize\mid&\;\text{Zusammenfassen}\\ &=&\quad 12x-6y\\ \end{array}$
Merke:
  • gleiche Vorzeichen ($++$ / $--$) ergeben immer $+$
  • ungleiche Vorzeichen ($+-$ / $-+$) ergeben immer $-$
$\begin{array}{} &&\quad 5x+(-2y)-(-7x)+(-4y) &\scriptsize\mid&\;\text{Vereinfachen}\\ &=&\quad 5x-2y+7x-4y&\scriptsize\mid&\;\text{Ordnen}\\ &=&\quad 5x+7x-2y-4y&\scriptsize\mid&\;\text{Zusammenfassen}\\ &=&\quad 12x-6y\\ \end{array}$
Merke:
  • gleiche Vorzeichen ergeben immer $+$
  • ungleiche Vorzeichen ergeben immer $-$
Vereinfache, indem du die Rechenregeln anwendest.
b)
$30a-(5b+4a)+(6a-7b)+22$
d)
$-10t-(-15s)+29t+(-26s)-14t$
f)
$6-(4s+6t-4)\cdot2-(6+5s+6t)$
#variable#vorzeichenregel#termberechnen#term

Aufgabe 2

Vereinfache.
b)
$5-7x-(24y-9x)+13y-17$
d)
$18-(-x)+6y-(-13y)-10$
#term#termberechnen#variable

Aufgabe 3

Vereinfache.
a)
Kathrin hat $x\;€$ gespart. Sie möchte sich nun ein neues Smartphone für $y\;€$ kaufen und wird dabei von ihren Eltern noch mit $z\;€$ unterstützt.
  • $x=950$
  • $y=600$
  • $z=170$
Wie viel Geld besitzt Kathrin nach dem Kauf?
b)
Bei einem Spendenlauf wurden $s\;€$ von der Stadt, $t\;€$ von Zuschauern und $u\;€$ von Firmen gespendet. Für die Organisation wurden zuvor $v\;€$ ausgegeben sowie $w\;€$ für die Verpflegung der Läufer.
  • $s=800$
  • $t=1.350$
  • $u=2.120$
  • $v=300$
  • $w=270$
Wie viel Geld kann am Ende für eine gemeinnützige Organisation gespendet werden?
#termaufstellen#termberechnen#term#variable#termumformen
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Lösungen
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Einführungsaufgabe

a)
$\blacktriangleright$ Terme aufstellen
Beim Aufstellen des Terms kannst du mit den Dingen beginnen, die du weißt. Das wäre zum Beispiel, dass Sandra $500\,€$ gespart hat und du von diesem Ausgangswert alles, was sie für die Reise ausgibt, abziehen musst. Die Unterkunft kostet $25\;€$ pro Übernachtung, du weißt jedoch noch nicht, wie lange Sandra in Berlin bleibt. Außerdem weißt du, dass sie $200\;€$ als Taschengeld einplant. Was die Bahnfahrt kostet weißt du ebenfalls nicht. Nachdem du dir das alles notiert hast, musst du die Dinge, die du nicht weißt, Variablen zuordnen.
$x\rightarrow\text{Anzahl der Übernachtungen}$
$y\rightarrow\text{Kosten für die Bahnfahrt}$
Wenn du die Variablen zugeordnet hast, dann kommst du auf folgenden Term:
$500\;€-25x-200\;€-y$
b)
$\blacktriangleright$ Terme berechnen
Bei dieser Teilaufgabe weißt du nun, dass die Bahnfahrt circa $100\;€$ kostet und die Beiden $4$ Übernachtungen bleiben. Das heißt, dass $x=4$ und $y=100\;€$ ist. Setzt du diese Werte also für $x$ und $y$ ein, gelangst du zu folgendem Term, den du dann im letzten Schritt vereinfachen musst.
$\begin{array}{} &&\quad 500\;€-25\cdot4-200\;€-100\;€\\ &=&\quad 500\;€-100-200\;€-100\;€\\ &=&\quad 100\;€\\ \end{array}$
Somit hat Sandra noch $100\;€$ nach ihrer Reise.
#termaufstellen#term#variable#termberechnen

Aufgabe 1

$\blacktriangleright$ Terme berechnen
Bei den folgenden Aufgaben musst du stets zuerst vereinfachen, indem du die Rechenregeln anwendest, dann ordnen und zum Schluss zusammenfassen.
b)
$\begin{array}{} &&\quad 30a-(5b+4a)+(6a-7b)+22\\ &=&\quad 30a-5b-4a+6a-7b+22\\ &=&\quad 30a-4a+6a-5b-7b+22\\ &=&\quad 32a-12b+22\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} &&\quad -10t-(-15s)+29t+(-26s)-14t\\ &=&\quad -10t+15s+29t-26s-14t\\ &=&\quad 15s-26s-10t+29t-14t\\ &=&\quad -9s+15t\\ \end{array}$
f)
$\begin{array}{} &&\quad 6-(4s+6t-4)\cdot2-(6+5s+6t)\\ &=&\quad 6-(8s+12t-8)-6-5s-6t\\ &=&\quad 6-8s-12t+8-6-5s-6t\\ &=&\quad -8s-5s-12t-6t+6+8-6\\ &=&\quad -13s-18t+8\\ \end{array}$
#vorzeichenregel#termberechnen#term#variable

Aufgabe 2

$\blacktriangleright$ Terme berechnen
Bei den folgenden Aufgaben musst du stets zuerst vereinfachen, indem du die Rechenregeln anwendest, dann ordnen und zum Schluss zusammenfassen.
b)
$\begin{array}{} &&\quad 5-7x-(24y-9x)+13y-17\\ &=&\quad 5-7x-24y+9x+13y-17\\ &=&\quad -7x+9x-24y+13y+5-17\\ &=&\quad 2x-11y-12\\ \end{array}$
d)
$\begin{array}{} &&\quad 18-(-x)+6y-(-13y)-10\\ &=&\quad 18+x+6y+13y-10\\ &=&\quad x+6y+13y+18-10\\ &=&\quad x+19y+8\\ \end{array}$
#term#vorzeichenregel#termberechnen#variable

Aufgabe 3

$\blacktriangleright$ Terme aufstellen
a)
Du weißt, dass Kathrin $x\;€$ gespart hat und sich nun ein neues Smartphone zu dem Preis von $y\;€$ kaufen möchte. Sie bekommt von ihren Eltern allerdings noch $z\;€$, um das Handy zu kaufen. Daraus folgt der Term:
$x-y+z$
Da die Werte für die Variablen bereits in der Aufgabe gegeben sind, musst du diese nun einsetzen und danach den Term berechnen.
$\begin{array}{} &&\quad x-y+z\\ &=&\quad 950\;€-600\;€+170\;€\\ &=&\quad 350\;€+170\;€\\ &=&\quad 520\;€\\ \end{array}$
Somit bleiben Kathrin nach dem Kauf noch $520\;€$ erhalten.
b)
Du weißt, dass die Stadt $s\;€$, die Zuschauer $t\;€$ und die Firmen $u\;€$ gespendet haben. Du musst diese Spenden alle addieren, um danach die Kosten für die Organisation ($v\;€$) und die Verpflegung der Läufer ($w\;€$) abzuziehen. Daraus ergibt sich folgender Term mit Variablen:
$s+t+u-v-w$
Setzt du nun die in der Aufgabe angegebenen Werte für die Variablen ein, kannst du den Term berechnen.
$\begin{array}{} &&\quad s+t+u-v-w\\ &=&\quad 800\;€+1.350\;€+2.120\;€-300\;€-270\;€\\ &=&\quad 4.270\;€-570\;€\\ &=&\quad 3.700\;€\\ \end{array}$
Somit können insgesamt $3.700\;€$ an eine gemeinnützige Organisation gespendet werden.
#term#variable#termumformen#termaufstellen#termberechnen
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