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Ausmultiplizieren und Ausklammern

Spickzettel
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Hast du Terme wie $3a \cdot \left( 2b + c \right)$ oder $4x + 6xy$ gegeben, so kannst du diese mit dem Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) vereinfachen. Ein Produkt kannst du ausmultiplizieren, eine Summe kannst du ausklammern (faktorisieren).
Hast du ein Produkt aus einer eingeklammerten Summe (oder Differenz) und einem Faktor außerhalb der Klammer gegeben, zum Beispiel: $\,3a \cdot \left( 2b + c \right)$, so kannst du es ausmultiplizieren. Beim Ausmultiplizieren wird ein Produkt zu einer Summe.
Willst du diesen Term nun ausmultiplizieren, so multiplizierst du den Faktor außerhalb der Klammer mit jedem Summanden innerhalb der Klammer:
$\color{#87c800}{3a} \color{#dc1400}{\cdot} \left( 2b + c \right) = \color{#87c800}{3a} \cdot 2b \color{#dc1400}{+} \color{#87c800}{3a} \cdot c.$
$\color{#87c800}{3a} \color{#dc1400}{\cdot} \left( 2b + c \right) = \color{#87c800}{3a} \cdot 2b \color{#dc1400}{+} \color{#87c800}{3a} \cdot c.$
Hast du eine Summe gegebenen, bei dem die Summanden gemeinsame Faktoren haben, so kannst du die gemeinsamen Faktoren ausklammern. Beim Ausklammern wird eine Summe zu einem Produkt. Man spricht auch von Faktorisieren. Zum Beispiel:
$4x + 6xy $$= 2x \cdot 2 + 2x \cdot 3y$, hier ist $2x$ ein gemeinsamer Faktor.
Willst du nun $2x$ ausklammern, so „ziehst“ du $\boldsymbol{2x}$ aus der Summe und klammerst die Summanden ohne den gemeinsamen Faktor ein.
$\color{#87c800}{2x} \cdot 2 \color{#dc1400}{+} \color{#87c800}{2x} \cdot 3y = \color{#87c800}{2x} \color{#dc1400}{\cdot} \left( 2 + 3y \right).$
$\color{#87c800}{2x} \cdot 2 \color{#dc1400}{+} \color{#87c800}{2x} \cdot 3y = \color{#87c800}{2x} \color{#dc1400}{\cdot} \left( 2 + 3y \right).$
Bei Divisionen kannst du auch sowohl ausklammern als auch ausmultiplizieren.

Beispiele

a) Vereinfache den folgenden Term: $3x \cdot \left(y + 3z\right)$.
Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere hierzu $3x$ mit den beiden Summanden innerhalb der Klammer, also $y$ und $3z$. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} 3x \cdot \left(y + 3z\right)&=& 3x \cdot y + 3x \cdot 3z \\[5pt] &=& 3xy + 9xz \end{array}$
b) Vereinfache den folgenden Term: $2ac + 8a$.
Hier hast du eine Summe gegeben, bei der du einen gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. Sowohl $2ac$ als auch $8a$ haben den Faktor $2a$, welchen du ausklammern kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 2ac + 8a &=& 2a \cdot c+ 2a \cdot 4 \\[5pt] &=& 2a \cdot \left( c + 4 \right) \end{array}$
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1.  Multipliziere aus.
a)   $2x \cdot \left(3 + 4y\right)$.
b)   $4a \cdot \left(3b + 7c\right)$.
c)   $5x \cdot \left(3x - 8y\right)$.
d)   $\left(2a + 3b\right) : 6a$.
e)   $\left(2x + 5y\right) : 5xy$.
f)   $4a \cdot \left(ac - 2b\right)$.
2.  Schreibe die Summen durch Ausklammern in Produkte.
a)   $2xy + 2y$.
b)   $11:3a + 8c:3a$.
c)   $10x^2 + 10xy$.
d)   $2b:a - 7c:a$.
e)   $5xy + 15x$.
f)   $10ab^2 - 5ab$.
3.  Vereinfache die Terme.
a)   $20xy^2 + 16xy$.
b)   $\left(8a + 6ac\right) : 2a$.
c)   $\left(5x + 3y\right) \cdot 2xy$.
d)   $14ab^2 - 7bc$.
e)   $12x + 4x^2y + 8xyz$.
f)   $\left(7ab - 2c + 15b\right) : 3b $.
4.  Drücke die Gesamtflächen als Produkt und als Summe aus.
a)
Terme und Gleichungen: Ausmultiplizieren und Ausklammern
b)
Terme und Gleichungen: Ausmultiplizieren und Ausklammern
c)
Terme und Gleichungen: Ausmultiplizieren und Ausklammern
d)
Terme und Gleichungen: Ausmultiplizieren und Ausklammern
1.  Multipliziere die Produkte aus.
a)   $2x \cdot \left(3 + 4y\right)$.
b)   $4a \cdot \left(3b + 7c\right)$.
c)   $5x \cdot \left(3x - 8y\right)$.
d)   $\left(2a + 3b\right) : 6a$.
e)   $\left(2x + 5y\right) : 5xy$.
f)   $4a \cdot \left(ac - 2b\right)$.
2.  Schreibe die Summen durch Ausklammern in Produkte.
a)   $2xy + 2y$.
b)   $11:3a + 8c:3a$.
c)   $10x^2 + 10xy$.
d)   $2b:a - 7c:a$.
e)   $5xy + 15x$.
f)   $10ab^2 - 5ab$.
3.  Vereinfache die Terme.
a)   $20xy^2 + 16xy$.
b)   $\left(8a + 6ac\right) : 2a$.
c)   $\left(5x + 3y\right) \cdot 2xy$.
d)   $14ab^2 - 7bc$.
e)   $12x + 4x^2y + 8xyz$.
f)   $\left(7ab - 2c + 15b\right) : 3b $.
4.  Drücke die Gesamtflächen als Produkt und als Summe aus.
a)
Terme und Gleichungen: Ausmultiplizieren und Ausklammern
b)
Terme und Gleichungen: Ausmultiplizieren und Ausklammern
c)
Terme und Gleichungen: Ausmultiplizieren und Ausklammern
d)
Terme und Gleichungen: Ausmultiplizieren und Ausklammern
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1.  Multipliziere aus.
a)  Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere hierzu $2x$ mit den beiden Summanden innerhalb der Klammer, also $3$ und $4y$. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} 2x \cdot \left(3 + 4y\right)&=&2x \cdot 3 + 2x \cdot 4y \\[5pt] &=&6x + 8xy \end{array}$
b)  Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere hierzu $4a$ mit den beiden Summanden innerhalb der Klammer, also $3b$ und $7c$. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} 4a \cdot \left(3b + 7c\right)&=& 4a \cdot 3b + 4a \cdot 7c \\[5pt] &=& 12ab + 28ac \end{array}$
c)  Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere hierzu $5x$ mit den beiden Subtrahenden innerhalb der Klammer, also $3x$ und $8y$. Du erhältst folgende Differenz:
$\begin{array}[t]{rll} 5x \cdot \left(3x - 8y\right)&=& 5x \cdot 3x - 5x \cdot 8y\\[5pt] &=& 15x^2 - 40xy \end{array}$
d)  Hier hast du eine Division gegeben, welche du ausmultiplizieren kannst. Dividiere hierzu die beiden Summanden innerhalb der Klammer durch $6a$. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left(2a + 3b\right) : 6a &=& 2a :6a + 3b : 6a \\[5pt] &=& 1:3 + b:2a \end{array}$
e)  Hier hast du eine Division gegeben, welche du ausmultiplizieren kannst. Dividiere hierzu die beiden Summanden innerhalb der Klammer durch $5xy$. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left(2x + 5y\right) : 5xy&=& 2x :5xy + 5y : 5xy \\[5pt] &=& 2:5y + 1:x \end{array}$
f)  Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere hierzu $4a$ mit den beiden Subtrahenden innerhalb der Klammer. Du erhältst folgende Differenz:
$\begin{array}[t]{rll} 4a \cdot \left(ac -2b \right)&=& 4a \cdot ac - 4a \cdot 2b \\[5pt] &=& 4a^2c - 8ab \end{array}$
2.  Schreibe die Summen durch Ausklammern in Produkte.
a)  Hier hast du eine Summe gegeben, bei der du einen gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. Sowohl $2xy$ als auch $2y$ haben den Faktor $2y$, welchen du ausklammern kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 2xy + 2y &=& 2y \cdot x+ 2y \cdot 1 \\[5pt] &=& 2y \cdot \left( x+1 \right) \end{array}$
b)  Hier hast du eine Summe gegeben, bei der du einen gemeinsamen Teiler ausklammern kannst. Hier kannst du den gemeinsamen Teiler $3a$ ausklammern:
$\begin{array}[t]{rll} 11:3a + 8c:3a &=& \left( 11+8c \right) : 3a \end{array}$
c)  Hier hast du eine Summe gegeben, bei der du einen gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. Sowohl $10x^2$ als auch $10xy$ haben den Faktor $10x$, welchen du ausklammern kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 10x^2 + 10xy&=& 10x \cdot x+ 10x \cdot y\\[5pt] &=& 10x \cdot \left( x+y \right) \end{array}$
d)  Hier hast du eine Differenz gegeben, bei der du einen gemeinsamen Teiler ausklammern kannst. Hier kannst du den gemeinsamen Teiler $a$ ausklammern:
$\begin{array}[t]{rll} 2b:a - 7c:a &=& \left( 2b-7c \right) : a \end{array}$
e)  Hier hast du eine Summe gegeben, bei der du einen gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. Sowohl $5xy$ als auch $15x$ haben den Faktor $5x$, welchen du ausklammern kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 5xy + 15x &=& 5x \cdot y+ 5x \cdot 3 \\[5pt] &=& 5x \cdot \left( y+3 \right) \end{array}$
f)  Hier hast du eine Differenz gegeben, bei der du einen gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. Sowohl $10ab^2$ als auch $5ab$ haben den Faktor $5ab$, welchen du ausklammern kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 10ab^2 + 5ab&=& 5ab \cdot 2b+ 5ab \cdot 1 \\[5pt] &=& 5ab \cdot \left( 2b+1 \right) \end{array}$
3.  Vereinfache die Terme.
a)  Hier hast du eine Summe gegeben, bei der du einen gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. Sowohl $20xy^2$ als auch $16xy$ haben den Faktor $4xy$, welchen du ausklammern kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 20xy^2 + 16xy&=& 4xy \cdot 5y+ 4xy \cdot 4 \\[5pt] &=& 4xy \cdot \left( 5y + 4 \right) \end{array}$
b)  Hier hast du eine Division gegeben, welche du ausmultiplizieren kannst. Dividiere hierzu die beiden Summanden innerhalb der Klammer durch $2a$. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left(8a + 6ac\right) : 2a&=& 8a :2a + 6ac : 2a \\[5pt] &=& 4 + 3c \end{array}$
c)  Hier hast du ein Produkt gegeben, welches du ausmultiplizieren kannst. Multipliziere hierzu $2xy$ mit den beiden Summanden innerhalb der Klammer, also $5x$ und $3y$. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left(5x + 3y \right) \cdot 2xy&=& 5x \cdot 2xy + 3y \cdot 2xy\\[5pt] &=& 10x^2y + 6xy^2 \end{array}$
d)  Hier hast du eine Differenz gegeben, bei der du einen gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. Sowohl $14ab^2$ als auch $7bc$ haben den Faktor $7b$, welchen du ausklammern kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 14ab^2 - 7bc&=& 7b \cdot 2ab - 7b \cdot c\\[5pt] &=& 7b \cdot \left( 2ab - c \right) \end{array}$
e)  Hier hast du eine Summe gegeben, bei der du einen gemeinsamen Faktor ausklammern kannst. Sowohl $12x$ und $4x^2y$ als auch $8xyz$ haben den Faktor $4x$, welchen du ausklammern kannst:
$\begin{array}[t]{rll} 12x + 4x^2y + 8xyz&=& 4x \cdot 3 + 4x \cdot xy + 4x \cdot 2yz \\[5pt] &=& 4x \cdot \left( 3 + xy + 2yz \right) \end{array}$
$ … = 4x \cdot \left( 3 + xy + 2yz \right) $
f)  Hier hast du eine Division gegeben, welche du ausmultiplizieren kannst. Dividiere hierzu die drei Summanden innerhalb der Klammer durch $3b$. Du erhältst folgende Summe:
$\begin{array}[t]{rll} \left(7ab -2c + 15b \right) : 3b&=& 7ab :3b - 2c:3b + 15b : 3b \\[5pt] &=& 7a:3 - 2c:3b + 5 \end{array}$
$ …= 7a:3 - 2c:3b + 5 $
4.  Drücke die Gesamtflächen als Produkt und als Summe aus.
a)  Den Flächeninhalt $A$ eines Rechtecks mit den Seitenlängen $a$ und $b$ kannst du mit folgender Formel berechnen:
$A=a \cdot b$
$A=a \cdot b$
Der Flächeninhalt des linken Rechtecks $A_1$ ist somit durch $a\cdot b$ gegeben, der Flächeninhalt des rechten Rechtecks $A_2$ ist somit $a\cdot c$. Um die Gesamtfläche $A$ zu erhalten kannst du die beiden einzelnen Flächeninhalte addieren:
$A=A_1+A_2=a \cdot b + a \cdot c$.
Dies ist die Darstellung als Summe. Beide Summanden haben den gemeinsamen Faktor $a$, welchen du ausklammern kannst, um die Summe in ein Produkt zu wandeln:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a \cdot b + a \cdot c \\[5pt] &=& a\cdot \left(b+c \right) \end{array}$
b)  Die Gesamtfläche $A$ kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen. Eine Seite hat die Länge $a$, die andere Seite hat die Länge $b + 2d +c$. Mit der Formel erhältst du folgendes Produkt:
$A=a \cdot \left(b +2d + c\right)$.
Dieses Produkt kannst du nun ausmultiplizieren, so dass du eine Summe erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a \cdot \left(b +2d + c\right) \\[5pt] &=& a \cdot b + a\cdot 2d + a\cdot c\\[5pt] &=& ab + 2ad + ac \end{array}$
c)  Die Gesamtfläche $A$ kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen. Eine Seite hat die Länge $x$, die andere Seite hat die Länge $y +2z$. Mit der Formel erhältst du folgendes Produkt:
$A=x \cdot \left(y + 2z\right)$.
Dieses Produkt kannst du nun ausmultiplizieren, so dass du eine Summe erhältst:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& x \cdot \left(y + 2z\right) \\[5pt] &=& x \cdot y + x\cdot 2z\\[5pt] &=& xy + 2xz \end{array}$
d)  Die Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke kannst du mit der Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnen und zur Gesamtfläche $A$ aufaddieren:
$A=a \cdot 2b + a\cdot d + a \cdot c$
Dies ist die Darstellung als Summe. Alle Summanden haben den gemeinsamen Faktor $a$, welchen du ausklammern kannst, um die Summe in ein Produkt zu wandeln:
$\begin{array}[t]{rll} A&=& a \cdot 2b + a\cdot d + a \cdot c \\[5pt] &=& a \cdot \left( 2b+ d + c \right) \end{array}$
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