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Bruchterme

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Als Bruchterme bezeichnet man Terme, die mindestens einen Bruch haben bei dem im Nenner eine Variable steht.

Beispiele

Die Terme
  • $\dfrac{1}{x}$, $~~~12x - 2 + \dfrac{7}{x + 2}$, $~~~\dfrac{3x+4}{2x^2+1}$
sind Bruchterme.
Der Term
  • $\dfrac{6x-1}{2} + 8 + \dfrac{3x^2 - 2}{10}$
ist dagegen kein Bruchterm, denn in keinem Bruch steht im Nenner eine Variable.

Definitionsbereich

Willst du den maximalen Definitionsbereich eines Bruchterms bestimmen, musst du darauf achten, dass du keine Zahlen einsetzt, die im Nenner $0$ ergeben. Denn durch $0$ darf man ja bekanntermaßen nicht teilen. Musst du den Definitionsbereich des Terms $$\dfrac{23 - 100x^2 + 1}{(x+4)(x-2)} - \dfrac{3x^2}{5} + \dfrac{4}{x^2 - 9}$$ bestimmen, gehst du also wie folgt vor:
  1. Schreibe alle Nenner, die eine Variable haben, als Funktionen auf.
  2. Im ersten Bruch steht als Nenner die Funktion $f(x) = (x+4)(x-2)$. Im zweiten Bruch steht als Nenner nur die Zahl $5$ und keine Variable, sodass wir diesen Ausdruck nicht beachten. Im dritten Bruch haben wir die Funktion $g(x) = x^2 - 9$ als Nenner.
  3. Bestimme die Nullstellen der Funktionen.
  4. Die Funktion $f(x) = (x+4)(x-2)$ hat als Nullstellen $x_{1} = -4$ und $x_2 = 2$. Die Nullstellen von $g(x)$ kannst du mithilfe der p,q-Formel bestimmen oder du erkennst, dass $g(x) = x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$ ist und du direkt die Nullstellen $x_3 = 3$ und $x_4 = -3$ ablesen kannst.
  5. Nehme die Nullstellen der Nenner aus $\mathbb{R}$ und du erhälst den Definitionsbereich des Bruchterms.
  6. In unseren Bruchterm dürfen wir die Zahlen $-4, 2, 3$ und $-3$ nicht einsetzen, da wir sonst durch $0$ teilen. Somit ist unser Definitionsbereich $D = \mathbb{R} \setminus \{-4, -3, 2, 3 \}$.
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Aufgaben
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1. Entscheide, ob folgende Terme Bruchterme sind.
a)   $\dfrac{2x-1}{7}$
b)   $\dfrac{x^2 + 2 - 15x}{2x}$
c)   $\dfrac{x}{3x}$
d)   $14 - \dfrac{1}{\frac{3}{5}x^2 - 2} + \dfrac{1}{12}$
e)   $\dfrac{4x-12 - 2}{111 - \frac{5}{8} + 1} - 2 $
f)   $5 \cdot (19+13x)$
a)   $\dfrac{2x-1}{7}$
b)   $\dfrac{x^2 + 2 - 15x}{2x}$
c)   $\dfrac{x}{3x}$
d)   $14 - \dfrac{1}{\frac{3}{5}x^2 - 2} + \dfrac{1}{12}$
e)   $\dfrac{4x-12 - 2}{111 - \frac{5}{8} + 1} - 2 $
f)   $5 \cdot (19+13x)$
2. Bestimme den maximalen Definitionsbereich folgender Terme.
a)   $\dfrac{1}{(1-x)(2+x)}$
b)   $\dfrac{23x^4 -2x}{(x-1)(x+2)(x-3)} + \dfrac{5}{x(x-8)}$
c)   $3x^2 + 17x - 11$
d)   $9 - \dfrac{1}{x^2 - 4} + \dfrac{x^3 - 3x + 1}{(x-1)(x+2)} - 23x$
3. Begründe warum der untere Term ein Bruchterm ist und bestimme den maximalen Definitionsbereich. $a \neq 0$ ist dabei eine reelle Zahl. $$\dfrac{ax^3 + 2x - a}{(x+a)(x-2)} + \dfrac{2}{3a} - \dfrac{a}{x^2 - 2ax + a^2}$$
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Lösungen
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1. Entscheide.
a)  $\dfrac{2x-1}{7}$ ist kein Bruchterm, denn im Nenner steht nicht die Variable $x$.
b)  $\dfrac{x^2 + 2 - 15x}{2x}$ ist ein Bruchterm, da im Nenner die Funktion $2x$ steht.
c)  Bei $\dfrac{x}{3x}$ kann man das $x$ kürzen. Nach Definition ist es aber trotzdem ein Bruchterm.
d)  $14 - \dfrac{1}{\frac{3}{5}x^2 - 2} + \dfrac{1}{12}$ ist ein Bruchterm, denn im ersten Bruch steht der Ausdruck $\dfrac{3}{5}x^2 - 2 $.
e)  $\dfrac{4x-12 - 2}{111 - \frac{5}{8} + 1} - 2 $ ist kein Bruchterm, denn im Nenner des Bruchs steht keine Variable.
f)  $5 \cdot (19+13x)$ ist kein Bruchterm, da überhaupt kein Bruch auftaucht und somit auch keine Variable im Nenner stehen kann.
2. Entscheide.
a)  Der Nenner $(1-x)(2+x)$ hat die Nullstellen $x_1=1$ und $x_2=-2$. Also ist der Definitionsbereich $D = \mathbb{R} \setminus \{1,2\}.$
b)  Die Funktion $f(x) = (x-1)(x+2)(x-3)$ ist der Nenner des ersten Bruchs. Die Nullstellen davon sind $x_1 = 1$, $x_2 = -2$ und $x_3 = 3$. Der Nenner des zweiten Bruchs $g(x) = x(x-8)$ hat die Nullstellen $x_4 = 0$ und $x_5 = 8$. Somit nehmen wir diese Stellen aus dem Definitionsbereich und erhalten $D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 0, 1,3, 8 \}.$
c)  Bei $3x^2 + 17x - 11$ taucht gar kein Bruch auf, so dass es auf ganz $\mathbb{R}$ definiert ist.
d)  Der Nenner des ersten Bruchs $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$ (3. binomische Formel) hat die Nullstellen $x_1 = 2$ und $x_2 = -2$. Der Nenner des zweiten Bruchs hat die Nullstellen $x_3 = 1$ und $x_4 = -2$. Eine Nullstelle kommt dabei in beiden Nennern vor, was dich nicht weiter stören soll. Der Definitionsbereich lautet also $D = \mathbb{R} \setminus \{ -2, 1, 2 \}.$
3. Bestimme.
Der Term ist ein Bruchterm, weil in den Nennern des Terms die Variable $x$ vorkommt. Um die Nullstellen des Bruchterms zu bestimmen, behandeln wir $a \neq 0$ als gewöhnliche Zahl. Der Nenners des ersten Bruchs ist $(x+a)(x-2)$. Die Nullstellen lauten also $x_1 = -a$ und $x_2 = 2$. Im zweiten Bruch steht zwar die Variable $a$ im Nenner, da wir sie aber als gewöhnliche Zahl betrachten, ist dieser Bruch für uns irrelevant. Die Nullstellen des dritten Nenners kannst du mit der p,q-Formel bestimmen oder du erkennst, dass $x^2 - 2ax + a^2 = (x-a)^2$ ist. Die Nullstelle dieses Ausdrucks ist also $x_3 = a$. Folglich schließen wir aus dem Definitionsbereich die Zahlen $-a, a$ und $2$ aus: $D = \mathbb{R} \setminus \{ -a, a, 2\}$.
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